Файл: Методы решения задач по теоритической механике(ЧАСТЬ-2).doc

    Рассмотрим вначале методику решения задач, в которых движение точки задано координатным способом. Уравнения (1.1) определяются либо из геометрических условий, либо в результате интегрирования дифференциальных уравнений движения точки. Интегрирование дифференциальных уравнений движения точки рассматривается в разделе “Динамика точки”, который не входит в данное пособие. Получение уравнений (1.1) с использованием геометрии движения рассмотрим на примере исследования движения точки обода колеса.

Задача 1.1 (3)

Задача 1.2 (1)

Задача 1.3 (2)

Задача 1.4 (4)

Задача 1.5 (4)

Задача 1.6 (5)

Задача 1.7 (6)

Задача 1.8 (7)

Задача 1.1 (3)

    Найти уравнения движения точки М обода колеса радиуса R вагона, который движется по прямолинейному участку пути со скоростью V. Колесо катится без скольжения. Точка М в начальный момент движения соприкасалась с рельсом, т.е. занимала положение М₀ (рис. 1.1).

Рис. 1.1

    Решение

    Изобразим на расчетной схеме (рис. 1.1) оси координат х и у, начало координат поместим в начальное положение точки М₀.

    Рассмотрим два положения колеса: в начальный момент t = 0 и в текущий момент времени t.

    Отметим положение точки М на ободе колеса и положение центра С колеса в момент t, координаты точки: x_м = М₀В, у_м = МВ.

    Расстояние от центра колеса до рельса остается постоянным и равным R; это значит, что центр C колеса движется по прямой, параллельной оси х. За время t центр колеса переместится на расстояние C₀C = Vt (закон равномерного движения точки C), одновременно колесо повернется на угол  .

    Чтобы получить уравнения движения точки М, надо координаты этой точки представить как функции времени.

    Из расчетной схемы (рис. 1.1) видно, что

х_м = C₀C – ЕС, у_м = ВЕ – МЕ;

или

х_м = Vt – ЕС, у_м = R – МЕ.

    Из треугольника МЕС имеем;

МЕ = Rsin (90 –  ) = Rcos ,

ЕC = Rcos (90 –  ) = Rsin ,

Тогда х_м = Vt – Rsin , (a)

у_м = R – Rcos .

    Найдем зависимость угла  от времени t: так как колесо катится без скольжения, то длина дуги АМ окружности обода колеса (рис.1.1) равна длине отрезка М₀А.

    При этом

М₀А = С₀С = Vt ,

но длина дуги АМ равна также произведению радиуса R на центральный угол  ; поэтому Vt = R , отсюда .

    Теперь уравнения (а) будут иметь вид

;                  .

    Полученные уравнения представляют собой уравнения движения точки М. В аналитической геометрии показано, что это параметрические уравнения циклоиды (параметром в данном случае является время t). Таким образом, траектория точки обода колеса, движущегося по прямолинейному участку пути без проскальзывания, является циклоидой. Длина одной ветви циклоиды L (рис. 1.1) равна 2 R, высота – H = 2R.

Задача 1.2 (1)

    Даны уравнения движения точки:

       ;        (х, у – м; t – с).                           (б)

1. Определить уравнение траектории и построить ее.

2. Определить начальное положение точки на траектории.

3. Указать моменты времени, когда точка пересекает оси координат.

4. Найти закон движения точки по траектории s = s(t), принимая за начало отсчета расстояний начальное положение точки.

5. Построить график движения точки.

    Решение

    1. Для получения уравнения траектории вида F(x, y) = 0 исключим из уравнений движения (б) время t: из первого уравнения системы (б) найдем

,

подставляя это выражение во второе уравнение той же системы, получим уравнение траектории

y = x + 5.

    2. Для определения положения точки в начальный момент времени необходимо подставить значение t = 0 в уравнения движения (б)

м;

м.

Точка при t = 0 занимает положение М₀ (-1;4).

