1. Определители 2-го, 3-го и n-го порядков, их свойства и методы вычисления.

Определителем второго порядка называется число равное разности произведений элементов главной и побочной диагоналей.

Определителем третьего порядка называется число, задаваемое равенством

Понятие определителя может быть введено для квадратной матрицы любого порядка n:

Для вычисления определителей n-го порядка ( ) на практике применяется многократное разложение этих определителей по строке (столбцу), что позволяет уменьшать каждый раз порядок вычисляемых определителей на единицу.

Вычисление определителя 3-го порядка сводится к вычислению алгебраической суммы трех определителей 2-го порядка

Свойства определителей

Свойство 1. Если все строки определителя заменить на столбцы с теми же номерами, то определитель не изменится

Свойство 2. При перестановке местами двух строк (столбцов) определитель меняет знак на противоположный (абсолютная величина определителя при этом не меняется)

Свойство 3. Если в определителе есть две одинаковые строки (столбца), то такой определитель равен нулю

Свойство 4. Если все элементы некоторой строки (столбца) определителя содержат общий множитель, то этот множитель можно вынести за знак определителя

Свойство 5. Если все элементы некоторого строки (столбца) определителя равны нулю, то этот определитель равен нулю

Свойство 6. Если все элементы одной строки (столбца) пропорциональны элементам другой строки (столбца), то определитель равен нулю

Свойство 7. Если каждый элемент некоторой строки определителя равен сумме двух элементов, то определитель равен сумме двух определителей, у первого из которых элементы этой строки – первые слагаемые, а у второго определителя – вторые слагаемые

Свойство 8. Если каждому элементу некоторой строки определителя прибавить соответствующие элементы другой строки, умноженные на любое число, то определитель не изменится

2. Системы линейных алгебраических уравнений, методы их решения: метод Крамера

Решение системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными

Пусть дана система

(1.3)

где х_1, х₂ – переменные, а₁₁, а₁₂, а₂₁, а₂₂ – коэффициенты (первый индекс соответствует номеру уравнения, второй – номеру переменной), b₁, b₂ – свободные члены.

Решением системы (1.3) является пара чисел (х_1, х₂), подстановка которых в оба уравнения системы обращает эти уравнения в верные равенства.

Теорема Крамера (в случае n = 2). Если определитель системы (1.3) не равен нулю,   0, то система (1.3) имеет единственное решение , где

. (1.4)

Решение систем трех линейных уравнений с тремя неизвестными.

Пусть дана система трех уравнений с тремя неизвестными:

(1.5)

Определителем системы (1.5) является определитель

а дополнительными определителями являются определители

Теорема Крамера (в случае n = 3). Если определитель системы (1.5) не равен нулю,   0, то система (1.5) имеет единственное решение , где

---

. (1.6)

Решение систем n линейных уравнений с n неизвестными.

Теорема Крамера остается верной для системы n линейных уравнений с n неизвестными. Пусть дана система n уравнений с n неизвестными:

(1.7)

Определителем системы (1.7) является определитель

а дополнительные определители получается из определителя  заменой столбца коэффициентов при неизвестном x_i на столбец свободных членов.

Теорема Крамера (в случае произвольного значения n). Если определитель системы (1.7) не равен нулю,   0, то система (1.7) имеет единственное решение , где

3. Векторы и линейные операции над нами. Проекция вектора на ось. Теоремы о проекциях. Разложение вектора по базису, декартова система координат. Координаты вектора и точки. Простейшие задачи, в которых вычисляются: длина вектора; его направляющие косинусы; расстояние между точками; координаты точки, делящей отрезок в данном отношении.

Вектором называется направленный отрезок

Линейные операции над векторами

Произведением вектора на число (скаляр) λ называется новый вектор, имеющий длину и направленный одинаково с при λ > 0 или направленный противоположно с при λ < 0.

Для сложения двух векторов и применяют правило параллелограмма или правило треугольника Для сложения трех некомпланарных векторов применяют правило параллелепипеда.

В общем случае для сложения любого числа векторов применяют правило многоугольника

Разностью векторов и называется третий вектор ( = – ), который нужно сложить с вектором , чтобы получить вектор

Проекцией вектора на ось называется число, равное произведению длины этого вектора на косинус угла между вектором и осью, т.е.

Если угол – острый, то , если – тупой , то

Свойства проекций

1. .

_2.

4. Скалярное произведение векторов, его основные свойства, выражение через координаты перемножаемых векторов.

Скалярным произведением векторов и

называется число, обозначаемое и равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними:

( – угол между векторами и ).

Свойства скалярного произведения:

1. ;

2. ;

3. ;

4.

