ВУЗ: Новосибирский государственный технический университет
Категория: Учебное пособие
Дисциплина: Математика
Добавлен: 15.02.2019
Просмотров: 14544
Скачиваний: 146
Г л а в а 12. Функциональные ряды
122
Пример. Показать, что ряд
1
n
n
x
n n
сходится равномерно на
[– 1; 1] .
Для значений
[ 1, 1]
x
очевидно
1
n
x
n n
n n
. Ряд
1
1
n
n n
– знакоположительный, сходящийся и, следовательно, по при-
знаку Вейерштрасса ряд
1
n
n
x
n n
сходится равномерно на [–1; 1] .
Задачи для самостоятельного решения
Пользуясь признаком Вейерштрасса, доказать равномерную
сходимость следующих функциональных рядов в указанных проме-
жутках.
20.
1
sin
!
n
nx
n
, (
,
)
. 21.
3
1
3
n
n
n
x
n
, [–3; 3].
22.
2 2
2
1
, (
,
)
n x
n
e
n
. 23.
1
1
1
2
1
n
n
nx
, [0;
)
.
24.
2
1
(
2) ln
2
n
n
n
x
n
n
, [0; 4].
12.3. СВОЙСТВА РАВНОМЕРНО СХОДЯЩИХСЯ
ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ РЯДОВ
Теорема 2. Если члены ряда (12.1) – функции непрерывные
в некотором промежутке X и ряд сходится в этом промежутке рав-
номерно, то сумма его ( )
S x – функция также непрерывная в X.
Теорема 3. Если члены ряда (12.1) – функции непрерывные
в X и ряд сходится равномерно в X, то ряд можно почленно интегри-
ровать на любом отрезке [ , ]
a b
X
. Иначе говоря:
1
1
( )
( )
( )
( )
b
b
n
n
n
n
a
a
S x
f x
S x dx
f x
dx
1
( )
b
n
n
a
f
x dx
.
Теорема 4. Если: 1) ряд (12.1) сходится в некотором проме-
жутке X к S(x); 2)
( )
n
n
f x
– функции непрерывные в X; 3) ряд
1
( )
n
n
f
x
сходится равномерно в X, то ряд (12.1) можно почленно
12.4. Степенные ряды. Свойства степенных рядов
123
дифференцировать в каждой точке промежутка X, т.е.
1
1
1
( )
( )
( )
( )
( )
n
n
n
n
n
n
S x
f
x
S x
f
x
f
x
.
Пример. Исходя из соотношения
1
2
1
2
n
n
dx
x
n
, найти сумму
ряда
1
1
2
n
n
n
.
Так как члены ряда
1
1
1
n
n
x
непрерывны в [2,
)
и ряд
сходится равномерно в этом промежутке по признаку Вейерштрасса
(теорема 1):
1
1
1
1
2
n
n
x
, т.е. ряд
1
1
1
n
n
x
мажорируем сходящимся
рядом
1
1
1
2
n
n
, то ряд
1
1
1
n
n
x
можно почленно интегрировать на
[2,
)
, т.е. менять местами символы
и
.
1
1
1
2
n
n
n
n
1
2
2
n
dx
x
1
1
1
n
n
x
2
2
1/
1
1
x
dx
dx
x
2
1
ln 1
x
1
1
0 ln 1
ln
ln 2
2
2
.
12.4. СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ. СВОЙСТВА СТЕПЕННЫХ РЯДОВ
Степенным рядом называется ряд вида
2
0
1
2
0
...
...
n
n
n
n
n
с
с x c x
c x
c x
, (12.3)
т.е. ряд, членами которого являются степенные функции. Всякий
степенной ряд (12.3) сходится в интервале (
, )
R R
. R называется ра-
диусом сходимости ряда (12.3). Если R = 0, то ряд (12.3) сходится
только в точке x = 0. Если R
, то ряд (12.3) сходится на всей чи-
словой оси. Если
0
R
, то интервалом сходимости является
конечный интервал с центром в точке x = 0 .
