ВУЗ: Новосибирский государственный технический университет
Категория: Учебное пособие
Дисциплина: Математика
Добавлен: 15.02.2019
Просмотров: 14545
Скачиваний: 146
11.6. Знакопеременные ряды
117
31.
1
1
arctg
n
n
n
. 32.
1
3
2
n
n
n
n
. 33.
2
2
3
1
1
1
n
n
n
. 34.
1
!
n
n
n
n
.
35. Доказать, что
lim
0
(2 )!
n
n
n
n
.
Исследовать сходимость следующих рядов. В случае сходимо-
сти исследовать, как ряды сходятся: абсолютно или условно.
36.
1
3
1
1
( 1)
(2
1)
n
n
n
. 37.
1
1
( 1)
ln(
1)
n
n
n
. 38.
2
1
sin
n
n
n
.
39.
1
1
1
( 1)
2
n
n
n
n
. 40.
1
1
1
( 1)
n
n
n
n
. 41.
1
1
( 1)
n
n
n
.
42.
1
( 1)
ln
n
n
n
n
. 43.
2
1
1
2
( 1)
!
n
n
n
n
. 44.
2
2
1
( 1)
2
n
n
n
n
n
.
45.
1
2
1
( 1)
3
1
n
n
n
n
n
.
46. Показать, что если ряды
2
1
n
n
a
и
2
n
b
сходятся, то и ряд
1
n n
n
a b
абсолютно сходится.
47. Показать, что если ряд
1
n
n
a
абсолютно сходится, то и ряд
1
1
n
n
n
a
n
тоже абсолютно сходится.
48. Дан ряд
1
1
( 1)
1
...
... .
2! 3!
!
n
n
Оценить ошибку, до-
пускаемую при замене суммы этого ряда суммой его первых четы-
рех членов. Суммой первых пяти членов. Что можно сказать о знаке
этих ошибок?
49. Сколько нужно взять членов ряда
1
1
( 1)
n
n
n
, чтобы вы-
числить его сумму с точностью до 0,01? до 0,001?
Г л а в а 11. Ряды
118
ОТВЕТЫ К ЗАДАЧАМ ГЛАВЫ 11
1.
1
3
s
. 2.
11
18
s
. 3.
3
2
s
.
7. Расходится. 8. Расходится. 9. Сходится. 10. Сходится.
11. Сходится. 12. Сходится. 13. Сходится. 14. Сходится.
15. Сходится. 16. Сходится. 17. Сходится. 18. Сходится.
19. Сходится. 20. Расходится. 21. Сходится. 22. Сходится.
23. Расходится. 24. Расходится. 25. Сходится. 26. Сходится.
27. Расходится. 28. Сходится. 29. Расходится. 30. Расходится.
31. Сходится. 32. Расходится. 33. Сходится 34. Сходится.
36. Сходится абсолютно. 37. Сходится условно.
38. Сходится абсолютно. 39. Сходится абсолютно.
40. Расходится. 41. Сходится условно. 42. Сходится условно.
43. Расходится. 44. Сходится абсолютно. 45. Сходится абсолютно.
48. а) ошибка по модулю меньше
1
120
, ошибка отрицательная.
49. а) 99 членов; б) 999 членов.
Г Л А В А 12
ФУНЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ
12.1. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
Ряд
1
2
1
( )
( ) ...
( ) ...
( )
n
n
n
f x
f x
f
x
f
x
, (12.1)
членами которого являются функции от x , определенные на множе-
стве D, называется функциональным рядом. Если числовой ряд
0
1
(
)
n
n
f
x
сходится, где
0
x
D
, то
0
x
называется точкой сходимо-
сти ряда (12.1). Множество всех точек сходимости ряда (12.1) назы-
вается областью сходимости ряда (12.1). Если существует
lim
( )
( )
n
n
S x
S x
, где
1
2
( )
( )
( ) ...
( )
n
n
S x
f x
f x
f x
,
x
X
, то го-
ворят, что ряд (12.1) сходится на множестве X к S(x). S(x) называется
суммой ряда (12.1). На языке «
N
» это можно записать так:
lim
( )
( )
n
n
S x
S x
(
0) (
) (
x
X
N
( , )) (
( )
( )
)
n
N
x
n
N
S x
S x
.
Для нахождения области сходимости ряда (12.1) можно ис-
пользовать эталонные ряды и достаточные признаки сходимости чи-
словых рядов.
Пример. Найти область сходимости ряда
1
1
x
n
n
.
Данный ряд представляет собой обобщенный гармониче-
ский ряд, который сходится при
1
x
и расходится при
1
x
. Обла-
стью сходимости ряда является интервал (1;
)
.