Выражение скалярного произведения через координаты сомножителей

,

т.е. скалярное произведение векторов равно сумме произведений одноименных координат.

5. Векторное произведение векторов, его основные свойства, выражение через координаты перемножаемых векторов.

Векторным произведением векторов и называется вектор , обозначаемый , который удовлетворяет следующим трём условиям:

1.

2.  ,  ;

3. тройка – правая (т.е. при наблюдении из конца вектора кратчайший поворот от к виден совершающимся против часовой стрелки

Свойства векторного произведения

1.;

2.;

3.;

4..

Выражение векторного произведения через координаты сомножителей

Свойства смешанного произведения.

1. ;

---

2. ;

3. – компланарны;

6. Смешанное произведение векторов, его основные свойства, выражение через координаты перемножаемых векторов

Смешанным произведением трех векторов

, , называется число

Выражение смешанного произведения через координаты сомножителей

7. Приложения скалярного, векторного и смешанного произведений векторов в геометрии и механике.

3. Приложения скалярного произведения к задачам геометрии и механики

1. Угол между векторами

2. Проекция вектора на направление другого вектора

Так как = то

,

3. Работа силы (механический смысл скалярного произведения).

Работа А силы при прямолинейном перемещении тела на вектор под действием силы равна скалярному произведению вектора силы на вектор перемещения:

.

Приложения векторного произведения к задачам геометрии и механики

1. Площадь параллелограмма (геометрический смысл векторного произведения).

Площадь параллелограмма, построенного на векторах и находится по формуле .

Площадь треугольника .

2. Момент силы (механический смысл векторного произведения). Пусть точка А твердого тела закреплена, а в точке В приложена сила . Тогда возникает вращающий момент , равный векторному произведению плеча силы на вектор силы , т.е.

Приложения смешанного произведения к задачам геометрии

1. Объём параллелепипеда, построенного на векторах , , , равен

.

Объём пирамиды .

2. Условие компланарности векторов в координатной форме:

– компланарны

8. Декартовы и полярные координаты на плоскости. Уравнения линий в декартовых, полярных координатах и в параметрическом виде. Примеры.

Упорядоченная система двух или трёх пересекающихся перпендикулярных друг другу осей с общим началом отсчёта (началом координат) и общей единицей длины называется прямоугольной декартовой системой координат.

Две перпендикулярные оси на плоскости с общим началом и одинаковой масштабной единицей образуют декартову прямоугольную систему координат на плоскости. Одна из этих осей называется осью Ox, или осью абсцисс, другую - осью Oy, или осью ординат.

Полярная система координат

• Суть задания какой-либо систем координат на плоскости состоит в том, чтобы каждой точке плоскости поставить в соответствующую пару действительных чисел, орпеделённое положение этой точки на плоскости.

• В случае полярной системы координат роль этих чисел играют расстояния точки от полюса и угол между полярной осью и радиус-вектора этой точки. Этот угол называется полярным углом, а точка О называется полюсом, а луч l- полярной осью.

• Можно установить связь между полярной и декартовой системой координат, если поместить начало декартовой системы в полюс, а полярную ось направить вдоль положительного направления оси Ox.

• Тогда координаты произвольной точки в двух различных системах координат связывают соотношением

---

x = r cos φ y = r sin φ

r=

9. Прямая на плоскости и ее основные уравнения: общее, векторно-параметрическое, каноническое, по двум точкам, с угловым коэффициентом, «в отрезках». Условия параллельности и перпендикулярности прямых, вычисление угла между двумя прямыми, расстояния от точки до прямой.

Уравнение   называется общим уравнением прямой на плоскости.

 Векторно-параметрическое уравнение прямой 

 Каноническое уравнение прямой 

Уравнение прямой по двум точкам 

Уравнение прямой вида  , где x и y - переменные, а k и b – некоторые действительные числа, называется уравнением прямой с угловым коэффициентом (k – угловой коэффициент).

Уравнение прямой в отрезках на плоскости в прямоугольной системе координатOxy имеет вид  , где a и b - некоторые отличные от нуля действительные числа.

Условие параллельности прямых заключается в равенстве их угловых коэффициентов.

  tgφ₁=tgφ₂ или k₁=k₂

Условие перпендикулярности прямых заключается в том, что произведение их угловых коэффициентов равно –1

k₁k₂=-1

Угол φ между двумя прямыми, заданными общими уравнениями A₁x + B₁y + C₁ = 0 и A₂x + B₂y + C₂ = 0, вычисляется по формуле: 

угол между двумя прямыми на плоскости

Угол между двумя прямыми, заданными уравнениями: l₁: и l₂: можно найти по формуле

расстояние от точки до прямой на плоскости

Расстояние от точки до прямой вычисляется по формуле

.

