ВУЗ: Новосибирский государственный технический университет
Категория: Учебное пособие
Дисциплина: Математика
Добавлен: 15.02.2019
Просмотров: 14514
Скачиваний: 146
Ответы к задачам главы 9
31
34.
2
2
(
1)
(
1)
xy
dz
e
y
xy
dx
x
xy
dy
,
2
2
2
2
2
(
2)(
)
2(
)(
2)
(
2)(
)
.
xy
d z
e
y y
xy
dx
x
y xy
dxdy
x x
xy
dy
35.
(
)
(
)
(
)
du
y
z dx
x
z dy
x
y dz
,
2
2(
)
d u
dxdy dydz
dxdz
.
36.
(
)
xyz
du
e
yzdx
zxdy
xydz
,
2
2
(
)
2(
)
xyz
d u
e
yzdx
xzdy
xydz
zdxdy
xdydz
ydzdx
.
37.
2
3
2
( )
2 sec
6
x
y
z t
e
t
t
.
38.
/
/
(ln )cos
y
dz dt
x
y tx
x
t
.
39.
2
2
/
(
2
)
/
t
dz dt
x z
yt
yzte
tx
.
40.
2
/(
),
/
(
1) / (
)
x
x
y
x
y
x
y
x
z
e
e
e
dz dx
e
e
x
e
e
.
41.
2
2
2
2
2
/
(
1) ,
/
1 2(
1)
/
(
1)
x
z
y
y
x
dz dx
y
x
y
x
.
42.
2
2
/
( ln )/
,
2
(ln )/
/
x
y
z
u ux v
y
v x
z
u
v x uy v
.
43.
2
2
(2
) sin
(
2
) sin
dz
uv v
y
u
uv y
x dx
2
2
(2
) cos
(
2
) cos
uv v x
y
u
uv
x dy
.
44.
2
2
( , ) 2
( , ) / (
)
x
v
u
z
xf u v
yf u v
x
y
,
2
2
( , )/(
)
3 ( , )
y
u
v
z
xf u v
x
y
f u v
.
45.
2
(cos( / )
( , )
/
( , )/ 2)(
)
u
v
dz
y
x y f u v
y x f u v
ydx
xdy
.
46. a)
2 2
2
2 2
2
(
) / (
)
x
y
y
x
y
y e
xe
x e
ye
;
б)
( cos
sin(
)) / (sin(
) sin )
y
y
x
x
y
x
y
x
.
47. a)
2
(
1) / (
1),
4(
) / (
1)
y
x
y
x
y
y
x
y
x
y
;
б)
2
2
2
5
(1
)/
,
2(1
)/
y
y
y
y
y
y
.
48.
1,
1/ 2.
x
y
z
z
49. а)
3
3
(
)
/
2
(
) ,
x
z
yz z
x
z
z
xy x
z
3
(
) /
2
(
)
y
z
xz x
z
z
xy x
z
;
б)
( , ) 2
( , ) /
( , ) 2
( , )
x
u
v
u
v
z
F u v
xF u v
F u v
zF u v
,
( , ) 2
( , ) /
( , ) 2
( , )
y
u
v
u
v
z
F u v
yF u v
F u v
zF u v
.
50. 8,29. 51. 2,95. 52. 0,227. 53. 0,005. 54. 8,2 м
3
.
55. Увеличится на 617,5 см
3
.
Г л а в а 9. Функции нескольких переменных
32
56. а)
2
1 0;
/ 4
,
/ 4
,
1/ 2 2
x
y
z
x
t y
t z
t
;
б)
2
0;
1
,
,
1/
x ez
x
t y
z
et
e
;
в) 2
7
5
4
0;
2 2 ,
1 7 ,
3 5
x
y
z
x
t y
t z
t
;
г)
4
0;
2
,
2
,
1 4
x
y
z
x
t y
t z
t
;
д) в точке (0; 0; 0): z = 0; x = 0, y = 0, z = t. В точке (0; 0; –4):
z = –4; x = 0, y = 0, z = –4 + t.
