ВУЗ: Новосибирский государственный технический университет
Категория: Учебное пособие
Дисциплина: Математика
Добавлен: 15.02.2019
Просмотров: 14565
Скачиваний: 146
12.5. Ряды Тейлора и Маклорена. Разложение функций...
127
2. Использование готовых разложений:
2
0
1
...
...,
!
2!
!
n
n
x
n
x
x
x
e
x
x
n
n
;
2
1
3
5
0
( 1)
sin
...,
(2
1)!
3!
5!
n
n
n
x
x
x
x
x
x
n
;
2
2
4
0
( 1)
cos
1
...,
(2 )!
2!
4!
n
n
n
x
x
x
x
x
n
;
1
2
3
1
( 1)
ln(1
)
...,
1
1
2
3
n
n
n
x
x
x
x
x
x
n
;
1
(
1)(
2)...(
1)
(1
)
1
!
m
n
n
m m
m
m n
x
x
n
=
2
3
(
1)
(
1)(
2)
1
...,
1
2!
3!
m m
m m
m
mx
x
x
x
;
2
3
0
1
1
...,
1.
1
n
n
x
x
x
x
x
x
Пример. Разложить
sin
4
x
y
в ряд Тейлора в окрестности
точки x = 2.
Решим эту задачу двумя способами.
I способ. Используем непосредственное разложение функции
в ряд Тейлора: а) ( ) sin
4
x
f x
;
( )
cos
sin
4 4
4
2
4
x
x
f x
;
2
( )
cos
sin 2
4
2
4
4
4
2
4
x
x
f
x
……………………………………………………
( )
( )
sin
4
2
4
n
n
x
f
x
n
……………………………………………………
Вычислим найденные производные в точке x = 2:
2
4
IV
(2)
1;
(2)
0
(2)
;
(2)
0;
(2)
,
4
4
f
f
f
f
f
…,
( )
(2)
sin
(
1)
4
2
n
n
f
n
,… .
Г л а в а 12. Функциональные ряды
128
Составим формально ряд Тейлора:
2
4
2
4
sin
(
1)
(
2)
(
2)
2
1
...
(
2)
...
4
2!
4
4!
4
!
n
n
n
x
x
x
n
2
4
2
2
4
2
(
2)
(
2)
(
2)
1
... ( 1)
...
4
2!
4
4!
4
(2 )!
n
n
n
x
x
x
n
. (12.6)
б) Найдем область сходимости ряда (12.6), используя признак
Даламбера:
2
2
2
2
2
2
2
2
(
2)
(2 )!
1
4
lim
(
2) lim
0 1
4
(2
1)(2
2)
(2
2)!
(
2)
4
n
n
n
n
n
n
x
n
x
n
n
n
x
.
Этот результат будет справедлив при любых x, следовательно, ряд
(12.6) сходится на всей числовой оси:
x
.
в) Докажем, что при всех x ряд (12.6) сходится к sin
4
x
, для
чего достаточно показать, что
( )
0
n
R x
при
n
:
1
1
1
2
(
2)
4
( )
sin (
1)
0
4
2
4
(
1)!
(
1)!
n
n
n
n
x
x
R x
n
n
n
при
n
lim
!
n
n
n
. Как результат решения задачи можем записать:
2
4
2
2
4
2
(
2)
(
2)
(
2)
sin
1
... ( 1)
...
4
4
2!
4
4!
4
(2 )!
n
n
n
x
x
x
x
n
,
x
.
II способ. Разложим
( )
sin
4
x
f x
в ряд Тейлора в окрестности
точки x = 2, используя готовое разложение. Преобразуем sin
4
x
следующим образом:
((
2) 2)
(
2)
(
2)
sin
sin
sin
cos
4
4
4
2
4
x
x
x
x
.
В ряд Маклорена для cos x
2
4
2
cos
1
... ( 1)
...,
2!
4!
(2 )!
n
n
x
x
x
x
x
n
(12.7)
справа и слева вместо x подставим
(
2)
4
x
, получим:
12.5. Ряды Тейлора и Маклорена. Разложение функций...
129
2
4
2
4
2
2
(
2)
sin
cos
1
...
4
4
4
2!