Формула для вычисления расстояния от точки до прямой в пространстве

Если s = {m; n; p} - направляющий вектор прямой l, M₁(x₁, y₁, z₁) - точка лежащей на прямой, тогда расстояние от точки M₀(x₀, y₀, z₀) до прямой l можно найти, используя формулу

d =	|M0M1×s|
	|s|

10. Плоскость и ее основные уравнения: по точке и нормальному вектору, общее, по трём точкам, «в отрезках». Взаимное расположение двух плоскостей: условия их параллельности, перпендикулярности, совпадения, вычисление угла между ними. Вычисление расстояния от точки до плоскости.

общее уравнение плоскости

Частные случаи расположения плоскости, определяемой общим уравнением

по точке и нормальному вектору

A(x − x0) + B(y − y0) + C(z − z0) = 0

уравнение плоскости, проходящей через три точки

Получим уравнение плоскости в отрезках:

где – это величины направленных отрезков, отсекаемых плоскостью на осях координат.

Угол между двумя плоскостями равен углу между их векторами нормали :

.

взаимное расположение плоскостей (условие перпендиулярности плоскостей),

(условие параллельности плоскостей).

расстояние от точки до п лоскости

Расстояние от точки до плоскости определяется по формуле

11. Прямая в пространстве и ее основные уравнения: векторно-параметрическое, канонические, по двум точкам, общие уравнения (пара пересекающихся плоскостей).

параметрическим уравнениям прямой в пространстве:

---

– параметр

канонические уравнения прямой в пространстве:

Уравнения прямой, проходящей через две точки

общими уравнениями прямой в пространстве

12. Взаимное расположение двух прямых в пространстве: условия параллельности, пересечения, скрещиваемости, перпендикулярности. Вычисление расстояния от точки до прямой, угла и расстояния между прямыми. Взаимное расположение прямой и плоскости: условия их параллельности, принадлежности, перпендикулярности; вычисление угла между ними, координат точки их пересечения.

Условия параллельности двух прямых:

а) Если прямые заданы уравнениями с угловым коэффициентом, то необходимое и достаточное условие их параллельности состоит в равенстве их угловых коэффициентов:

k₁ = k₂.   

б) Для случая, когда прямые заданы уравнениями в общем виде, необходимое и достаточное условие их параллельности состоит в том, что коэффициенты при соответствующих текущих координатах в их уравнениях пропорциональны, т. е.

     

Условия перпендикулярности двух прямых:

а) В случае, когда прямые заданы уравнениями с угловым коэффициентом, необходимое и достаточное условие их перпендикулярности заключается в том, что их угловые коэффициенты обратны по величине и противоположны по знаку, т. е.

     

Это условие может быть записано также в виде

k₁k₂ = -1

б) Если уравнения прямых заданы в общем виде , то условие их перпендикулярности (необходимое и достаточное) заключается в выполнении равенства

A₁A₂ + B₁B₂ = 0

Прямые пересекаются, если смешанное произведение

Прямые скрещиваются, если смешанное произведение

Если задано уравнение прямой Ax + By + C = 0, то расстояние от точки M(M_x, M_y) до прямой можно найти, используя следующую формулу

d =	|A·Mx + B·My + C|
	√A2 + B2

 угол между прямыми:

13. Кривые 2-го порядка: окружность, эллипс, гипербола, парабола и их уравнения в декартовых и полярных координатах, в параметрическом виде.

Кривой второго порядка называется линия, уравнение которой в декартовой системе координат имеет вид

Окружностью называется множество точек плоскости, равноудаленных от данной точки (центра).

Если центр окружности поместить в начало координат, то каноническое уравнение окружности радиусом R имеет вид

Если центр окружности находится в точке , то ее уравнение записывается в виде

Эллипсом называется множество точек плоскости, сумма расстояний от которых до двух данных точек и (фокусов) есть величина постоянная, равная 2а

каноническое уравнение эллипса

где а – большая, b – малая полуоси эллипса (при a>b). Фокусы эллипса расположены в точках и .

. Гиперболой называется множество точек плоскости, модуль разности расстояний от которых до двух данных точек и (фокусов) есть величина постоянная, равная 2а.

Если выбрать прямоугольную систему координат с началом в точке О(0,0), то каноническое уравнение гиперболы запишется в виде

---

Смотрите также файлы

• Экзамен по анатомии.docx

• Препараты по гистологии 1-12 для лечфака (2019).pdf

• Препараты по гистологии 50-61 для лечфака (2019).pdf

• Препараты по гистологии 38-49 для лечфака (2019).pdf

• Препараты по гистологии 26-37 для лечфака (2019).pdf