ВУЗ: Новосибирский государственный технический университет
Категория: Учебное пособие
Дисциплина: Математика
Добавлен: 15.02.2019
Просмотров: 14533
Скачиваний: 146
Г л а в а 10. Обыкновенные дифференциальные уравнения
106
300.
2
3
2
3
(
) cos
(
) sin
x
C
C
t
C
C
t
,
1
2
3
cos
sin
t
y
C e
C
t C
t
,
1
2
3
sin
cos ;
t
z
C e
C
t
C
t
cos ,
x
t
1
(cos
sin )
2
y
t
t
,
1
(cos
sin )
2
z
t
t
.
301.
1
2
3
2
3
(7
11
) cos
( 11
7
) sin
t
x
C e
C
C
t
C
C
t
,
1
2
3
2
3
2
(15
9
) cos
( 9
15
) sin
t
y
C e
C
C
t
C
C
t
,
1
2
3
2
3
2
( 2
8
) cos
( 8
2
) sin
t
z
C e
C
C
t
C
C
t
.
302.
2
1
2
(
),
x
y
e
C
C x
2
1
2
(1
)
x
z
e
C
C
x
.
303.
1
2
(
)
t
x
e
C
C t
,
1
2
2
(2
1)
t
y
e
C
C
t
.
304.
2
1
2
t
t
x
C e
C e
,
2
1
2
3
2
3
3
t
t
t
y
C e
C e
C e
,
2
1
3
2
t
t
z
C e
C e
. 305.
1
2
2
3
(
)
t
t
x
C e
C t
C
C e
,
1
2
2
3
t
t
y
C e
C e
,
1
2
3
2
(
)
t
t
z
C e
C t
C e
.
306.
1
3
t
x
C
C e
,
1
2
3
3
3
2
t
y
C
C
C e
,
2
3
2
t
z
C
C e
.
307.
1
2
3
(
1)
t
x
C
C t
C e
,
2
3
3
2
t
y
C
C e
,
1
2
3
2
t
z
C
C t
C e
.
308.
2
2
3
1
1
2
x
x
y
x
C e
C e
,
2
3
2
1
2
2
2
;
x
x
y
x
C e
С e
2
1
,
y
x
2
2.
y
x
309.
2
1
2
2
x
x
x
y
e
C e
C e
,
2
1
2
9
3
x
x
x
z
e
C e
C e
.
310.
1
2
x
x
x
y
xe
C e
C e
,
1
2
(
1)
3
x
x
x
z
x
e
C e
C e
.
311.
/ 2
1
2
2 cos
3 sin 2
2
cos( 3 / 2)
sin( 3 / 2)
,
t
x
t
t
e
C
t
C
t
/ 2
1
2
7 sin 2
3
3
cos( 3 / 2)
t
y
t
e
C
C
t
+
1
2
3
3
cos( 3 / 2)
C
C
t
.
312.
1
2
cos
cos
sin ,
x
t
t
C
t
C
t
1
2
1
2
(cos
sin ) (
) cos
(
) sin ;
y
t
t
t
C
C
t
C
C
t
(
1) cos
sin
x
t
t
t
,
(
2) cos
sin
y
t
t
t
t
.
11.5. Знакочередующиеся ряды
113
11.5. ЗНАКОЧЕРЕДУЮЩИЕСЯ РЯДЫ
Ряд называется знакочередующимся, если он имеет вид
1
1
( 1)
,
0
n
n
n
n
u
u
. (11.8)
Теорема 7 (признак Лейбница). Если члены знакочередующе-
гося ряда не возрастают по абсолютной величине с ростом n, т.е. на-
чиная с некоторого n, верно неравенство
1
n
n
u
u
и
lim
0
n
n
u
, то
ряд (11.8) сходится, причем, если его сумма равна s, то
1
0
s
u
.
Пример. Исследовать сходимость ряда
1
2
1
( 1)
n
n
n
.
Ряд знакочередующийся. Применим признак Лейбница (теоре-
ма 7).
2
1
n
u
n
,
1
2
1
(
1)
n
u
n
. Очевидно, что
1
2
2
1
1
(
1)
n
n
u
u
n
n
.
Кроме того,
2
1
lim
0
n
n
. Выполнены оба условия признака Лейбни-
ца, следовательно, ряд сходится.
Пример. Исследовать сходимость ряда
1
1
( 1)
6
5
n
n
n
n
.
Дан знакочередующийся ряд. Члены этого ряда по абсолют-
ной величине монотонно убывают. В самом деле,
1
1
6
5
6(
1) 5
n
n
n
n
u
u
n
n
, так как
1
6
5
6(
1) 5
n
n
n
n
=
2
2
6
6
5
6
5
(6
5)(6
1)
n
n
n
n
n
n
n
5
0
(6
5)(6
1)
n
n
.
Однако lim
lim
6
5
n
n
n
u
n
1
0
6
. Значит, ряд расходится по необ-
ходимому признаку (теорема 1, следствие), по признаку Лейбница
расходимость не установить.
11.6. ЗНАКОПЕРЕМЕННЫЕ РЯДЫ
Ряд
1
n
n
u
называется знакопеременным, если членами его яв-
ляются любые действительные числа:
(
)
n
n u
R
.
Теорема 8 (признак абсолютной сходимости). Дан ряд
1
,
n
n
n
u
u
R
. Если сходится ряд
1
n
n
u
, то сходится и ряд
1
n
n
u
.
Ряд
1
n
n
u
в этом случае называется абсолютно сходящимся.
Г л а в а 11. Ряды
114
Так как знакочередующийся ряд – частный случай знакопере-
менного ряда, то и к знакочередующемуся ряду можно применять
признак абсолютной сходимости.