    3. В момент пересечения точкой оси у координата х равна нулю, а первое уравнение системы (б) примет вид:

.

Отсюда

где n = 0, 1, 2 …

    В момент пересечения точкой оси х координата у равна нулю, а второе уравнение системы (б) примет вид:

или .

Но косинус не может быть больше 1. Следовательно, точка не пересекает ось х (см. об этом также п. 4 решения задачи).

    4. Для определения закона движения точки по траектории воспользуемся формулой (1.8). За начало отсчета координаты s примем начальное положение точки М₀. Подставляя в уравнения (б) значения t > 0, видим, что с выходом из начального положения М₀ координаты точки х и у увеличиваются. Это направление движения точки примем за положительное направление отсчета координаты s (см. стрелку на рис. 1.2), а в формуле (1.8) оставим знак “плюс”:

.

    Учитывая, что

получим

или

                                          .                                                        (в)

    Из закона (в) следует, что координата s не может быть отрицательной, т.е. точка движется по полупрямой М₀М (рис.1.2) и ось х не пересекает (см. по этому поводу п. 3 решения задачи).

    5. График движения точки – это графическое представление зависимости расстояния s от времени t. Для построения такого графика по оси абсцисс откладывают последовательные значения времени t, а по оси ординат – соответствующие им значения расстояния s. Построенные точки соединяют плавной линией. График зависимости (в) можно построить быстрее, если воспользоваться известным графиком косинуса. Для этого вначале построим график функции (штриховая линия на рис. 1.3), затем этот график сместим вдоль оси s на величинум.

Рис. 1.3.

Задача 1.3 (2)

    Даны уравнения движения точки:

           ;        (х, у – см; t – с ).                             (г)

1. Определить уравнение траектории и построить ее.

2. Определить начальное положение точки на ее траектории.

3. Найти закон движения точки по траектории s = s(t), принимая за начало отсчета расстояний начальное положение точки.

4. Определить время T прохождения точкой полной окружности.

    Решение

    сложим эти уравнения и после преобразования получим

.

    Это уравнение окружности радиуса R = 5 см, центр окружности расположен в точке С (-2,5; 5) (рис. 1.4).

    2. Для определения начального положения точки подставим значение времени t = 0 в уравнения (г)

х₀ = 5 соs0 – 2,5 = 2,5 см; у₀ = 5 sin0 – 5 = 5 см;

    Точка при t = 0 занимает положение М₀ (2,5; 5).

    3. Для определения закона движения точки по траектории воспользуемся формулой (1.8). За начало отсчета координаты s примем точку M₀. Из системы уравнений (г) видно, что с увеличением времени t от нуля x уменьшается, а y увеличивается.

    Такое возможно, если после выхода из начального положения точка будет двигаться по окружности против часовой стрелки. Это направление движения точки примем за положительное направление отсчета координаты s (см. стрелку на рис. 1.4), а в формуле (1.8) перед интегралом оставим знак “плюс”:

, где ;.

    Отсюда

                                               ; .                                            (д)

    4. Определим время Т прохождения точкой полной окружности. Т – время, по истечении которого s в формуле (д) станет равным длине окружности 2 R:

                                        .

    Отсюда с.

Задача 1.4 (4)

    Даны уравнения движения точки:

                               ;                 y = t (x, y – м; t – с ).                                 (е)

1. Определить уравнение траектории точки.

2. Определить скорость и ускорение точки при t = 0 и t = 1 с.

3. Построить траекторию и указать полученные векторы скорости и ускорения на чертеже.

    Решение

    1. Уравнение траектории получается подстановкой в первое уравнение системы (е) величины t = y, полученной из второго уравнения этой системы:

                                                   .                                                              (ж)

    2. Модуль скорости точки определяется по формуле , где– проекции вектора скорости на координатные оси. Для заданного движения (е) имеем

,                              м/c.

    При t = 0                   ,м/c.