Более общий вид степенного ряда:
2
0
1
0
2
0
0
(
)
(
)
...
(
)
...
n
n
с
с x x
c x x
c x x
. (12.4)
Интервал сходимости этого ряда симметричен относительно точки
0
x
x
:
0
0
(
,
)
x
R x
R
.
Г л а в а 12. Функциональные ряды
124
Теорема 5. На всяком отрезке [ , ] (
, )
R R
ряд (12.3) схо-
дится равномерно.
Теорема 6. Степенной ряд (12.3) можно почленно интегриро-
вать на любом отрезке [ , ] (
,
)
a b
R R
.
Таким образом, если
0
( )
, то
( )
b
n
n
n
a
S x
c x
S x dx
0
b
n
n
n
a
c x dx
1
1
0
(
)
1
n
n
n
n
c b
a
n
.
Теорема 7. Ряд (12.3) можно почленно дифференцировать в
каждой точке x его интервала сходимости сколько угодно раз, при
этом радиус сходимости ряда не меняется.
1
0
0
0
( )
( )
(
)
n
n
n
n
n
n
n
n
n
S x
c x
S x
c x
nc x
.
Пример. Найти сумму ряда
2
3
...
...
2
3
n
x
x
x
x
n
.
Обозначим сумму этого ряда через ( )
S x :
2
3
( )
...
...
2
3
n
x
x
x
S x
x
n
.
Интервал сходимости этого ряда (–1; 1). На основании теоремы 7
его можно почленно дифференцировать в каждой точке интервала
(–1; 1):
2
1
( ) 1
...
...
n
S x
x
x
x
.
Справа в этом равенстве – сумма геометрической прогрессии. Если
1
q
x
, то
1
( )
1
S x
x
, откуда ( )
1
dx
S x
x
ln(1
)
x
c
. Зная,
что (0) 0,
S
получим 0
ln(1 0)
0
( )
ln(1
)
c
c
S x
x
.
Пример. Найти сумму ряда
2
4
1
2
2
1 3
5
... ( 1)
(2
1)
...
n
n
x
x
n
x
.
Обозначим сумму ряда через
( )
S x
:
2
4
( ) 1 3
5
...
S x
x
x
1
2
2
( 1)
(2
1)
...
n
n
n
x
.
Этот ряд сходится в интервале (–1; 1). На основании теоремы 6 его
можно почленно интегрировать на любом отрезке [0; ] ( 1; 1)
x
.
0
0
( )
x
x
S u du
1
2
2
1
( 1)
(2
1)
n
n
n
n
u
du
1
2
2
1
0
( 1)
(2
1)
x
n
n
n
n
u
du
1
2
1
0
1
2
1
( 1)
2
1
x
n
n
n
n
u
n
=
1
2
1
2
1
( 1)
1
n
n
n
x
x
x
.
12.5. Ряды Тейлора и Маклорена. Разложение функций...
125
Сумма последнего ряда – сумма геометрической прогрессии, для
которой
2
1
;
a
x q
x
. Таким образом,
2
0
( )
1
x
x
S u du
x
. Продиф-
ференцируем обе части этого равенства:
/
0
( )
( )
x
x
S u du
S x
(произ-
водная интеграла с переменным верхним пределом интегрирования
по этому пределу).
2
2
2
2 2
2 2
1
2
1
1
(1
)
(1
)
x
x
x
x
x
x
x
x
.
Итак,
2
2
4
1
2
2
2 2
1
1 3
5
... ( 1)
(2
1)
...
(1
)
n
n
x
x
x
n
x
x
.
Задачи для самостоятельного решения
Найти сумму ряда в № 25 – 31.
25.
4
3
5
...
...
5
4
3
n
x
x
x
n
. 26.
2
3
1
1
... ( 1)
...
