Файл: Седловая точка отсутствует. Ищем решение игры в смешанных стратегиях.docx
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 18.01.2024
Просмотров: 37
Скачиваний: 1
ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.
№1.
Исходные данные:
| Игроки | B1 | B2 | a = min(Ai) |
| A1 | 14 | 6 | 6 |
| A2 | 8 | 9 | 8 |
| b = max(Bi) | 14 | 9 | |
Нижняя цена игры a = max(ai) = 8, которая указывает на максимальную чистую стратегию A2.
Верхняя цена игры b = min(bj) = 9. Седловая точка отсутствует. Ищем решение игры в смешанных стратегиях. Графически: Для 1го игрока
v = 14 + (8 - 14)p2
v = 6 + (9 - 6)p2
Откуда
p1 = 1/9
p2 = 8/9
Цена игры, v = 26/3
Для 2го игрока:
14q1+6q2 = 26/3
8q1+9q2 = 26/3
q1+q2 = 1
Решая эту систему, находим:
q1 = 1/3.
q2 = 2/3.
Аналитическое решение:
Ответ:
v= 26
/3
P(1/9, 8/9), Q(1/3, 2/3).
№2.
Исходные данные:
| Игроки | B1 | B2 | B3 | a = min(Ai) |
| A1 | 6 | -1 | 2 | -1 |
| A2 | 1 | -2 | 3 | -2 |
| A3 | 4 | 5 | -3 | -3 |
| b = max(Bi) | 6 | 5 | 3 | |
Нижняя цена игры a = max(ai) = -1, которая указывает на максимальную чистую стратегию A1.
Верхняя цена игры b = min(bj) = 3. Седловая точка отсутствует. Ищем решение в смешанных стратегиях. В платежной матрице отсутствуют доминирующие строки/столбцы. Составляем пары двойственных задач:
найти минимум функции F(x) при ограничениях (для игрока II):
9x1+4x2+7x3 ≥ 1
2x1+x2+8x3 ≥ 1
5x1+6x2 ≥ 1
F(x) = x1+x2+x3 → min
найти максимум функции Z(y) при ограничениях (для игрока I):
9y1+2y2+5y3 ≤ 1
4y1+y2+6y3 ≤ 1
7y1+8y
2 ≤ 1
Z(y) = y1+y2+y3 → max
Решаем задачу на максимум. Приводим к каноническому виду:
9y1+2y2+5y3+y4 = 1
4y1+y2+6y3+y5 = 1
7y1+8y2+y6 = 1
Опорный план:
| Базис | B | y1 | y2 | y3 | y4 | y5 | y6 |
| y4 | 1 | 9 | 2 | 5 | 1 | 0 | 0 |
| y5 | 1 | 4 | 1 | 6 | 0 | 1 | 0 |
| y6 | 1 | 7 | 8 | 0 | 0 | 0 | 1 |
| Z(Y0) | 0 | -1 | -1 | -1 | 0 | 0 | 0 |
В качестве ведущего выберем столбец, соответствующий переменной y3, так как это наибольший коэффициент по модулю. 2я строка является ведущей:
| Базис | B | y1 | y2 | y3 | y4 | y5 | y6 | min |
| y4 | 1 | 9 | 2 | 5 | 1 | 0 | 0 | 1/5 |
| y5 | 1 | 4 | 1 | 6 | 0 | 1 | 0 | 1/6 |
| y6 | 1 | 7 | 8 | 0 | 0 | 0 | 1 | |
| Z(y1) | 0 | -1 | -1 | -1 | 0 | 0 | 0 | |
Вместо переменной y5 в план 1 войдет переменная y3.
| Базис | B | y1 | y2 | y3 | y4 | y5 | y6 |
| y4 | 1/6 | 17/3 | 7/6 | 0 | 1 | -5/6 | 0 |
| y3 | 1/6 | 2/3 | 1/6 | 1 | 0 | 1/6 | 0 |
| y6 | 1 | 7 | 8 | 0 | 0 | 0 | 1 |
| Z(y1) | 1/6 | -1/3 | -5/6 | 0 | 0 | 1/6 | 0 |
В качестве ведущего выберем столбец, соответствующий переменной y2, так как это наибольший коэффициент по модулю. 3я строка является ведущей:
| Базис | B | y1 | y2 | y3 | y4 | y5 | y6 | min |
| y4 | 1/6 | 17/3 | 7/6 | 0 | 1 | -5/6 | 0 | 1/7 |
| y3 | 1/6 | 2/3 | 1/6 | 1 | 0 | 1/6 | 0 | 1 |
| y6 | 1 | 7 | 8 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1/8 |
| Z(y2) | 1/6 | -1/3 | -5/6 | 0 | 0 | 1/6 | 0 | |
Вместо переменной y6 в план 2 войдет переменная y2. Получаем новую симплекс-таблицу:
| Базис | B | y1 | y2 | y3 | y4 | y5 | y6 |
| y4 | 1/48 | 223/48 | 0 | 0 | 1 | -5/6 | -7/48 |
| y3 | 7/48 | 25/48 | 0 | 1 | 0 | 1/6 | -1/48 |
| y2 | 1/8 | 7/8 | 1 | 0 | 0 | 0 | 1/8 |
| Z(y2) | 13/48 | 19/48 | 0 | 0 | 0 | 1/6 | 5/48 |