57.
cos
1/ 6
,
cos
1/ 6, cos
2/ 6
.
58.
min
9 при
0,
3
z
x
y
. 59.
max
1/64 при
1/4,
1/2
z
x
y
.
60.
min
30 при
5,
2
z
x
y
. 61.
min
28 при
2,
1
z
x
y
;
max
28 при
2,
1
z
x
y
. В критических точках (1; 2), (–1; –2)
экстремумов нет. 62.
1
min
max
0 при
0;
2
z
x
y
z
e
при
1,
0
x
y
. В критических точках (0;
1) экстремумов нет.
63.
наиб
6
z
в точках (3; 0) и (0; 3);
наим
1
z
в точке (1; 1).
64.
наиб
1/ 2
z
в точках
(1/ 2; 1/ 2)
и
( 1/ 2;
1/ 2)
;
наим
1/ 2
z
в точках
(1/ 2; 1/ 2)
и
( 1/ 2; 1/ 2)
.
65.
наим
0
z
в точке (0; 0);
наиб
3/
z
e
в точках (0; 1) и (0; -1).
66.
2 2 / 3, 2 2 / 3,
/ 3
R
R
H
. 67.
3
2
x
y
z
V
.
68.
2
2
( , ) 12 15(
2) 6(
2)
3(
2)(
1) 6(
1)
f x y
x
x
x
y
y
3
3
(
2)
2(
1)
x
y
.
69.
2
2
3
2
2
( , ) 1
(
) / 2! (
3
) / 3!
(
)
f x y
y
y
x
y
x y
o
,
где
2
2
x
y
.
70.
2
3
( , ) 1 (
1) (
1) (
1)
(
1)(
1) (
1)
f x y
x
y
x
x
y
x
2
3
(
1) (
1)
(
)
x
y
o
, где
2
2
(
1)
(
1)
x
y
.
71.
2
2
2
1 2(
1) / 3 (
1) / 2 2(
1) / 9 (
1) /8
(
)
z
x
y
x
y
o
,
где
2
2
(
1)
(
1)
x
y
.
Г Л А В А 10
ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ
УРАВНЕНИЯ
10.1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ
Обыкновенным дифференциальным уравнением (ДУ) называет-
ся равенство, содержащее независимую действительную перемен-
ную x, неизвестную действительную функцию
( )
y
y x
и ее произ-
водные
( )
, ,...,
:
n
y y
y
( )
( , , , ,...,
)
0
n
F x y y y
y
; (10.1)
функция F – известная действительная функция от n+2 переменных.
Уравнение (10.1) называется уравнением в общем виде.
Порядком уравнения называется порядок старшей производ-
ной, входящей в уравнение.
Уравнение, разрешенное относительно старшей входящей в не-
го производной
( )
(
1)
( , , ,...,
),
n
n
y
f x y y
y
(10.2)
называется уравнением n-го порядка в нормальной форме.
Решением уравнения (10.1) [или (10.2)] на интервале (a,b) на-
зывается функция
( )
y
x
, обращающая это уравнение в тождество
при
( , )
x
a b
. График решения на плоскости Oxy называется инте-
гральной кривой.
Процесс нахождения решений называется интегрированием
уравнения.
З а м е ч а н и е. Если искомая функция есть функция несколь-
ких независимых переменных, дифференциальное уравнение назы-
вается уравнением в частных производных. Здесь рассматриваются
только обыкновенные дифференциальные уравнения.
10.2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА
Отметим следующие формы записи уравнения первого порядка:
( , , )
0
F x y y
(10.3)
– уравнение первого порядка в общем виде;
Г л а в а 10. Обыкновенные дифференциальные уравнения
34
( , )
y
f x y
(10.4)
– в нормальной форме;
( , )
( , )
0
M x y dx
N x y dy
(10.5)
– в дифференциальной форме.
Уравнение (10.4) может быть записано в форме (10.5) и наобо-
рот, посредством применения формулы
dy
y
dx
.
Ниже излагаются методы решения уравнений (10.4) и (10.5).
