Пусть и – два базиса,



столбцы координат одного и того же базиса в этих базисах, – матрица перехода от базиса к базису и – матрица метрических коэффициентов базиса Тогда



Кроме того, Поэтому



Эта формула означает, что матрица метрических коэффициентов базиса выражается формулой

(7.16)

Иначе говоря,

(7.17)

Пример 7.10. Найти косинус угла между векторами и зная метрические коэффициенты базиса

Решение. Для нахождения косинуса угла между заданными векторами воспользуемся формулой (7.5):



Нахождение числителя и знаменателя целесообразно провести в матричной форме считая, что матрица метрических коэффициентов имеет вид



Тогда



Таким образом, получим



Пример 7.11. В базисе матрица метрических коэффициентов

---

евклидового пространства имеет вид



Формулы нового базиса выражаются через векторы базиса следующим образом: Найти:

Решение. Матрица метрических коэффициентов выражается формулой (7.16). Для нахождения соответственной матрицы нужно найти матрицу перехода от базиса к базису Имеем



Тогда



2) Матрица является обратной к матрице Поэтому



3) ) Матрица является обратной к матрице Поэтому



Вопросы для самоконтроля

1. 
   Что называют скалярным произведением?
   
2. 
   Свойства скалярного произведения.
   
3. 
   Евклидово пространство.
   
4. 
   Длина вектора и угол между векторами.
   
5. 
   Неравенство Коши-Буняковского-Шварца.
   
6. 
   Сформулируйте теорему о неравенстве треугольника.
   
7. 
   Ортогональные векторы. Теорема Пифагора.
   
8. 
   Билинейные, симметричные и положительно определенные формы.
   
9. 
   Метрические формы и метрические коэффициенты.
   
10. 
    Формулы преобразования метрических коэффициентов при замене базиса.
    

Задания для самостоятельного решения

1. 
   Вычислить скалярное произведение если известно, что и
   
2. 
   Вычислить косинус угла между векторами и если известны координаты точек
   
3. 
   Вычислить ортогональную проекцию вектора на направление вектора
   
4. 
   Вычислить модуль вектора если
   
5. 
   Найти проекцию вектора на направление вектора если и
   
6. 
   По заданному и найти координату
   
7. 
   Даны вершины треугольника Определить внешний угол при вершине
   
8. 
   Найти скалярное произведение векторов если известны их модули и угол
   
9. 
   Установить связь между неравенством Коши–Буняковского и областью допустимых значений функции cos ϕ.
   
10. 
    Система координат задается репером базис которого характеризуется метрическими коэффициентами, составляющими матрицу Грамма
    

---

Найти длины базисных векторов и угол между ними.

Тест

1. Скалярное произведение векторов – это:

а) абсолютная величина этих векторов;

б) вектор;

+в) число;

г) сумма векторов.

2.Среди представленных формул стоит выбрать ту, что соответствует скалярному произведению:

+а)

б)

в)

г)

3.Чему равно скалярное произведение векторов, если угол между ними 90⁰:

а) любому числу;

б) нулю;

в) положительному числу;

г) отрицательному числу.

4. Если скалярное произведение равно отрицательному числу, то этот угол межу векторами:

а) прямой;

б)развернутый;

+в) тупой;

г) острый.

5. Укажите соответствие:



. и



Положительность. 

3а) Дистрибутивность;

1б) Коммутативность;

2в) Ассоциативность;

4г) Положительность.

6. Длина вектора определяется по формуле:

а)

б)

в)

---

г)

7. Укажите неравенство Коши - Буняковского – Шварца.

+а)

б)

в)

г)

8. Если скалярное произведение равно нулю, то векторы называются:

а) сонаправленными;

б) равными;

+в) ортогональными;

г) коллинеарными.

9. Общая формула метрической формы имеет вид:

а)

б)

в)

_+г)

10.При n=2, метрическая форма имеет вид:

а)

б)

+в)

г)

11. Метрические коэффициенты выражаются формулой:

+а)

б)

в)

_г)

12. Линейное пространство для которого выбрано и зафиксировано некоторое скалярное произведение, называется

+а) евклидовым пространством;

б) векторным пространством;

в) аффинным пространством;

г) ассоциативным пространством.

13. При каком значении x векторы и перпендикулярны.

а) 7,3;

---

б) 7;

+в) 7,5;

г) 8.

14. Косинус угла между двумя векторами равен 30⁰. Чему будет равняться их скалярное произведение, если их длина равна 3 и 4?

а)

б)

в)

г)

15. Найдите угол BAC треугольника ABC с координатами точек , :

. а) 45°;

б) 60°;

в) 50°;

+г) 90°.

---

Смотрите также файлы

• Министерство науки и высшего образования российской федерации федеральное государственное бюджетное образовательное.pdf

• Контрольная работа по теме Южная Америка.doc

• Доклад на тему ЛаоЦзы Спиридонова В. А. Кузнецов Д. С., Пгзб2014 СанктПетербург 2023.docx

• Выполнение практических заданий по дисциплине финансовый менеджмен.docx

• Практических заданий по дисциплине психология управления.docx