1 2
2 3
(
1)
n
n
x
x
x
n n
.
27.
0
( 1) (
1)
3
n
n
n
n
n
x
. 28.
2
1
1
1
(
)
2
n
n
n
n
n x
.
29.
4
3
0
(4
1)(4
3)
n
n
x
n
n
. 30.
2
0
(2
2
1)
n
n
n
n
x
.
31. Исходя из соотношения
1
0
1
1
n
x dx
n
, найти сумму ряда:
а)
1
1
( 1)
3
2
n
n
n
, б)
1
1
( 1)
4
3
n
n
n
.
32. Доказать, что ряд
2
2
1
sin
n
n x
n
сходится равномерно на
(
;
)
, но что его нельзя дифференцировать ни в какой точке
этого интервала.
12.5. РЯДЫ ТЕЙЛОРА И МАКЛОРЕНА.
РАЗЛОЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ В РЯД ТЕЙЛОРА
И МАКЛОРЕНА
Пусть функция
( )
y
f x
имеет в т.
0
x
и некоторой ее окрест-
ности производные любого порядка. Ряд
( )
2
0
0
0
0
0
0
0
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
...
(
)
...
1!
2!
!
n
n
f x
f
x
f
x
f x
x
x
x
x
x
x
n
( )
0
0
0
(
)
(
)
!
n
n
n
f
x
x
x
n
(12.5)
Г л а в а 12. Функциональные ряды
126
называется рядом Тейлора для функции f (x). Если же для всех зна-
чений x из некоторой окрестности точки
0
x
ряд сходится и имеет в
качестве суммы функцию f (x), т.е.
( )
0
0
0
(
)
(
)
( )
!
n
n
n
f
x
x
x
f x
n
,
то f (x) называется разложимой в ряд Тейлора в окрестности точ-
ки
0
x
(или по степеням
0
x
x
). Если x
0
= 0, то ряд Тейлора имеет вид
( )
( )
2
0
(0)
(0)
(0)
(0)
(0)
...
...
1!
2!
!
!
n
n
n
n
n
f
f
f
f
f
x
x
x
x
n
n
и называется рядом Маклорена.
Теорема 8. Для того чтобы функция
( )
y
f x
была разложима
в ряд Тейлора в окрестности точки
0
x
, необходимо и достаточно,
чтобы
lim
( )
0
n
n
R x
.
( )
n
R x
– остаточный член формулы Тейлора. Записанный в фор-
ме Лагранжа, он имеет вид
(
1)
1
0
( )
( )
(
)
(
1)!
n
n
n
f
R x
x
x
n
,
0
0
(
), 0
1
x
x
x
Теорема 9. Если ( )
f x имеет в некотором промежутке, содер-
жащем точку
0
x
, производные всех порядков, для которых
( )
( )
n
f
x
M
, то
( )
0
n
R x
при
n
и, значит,
( )
f x разложима в
этом промежутке в ряд Тейлора.
То же самое в символической записи:
( )
0
(
, )
(
)
( )
lim
( )
0
n
n
n
x
O x
n
f
x
M
R x
( )
0
0
0
(
)
( )
(
)
!
n
n
n
f
x
f x
x
x
n
.
При разложении ( )
f x в ряд Тейлора применяют следующие
приемы.
1. Непосредственное разложение ( )
f x в ряд Тэйлора, которое
состоит из трех этапов: a) формально составляют ряд Тэйлора, для
чего находят
( )
( )
n
f
x
для любых n, вычисляют
( )
0
(
)
n
f
x
и подстав-
ляют найденные значения в (12.5); б) находят область сходимости
ряда (12.5); в) выясняют, для каких значений x из области сходимос-
ти ряда
lim
( )
0
n
n
R x
, т.е. для каких x имеет место равенство:
( )
0
0
0
(
)
( )
(
)
!
n
n
n
f
x
f x
x
x
n
.