Файл: шпоры матем.docx

Сделать презентацию

Скачать файл (0,51Мб)

Заказать решение

ВУЗ: Белорусский государственный университет

Категория: Шпаргалка

Дисциплина: Математика

Добавлен: 14.02.2019

Просмотров: 1232

Скачиваний: 6

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

где а – действительная, b – мнимая полуоси гиперболы.

Гипербола состоит из двух ветвей и расположена симметрично относительно координатных осей. При этом ее ветви при удалении в бесконечность как угодно близко подходят к прямым которые называются асимптотами гиперболы.

При построении гиперболы вначале строят основной прямоугольник со сторонами . Затем через противоположные вершины этого прямоугольника проводят прямые, которые являются асимптотами гиперболы.

Вершины гиперболы расположены в точках с координатами

(–а,0) и (а,0), а фокусы – в точках и

Уравнение (или ) также задает гиперболу, сопряженную с гиперболой .

Параболой называется множество точек плоскости, равноудаленных от данной точки F (фокуса) и данной прямой D (директрисы).

Если выбрать прямоугольную систему координат с началом в точке О(0,0), то каноническое уравнение параболы запишется в виде

Эта парабола симметрична относительно оси Ох. Директрисой является прямая точка – фокус параболы, р – параметр параболы.

Поверхности и их уравнения в пространстве. Каноническая теория поверхностей 2-го порядка: геометрические свойства и исследование их формы методом сечений. Уравнения поверхностей вращения.

Эллипсоид Рис. 2.15
Однополостный гиперболоид Рис. 2.16
Двуполостный гиперболоид Рис. 2.17
Эллиптический параболоид Рис. 2.18
Конус второго порядка Рис. 2.19
Гиперболический параболоид (седло) Рис. 2.20
Эллиптический цилиндр Рис. 2.21
Гиперболический цилиндр Рис. 2.22
Параболический цилиндр Рис. 2.23

Рассмотрим в плоскости эллипс, гиперболу, сопряженную гиперболу, параболу и пару пересекающихся прямых. Совершим вращение этих линий вокруг оси и деформацию(сжатие или растяжение) образованных таким образом поверхностей второго порядка.

Цилиндрической поверхностью называется поверхность, которая образуется при поступательном перемещении некоторой линии (образующей) вдоль некоторой кривой (направляющей). Выбирая в качестве направляющей эллипс, гиперболу и параболу, расположенные в плоскости , а в качестве образующей – прямую, параллельную оси , получим соответственно эллиптический, гиперболический и параболический цилиндры,

При построении поверхностей второго порядка часто пользуются таблицей этих поверхностей , учитывая, что ось фигуры или образующая может быть параллельна не только оси .

Множество действительных чисел. Числовые последовательности, их пределы.

Множество действительных чисел можно описать так: это множество конечных и бесконечных десятичных дробей; конечные десятичные дроби и бесконечные десятичные периодические дроби — рациональные числа, а бесконечные десятичные непериодические дроби — иррациональные числа.

Функции одной переменной, области определения и значений, способы задания функций. Основные элементарные функции и их графики. Класс элементарных функций. Предел функции в точке и в бесконечности. Односторонние пределы. Свойства пределов. Бесконечно малые и бесконечно большие функции, их свойства. Первый и второй замечательные пределы. Число е и натуральные логарифмы. Сравнение бесконечно малых, эквивалентные бесконечно малые функции, их использование при нахождении пределов.

Если каждому элементу из множества по некоторому закону ставится в соответствие вполне определенное действительное число , то говорят, что есть функция переменной величины и пишут .

х -независимая переменная ( аргумент); у – зависимая переменная.

Множество называется областью определения функции и обозначается . Множество всех значений функции , когда пробегает всю область определения, называется областью изменения или областью значений функции и обозначается .

Различают следующие способы задания функции: табличный, графический, аналитический (с помощью формул).

Под графиком функции понимают множество точек плоскости, абсциссы которых есть значения, а ординаты равны соответствующим значениям функции. График функции есть некоторая линия на плоскости.

Название	Формула
степенная функция	(при постоянном )
показательная функция	(при постоянном , , )
логарифмическая функция	(при постоянном , , )
тригонометрические функции
обратные тригонометрические функции

Число называется пределом последовательности если для любого существует такой номер , что при всех выполняется неравенство .

Число А называется пределом функции при (в точке ), если для каждого числа найдется такое число , что для любого и удовлетворяющего неравенству выполняется неравенство .

Число называется пределом функции при , если для любого существует число , что при всех выполняется неравенство .