Пример. Исследовать сходимость ряда
1
sin
(ln10)
n
n
n
.
Дан знакопеременный ряд. Применим к нему признак абсо-
лютной сходимости. Составим ряд из абсолютных величин членов
исходного ряда:
1
sin
(ln10)
n
n
n
. Этот знакоположительный ряд сравним
в непредельной форме с рядом
1
1
(ln10)
n
n
, который представляет
собой геометрическую прогрессию с
1
1
ln10
q
, следовательно,
1
1
(ln10)
n
n
сходится. Имеем очевидное неравенство:
sin
1
(ln10)
(ln10)
n
n
n
,
тогда ряд
1
sin
(ln10)
n
n
n
также сходится, а значит, по признаку абсо-
лютной сходимости исходный ряд сходится абсолютно.
Если ряд
1
n
n
u
сходится, а ряд
1
n
n
u
расходится, то ряд
1
n
n
u
называется условно сходящимся.
Пример. Исследовать на абсолютную или условную сходи-
мость так называемый ряд Лейбница
1
1
1
1
1
1
1
1
... ( 1)
...
( 1)
2
3
n
n
n
n
n
. (11.9)
По признаку Лейбница (теорема 7) этот ряд сходится,
так как для него выполняются оба условия этого признака:
a)
1
1
1
1
n
n
u
u
n
n
и б)
1
lim
lim
0
n
n
n
u
n
. Но ряд, составленный
из абсолютных величин данного ряда
1
1
1
...
...
2
n
, является
гармоническим, который расходится (см. 11.4). Следовательно, ряд
Лейбница сходится условно.
Теорема 9. В сходящемся (абсолютно или условно) ряде мож-
но группировать члены, не меняя их порядка. Иными словами,
если сходится ряд
1
2
...
...
n
u
u
u
, то сходится и ряд
11.6. Знакопеременные ряды
115
1
2
1
2
(
...
)
(
...
)
n
n
n
l
u
u
u
u
u
u
+
1
2
(
...
) ...
l
l
m
u
u
u
, при-
чем оба ряда имеют одну и ту же сумму.
Теорема 10. Абсолютно сходящийся ряд остается сходящимся
и сохраняет сумму при любой перестановке его членов.
Теорема 11. В условно сходящемся ряде при соответствующей
перестановке его членов можно сделать его сумму равной любому
наперед заданному числу или сделать ряд расходящимся.
Произведением рядов
1
1
n
n
u
s
и
2
1
n
n
v
s
называется ряд
1
n
n
w
, где
1
2
1
1
...
n
n
n
n
w
u v
u v
u v
.
Теорема 12. Если перемножаемые ряды сходятся абсолютно,
то ряд-произведение сходится также абсолютно и имеет сумму, рав-
ную
1
2
s s
.
Краткие рекомендации по применению тех или иных призна-
ков сходимости к соответствующим рядам приведены в следующей
таблице.
Знакоположительные
ряды
Знакочередующиеся
ряды
Знакопеременные
ряды
1. Необходимый
2. Сравнения в непредельной
форме
3. Сравнения в предельной
форме
4. Даламбера
5. Коши радикальный
6. Коши интегральный
1. Необходимый.
2. Лейбница.
3. Абсолютной
сходимости
1. Необходимый.
2. Абсолютной
сходимости
Следует иметь в виду, что существуют и другие признаки схо-
димости рядов.
Задачи для самостоятельного решения
Найти сумму ряда, исходя из определения.
1.
1
1
(3
2)(3
1)
n
n
n
. 2.
1
1
(
3)
n
n n
. 3.
1
3
2
6
n
n
n
n
.
Г л а в а 11. Ряды
116
Доказать расходимость рядов с помощью необходимого при-
знака.
4.
1
2
1
2
2
n
n
n
. 5.
4
1
2
n
n
n
. 6.
1
1000
1
n
n
n
.
Решить вопрос о сходимости рядов с помощью признаков
сравнения.
7.
2
1
1
1
n
n
n
. 8.
1
1
ln(
1)
n
n
. 9.
1
sin
2
n
n
. 10.
4
5
1
ln
n
n
n
.
11.
2
2
1
1
ln
n
n
n
. 12.
4
3
1
1
2
7
2
n
n
n
n
n
.
13.
1
1
1
1
sin
cos
tg
n
n
n
n
. 14.
1
1 cos
n
n
.
Исследовать сходимость рядов с помощью признака Далам-
бера.
15.
1
1
tg
2
n
n
n
. 16.
1
1 3...(2
1)
3
!
n
n
n
n
. 17.
1
(
1)!
2
n
n
n
n
.
18.
2
1
sin
2
n
n
n
. 19.
2
1
3
n
n
n
. 20.
1
4
!
n
n
n
n
n
.
Исследовать сходимость рядов с помощью признака Коши
(радикального).
21.
1
1
arcsin
n
n
n
. 22.
2
1
1
3
n
n
n
n
n
. 23.
2
1
3
1
2
1
n
n
n
n
.
Исследовать сходимость рядов с помощью интегрального при-
знака Коши.
24.
2
1
ln
n
n
n
. 25.
2
1
1
(
1) ln (
1)
n
n
n
.
Выяснить, какие из рядов сходятся, какие расходятся.
26.
3
4
1
2 cos
3
5
n
n
n
. 27.
1
1
n
n
n
. 28.
2
1
!
n
n
n
.
29.
1
sin
2
n
n
. 30.
2
2
1
1
(
1
1)
n
n
n
n
n
n
.