Таким образом, получаем: и вектор имеет координаты в базисе

4. 
   Формулы преобразования аффинных координат точек.
   

Рассмотрим на плоскости две аффинные системы координат: и пусть даны точки и

Преобразование координат состоит в следующем: выразить старые координаты точки через новые 

Зададим систему:

(2.5)

По правилу треугольника получим: 



или 



Используем (2.5):

(2.6)

Определение 2.9. Формулы (2.6) называются формулами преобразования координат.

Заметим, что матрица  перехода от базиса  к базису  в точности совпадает с матрицей из коэффициентов при в формулах (2.6). Определитель этой матрицы



поэтому система (2.6) разрешима относительно

Интересны два частных случая:

1. 
   Перенос начала.
   

2. 
   Замена координатных векторов.
   

Пример2.4.Написать формулы преобразования координат в аффинной системе, если



Решение. Имеем

---

Пример 2. Показать, что формулы



можно рассматривать как формулы преобразования координат точек аффинного пространства при переходе от одного репера к другому. Указать новые координаты точки Найти точку соответствующие координаты которой в новом и старом реперах совпадают.

Решение. Найдем определитель матрицы, составленной из коэффициентов при Раскрывая определитель по первому столбцу, находим:



Так как найденный определитель отличен от нуля, данные в условии формулы можно рассматривать как формулы преобразования координат точек аффинного пространства при переходе от одного репера к другому.

Для того чтобы найти новые координаты точки подставим ее старые координаты в исходные формулы:



Решая полученную систему, находим



Следовательно, – новые координаты точки

Если старые и новые координаты точки совпадают, то они являются решениями следующей системы уравнений:



Перенесем слагаемые в каждом равенстве в одну часть, получим:



откуда находим

Таким образом, – искомая точка.

Вопросы для самоконтроля

1. 
   Дайте определение аффинного репера.
   
2. 
   Аффинные пространства.
   
3. 
   Как определить размерность аффинного пространства?
   
4. 
   Изоморфизм аффинных пространств одной и той же размерности.
   
5. 
   Аффинные координаты.
   
6. 
   Формулы преобразования аффинных координат точек.
   

Задачи для самостоятельного решения

---

1. 
   Даны вершины треугольника Определить середины его сторон.
   
2. 
   Даны две точки: Найти координаты точки симметричные точке А относительно точки В и координаты точки симметричные точки В относительно точки А.
   
3. 
   Найдите координаты точек относительно аффинного репера если и в базисе и
   
4. 
   Написать формулы преобразования координат, если начало координат перенесено в точку
   
5. 
   Отрезок с концами разделен на три равные части. Найти координаты точек деления.
   
6. 
   Векторы заданы своими координатами в некотором базисе трёхмерного пространства. Векторы также образуют базис пространства. Найти координаты вектора в этом базисе.
   
7. 
   Векторы заданы своими координатами в некотором базисе трёхмерного пространства. Векторы также образуют базис пространства. Найти координаты вектора в этом базисе.
   
8. 
   Даны две аффинные системы координат: (старая система координат) и (новая система координат). Матрица перехода от базиса к базису имеет вид:
   

---

Координаты точки относительно старой аффинной системы координат равны Найти формулы преобразования координат.

9. 
   Выведите формулы замены базиса и замены системы координат на прямой линии. Как меняются координаты точек прямой, если при неизменном начале координат длина базисного вектора увеличивается вдвое?
   
10. 
    Определить аффинное преобразование, которое три данные точки переводит в точки
    

Тест

1. Тройка состоящая из некоторого множества элементами которого являются точки, векторного пространства и отображения относящего упорядоченной паре точек множества некоторый вектор из обозначаемый называется:

а) линейным пространством;

б) векторным пространством;

в) евклидовым пространством;

+г) аффинным пространством.

2. 
   Аффинные координаты точки в аффинной координатной системе имеют вид:
   

+а)

б)

в)

г)

3. Укажите формулы преобразования координат:

а)

+б)

в)

г)

4. Совокупность, состоящая из точки

---

и базиса называется

а) изоморфизмом;

б) аффинным пространством;

в)координатной системой;

г) координатами точки в базисе.

5. Любые два аффинные пространства одной размерности

+а) изоморфны;

б)коллинеарны;

в)пересекаются;

г)коммутитивны.

6. Координаты точки делящий отрезок в отношении находятся по формулам:

+а)

б)

в)

г)

---

Смотрите также файлы

• Научноисследовательская работа Предмет обществознание Тема работы События которые потрясли мир Шевцова Анастасия Александровна учащаяся 8 класса.pdf

• Аб 42нк125.docx

• Тема Евклидово векторное пространство.docx

• Министерство науки и высшего образования российской федерации федеральное государственное бюджетное образовательное.pdf

• Контрольная работа по теме Южная Америка.doc