Пример. Найти область сходимости ряда
1
ln
n
n
x
.
Данный ряд является геометрической прогрессией, которая
сходится, если
ln
1
q
x
.
1
ln
1
1 ln
1
x
x
x
e
e
. Об-
ласть сходимости ряда – интервал
1
; e
e
.
Г л а в а 12. Функциональные ряды
120
Пример. Найти область сходимости ряда
1
(
2)
2
n
n
n
x
n
. (a)
Для нахождения области сходимости данного ряда исполь-
зуем признак Даламбера, который применим лишь к рядам с поло-
жительными членами. Составим ряд из абсолютных величин членов
данного ряда:
1
2
2
n
n
n
x
n
(б)
и к нему применим признак Даламбера (теорема 11.4).
1
lim
n
n
n
u
q
u
1
1
2
2
lim
(
1)2
2
n
n
n
n
n
x
n
n
x
2
2
lim
2
1
2
n
x
x
n
n
. Ряд (б) будет схо-
диться, если
2
1
2
x
q
2
2
2
2
2
x
x
4
0
x
.
Тогда ряд (а) будет сходиться, и притом абсолютно в интервале
(–4, 0). При
(
,
4)
(0,
)
x
ряд (а) расходится, как не удов-
летворяющий необходимому признаку сходимости (
1)
q
[след-
ствие из теоремы (11.1)]. Если
1
q
, то ответа о сходимости ряда
признак Даламбера не дает и при
4
x
и
0
x
ряд нужно исследо-
вать особо. При х = –4 из ряда (а) получим числовой ряд
1
( 4 2)
2
n
n
n
n
=
1
1
1
( 2)
( 1) 2
( 1)
2
2
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
, который сходится (ряд Лейбни-
ца) [см. задачу раздела (11.6)]. При
0
x
из ряда (а) полу-
чим
1
1
2
1
2
n
n
n
n
n
n
– гармонический ряд, который расходится
(раздел 11.2). Итак, областью сходимости ряда (а) будет промежу-
ток [–4; 0).
Задачи для самостоятельного решения
Найти область сходимости следующих рядов.
1.
2
1
n
n
x
n
. 2.
1
(
1)
n
n
n n
x
. 3.
2
1
sin
n
nx
n
. 4.
1
tg
2
n
n
n
x
x
.
5.
2
1
n x
n
e
. 6.
2
1
1
n
n
n
x
x
. 7.
1
10
n n
n
x
. 8.
1
!
n
n
n
x
.
12.2. Равномерная сходимость функциональных рядов
121
9.
1
3
n
n
n
n
x
. 10.
1
1
ln(
1)
1
n
n
n
x
n
. 11.
1
1
n
n
n
n
x
n
.
12.
1
cos
nx
n
nx
e
. 13.
2
1
(
5)
(
1)
n
n
n
x
n
. 14.
1
1 2
1
n
n
n
x
n
x
.
15.
2
2
1
2 (
2)
n
n
n
x
. 16.
2
1
1
1
( 1)
(2
1)(2
1)!
n
n
n
x
n
n
.
17.
2
2
2
1
1
1
(5
9)
n
n
n
n
x
. 18.
1
2
cos
n
n
n
n
x
. 19.
3
3
1
3 ( !)
(3 )!
n
n
n
n
tg x
n
.
12.2. РАВНОМЕРНАЯ СХОДИМОСТЬ ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ
РЯДОВ
Сходящийся в некотором промежутке X функциональный ряд
1
( )
n
n
f x
называется равномерно сходящимся в этом промежутке к ( )
S x ,
если (
0) (
( ))
N
N
(
) (
( )
( )
)
n
x
X
n
N
S x
S x
.
Теорема 1 (признак Вейерштрасса). Дан ряд (12.1). Если су-
ществует такой знакоположительный сходящийся числовой ряд
1
n
n
a
, (12.2)
что
(
)
( )
n
n
x
X
f x
a
, то ряд (12.1) сходится равномерно в про-
межутке X.
Ряд (12.2) в этом случае называется мажорирующим рядом
или мажорантой, а ряд (12.1) – мажорируемым сходящимся ря-
дом (12.2).
Пример. Установить равномерную сходимость ряда
2
1
cos
n
nx
n
на любом отрезке.
Рассмотрим ряд
2
1
1
n
n
. Он является знакоположительным,
сходящимся (обобщенный гармонический,
2 1
p
). Для (
)
x
справедливо неравенство
2
2
cos
1
cos
1
nx
nx
n
n
. Это значит, что
ряд
2
1
cos
n
nx
n
мажорируем на (
,
)
, а следовательно, сходится
равномерно на любом отрезке.