Односторонний предел — предел числовой функции, подразумевающий «приближение» к предельной точке с одной стороны. Такие пределы называют соответственно левым и правым пределами.

Число называется правым пределом функции в точке , если для такое, что для любого и , выполняется неравенство (рис. 1). Правый предел обозначается

Число называется левым пределом функции в точке , если для такое, что для любого и , выполняется неравенство (рис. 2). Левый предел обозначается

Свойства пределов функции:

Предел суммы/разности двух функций равен сумме/разности их пределов:

Предел произведения двух функций равен произведению их пределов:

Предел частного двух функций равен частному их пределов, при условии, что предел знаменателя не равен нулю:

Константу можно выносить за знак предела:

Предел степени с натуральным показателем равен степени предела:

Функция называется бесконечно малой при , если .

Функция называется бесконечно большой при , если .

Теорема.

Если функция — бесконечно малая при , то — бесконечно большая функция при .

Если функция — бесконечно большая при , то - бесконечно малая функция при ( ).

Справедливы следующие утверждения:

Сумма конечного числа бесконечно малых функций есть бесконечно малая функция.
Произведение ограниченной функции на бесконечно малую есть бесконечно малая функция.
Произведение конечного числа бесконечно малых функций есть бесконечно малая функция.

Теоремы о пределах

Если пределы и существуют и конечны, то

, где с – const;
+;
;
, где .

Замечательные пределы.

Первый замечательный предел:

Второй замечательный предел:

— иррациональное число, — одна из фундаментальных величин в математике. Функция называется экспонентой; называется натуральным логарифмом.

Для сравнения двух бесконечно малых функций и в точке находят предел отношения .

Если и , то функции и называются бесконечно малыми одного порядка.

Если , то называется бесконечно малой высшего порядка по сравнению с . Записывается это так: .

Если , то бесконечно малые функции и называют эквивалентным и обозначают .

Основные эквивалентности при :

, ,

, .

Предел отношения двух бесконечно малых функций в некоторой точке равен пределу отношения эквивалентных им бесконечно малых функций в той же точке.

Непрерывность функции в точке, интервале, на отрезке. Непрерывность основных элементарных и элементарных функций в области их определения. Точки разрыва функции и их классификация. Свойства функций, непрерывных на отрезке.

Функция называется непрерывной в точке , если предел функции в точке существует и .

Функция называется непрерывной в точке , если существуют односторонние пределы в точке и .

Если хотя бы один из этих односторонних пределов не существует или равен бесконечности, то называется точкой разрыва второго рода.

Если функция непрерывна во всех точках отрезка , то она называется непрерывной на этом отрезке

Теорема I. Если функции и непрерывны в точке , то в этой точке непрерывны функции , , .

Теорема II. Сложная функция, составленная из непрерывных функций, непрерывна в соответствующей точке.

Теорема III. Всякая элементарная функция непрерывна в каждой точке своей области определения.

Теорема 1 (о сохранении знака непрерывной функции). Если непрерывная в точке х₀ и  0, то существует интервал, которому принадлежит точка х₀_,, где функция имеет тот же знак,. что и .

Теорема 2 (о наибольшем, наименьшем и промежуточных значениях непрерывной функции). Непрерывная на отрезке функция достигает на этом отрезке наибольшего М и наименьшего m значения, а также принимает все свои промежуточные значения, т.е. для произвольного существует хотя бы одно значение такое, что

Теорема 3 (о нулях непрерывной функции). Если функция непрерывна на отрезке и на концах отрезка принимает значения противоположных знаков, т.е. ,то существует хотя бы одно значение х₀ такое, что(существует корень уравнения

Производная функции, её смысл (геометрический, физический, экономический). Производная суммы, разности, произведения, частного функций, сложной и обратной функций. Таблица производных основных элементарных функций. Уравнения касательной и нормали к графику функции.

Производной функции в точке х называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента , когда , т.е.

Для производной функции в точке х применяют также обозначения: .

Функция, имеющая в данной точке конечную производную, называется дифференцируемой в этой точке.

Геометрический смысл производной

производная функции равна угловому коэффициенту касательной к графику этой функции в точке с абсциссой .

Уравнение касательной к кривой в точке имеет вид

а уравнение нормали к данной кривой в этой же точке записывается в виде при условии, что .

Если , то уравнение касательной: , а уравнение нормали: .

Механический смысл производной. Пусть материальная точка движется прямолинейно по закону . Тогда , т.е. производная от пути по времени есть скорость движения точки.