Наряду с уравнением (10.4) рассматривается «перевернутое» урав-
нение
1
( , )
x
f x y
. (10.4
)
Под областью определения D уравнения (10.4) понимают объ-
единение областей определения функций f и
1
f
; под областью оп-
ределения уравнения (10.5) понимают пересечение областей опре-
деления функций M и N; D есть подмножество плоскости Oxy.
Пример. Область определения уравнения
1
y
x
содержит
прямую x = 0 (перевернутое уравнение:
x
x
), D есть вся плос-
кость Oxy.
Геометрический смысл уравнения (10.4) заключается в задании
в каждой точке области определения направления касательной к ин-
тегральной кривой. Дифференциальное уравнение (10.4) задает на
области определения D поле направлений. В точках, где
1
0
( , )
f x y
,
т.е. y
, заданное направление перпендикулярно оси Ox.
Задачей Коши для дифференциального уравнения I порядка на-
зывают задачу нахождения решения
( )
y
x
, удовлетворяющего
начальному условию
0
0
( )
y x
y
. Геометрически это означает, что
ищется интегральная кривая, проходящая через заданную точку
0
0
0
(
, )
M
x
y
области определения уравнения.
Теорема существования и единственности решения задачи
Коши. Пусть в (10.4) функция f (x, y) и ее частная производная
f
y
непрерывны в области D плоскости Oxy, содержащей точку
0
0
0
(
,
)
M
x
y
. При этих условиях задача Коши
0
0
( , )
(
)
y
f x y
y x
y
имеет
решение и притом единственное на некотором интервале
0
0
(
,
)
x
h x
h
.
З а м е ч а н и е 1. Имеются и другие достаточные условия су-
ществования решения и его единственности.
10.2. Дифференциальные уравнения первого порядка
35
Пусть в области D плоскости Oxy выполнены условия теоремы
существования и единственности решения задачи Коши.
Функция
( , )
y
x C
, (10.6)
определенная в некоторой области изменения переменных x и C и
имееющая непрерывную частную производную по x, называется
общим решением уравнения (10.4) в области D, если:1)
const
C
( , )
y
x C
– решение уравнения на интервале оси Ox, для точек ко-
торого ( ; ( , ))
x
x C
D
; 2) какие бы начальные условия
0
0
(
)
y x
y
ни
задать,
0
0
(
,
)
x y
D
,
C
такое, что эти начальные условия будут
удовлетворены функцией вида
( , )
y
x C
(другими словами, урав-
нение
0
0
(
, )
y
x
C
разрешимо относительно С).
З а м е ч а н и е 2. Если общее решение уравнения (10.4) задано
в неявном виде
( , , )
0
x y C
, (10.7)
то оно называется общим интегралом этого уравнения в области D.
Можно сказать, что общий интеграл при различных C опреде-
ляет в области D те же кривые, что и дифференциальное уравнение
(т.е. интегральные кривые).
Переменную C, входящую в общее решение или в общий инте-
грал уравнения, называют произвольной постоянной.
Решение, в каждой точке которого сохраняется единственность
решения задачи Коши, называется частным решением. Решения,
получаемые из общего решения, – частные до выхода их на границу
области D.
Решение, в каждой точке которого нарушается единственность
решения задачи Коши, называется особым решением. График особого
решения может проходить по границе области D, в которой выпол-
няются условия существования и единственности решения.
Особое решение обычно можно обнаружить в процессе по-
строения общего решения данного дифференциального уравнения.
Это те интегральные кривые, которые могут быть утеряны при пре-
образовании данного уравнения в процессе решения.
З а м е ч а н и е 3. Кроме указанных выше решений дифферен-
циальное уравнение может иметь решения, которые не являются ни
частными, ни особыми. Например, такими решениями будут реше-
ния, склеенные из «отрезков» частных и особых решений.
З а м е ч а н и е 4. Если общее решение (общий интеграл) пред-
ставлено в виде неопределенных интегралов от элементарных
функций, то говорят, что уравнение решено в квадратурах.
Пример. Показать, что функция
3
y
Cx
является решением
дифференциального уравнения
3
0
xy
y
на интервале (
, )
.