4
4!
x
x
x
x
2
2
2
( 1)
...,
4
(2 )!
n
n
n
x
x
n
; (12.8)
(так как в (12.7)
(
2)
).
4
x
x
x
При разложении функции в ряд часто используют почленное
дифференцирование и интегрирование рядов.
Пример. Разложить в ряд Маклорена
arctg
y
x
.
Предварительно разложим в ряд Маклорена функцию
2
1
1
y
x
, для чего в разложении
2
1
1
...
...,
1
1
n
x
x
x
x
x
заменим x на
2
x
.
2
1
1 x
2
1 x
4
2
... ( 1)
...,
1
n
n
x
x
x
.
Поэтому
2
0
1
arctg
1
x
x
dx
x
2
4
2
0
(1
... ( 1)
...)
x
n
n
x
x
x
dx
=
2
4
2
0
0
0
0
...
( 1)
...
x
x
x
x
n
n
dx
x dx
x dx
x dx
=
3
5
2
1
... ( 1)
...,
1
3
5
2
1
n
n
x
x
x
x
x
n
(получившийся ряд сходится и в граничных точках).
Задачи для самостоятельного решения
Следующие функции разложить в ряд Маклорена.
33.
1
2
x
. 34. ln(1
).
x
35.
1
x
e
. 36.
sh x
. 37.
cos 5x
.
38.
arcsin x
. 39.
3
(
2ctg ) sin
x
x
x
. 40.
2
sin 2x . 41.
2
2
x
.
42.
2
2
3
1
x
x
. 43.
2
2
1 3x
. 44.
5
1
1 x
. 45.
2
ln(1
).
x
x
46.
2
3
2
1 3
x
x
. 47.
2
4
3
3
2
x
x
x
.
Следующие функции разложить в ряд Тейлора в окрестности
точки
0
x
.
Г л а в а 12. Функциональные ряды
130
Указать область сходимости найденного ряда к своей сумме.
48.
0
ln ;
1
x x
. 49.
0
;
2
x x
. 50.
0
1
;
2
3
x
x
.
51.
0
1
;
3
4
x
x
. 52.
2
0
cos
;
3
x x
. 53.
0
2
1
;
1
(3
)
x
x
.
54.
0
2
1
;
2
4
3
x
x
x
. 55.
0
2
1
ln
;
1
2
2
x
x
x
.
56.
0
3 ;
1
x
x
.
12.6. ПРИЛОЖЕНИЯ СТЕПЕННЫХ РЯДОВ
Если некоторое число S разложено в ряд
1
2
...
...
n
S
u
u
u
(12.9)
и
1
2
...
n
S
u
u
u
,
то поправка на отбрасывание всех остальных членов выразится ос-
татком
1
2
...
n
n
u
u
.
Как произвести оценку погрешности?
1. Если ряд (12.9) – знакочередующийся, то остаток
имеет
знак своего первого члена
1
n
u
и
1
n
u
.
2. Если ряд (12.9) – знакоположительный, то остаток
либо
оценивают с помощью остаточного члена формулы Тейлора, либо
пытаются найти легко суммируемый тоже знакоположительный ряд,
члены которого были бы больше членов интересующего нас остат-
ка, и оценивают остаток ряда (12.9) суммой найденного ряда.
Обычно ищут десятичное приближение числа S, в то время как
члены ряда могут и не быть десятичными дробями. При обращении
их в десятичную дробь возникает новая погрешность, которую тоже
нужно учесть.
Пример. Какова величина допущенной ошибки, если прибли-
женно положить
1
1
1
2
2!
3!
4!
e
?
Ошибка будет суммой знакоположительного ряда
1
1
1
...
...
5!
6!
!
n
. (12.10)
а) Оценим эту ошибку, заменив члены ряда (12.10) членами гео-
метрической прогрессии, которые будут больше членов ряда (12.10):
4
1
5
5
5
5
0
1
1
4!
1
1
1
1
1
1
!
4!
!
4!
(
1)...5
4!
4!
5
5
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n n
1
1/ 5
1
1
0, 011
1 2 3 4 1 1/ 5
1 2 3 4 4
96
.
12.6. Приложения степенных рядов
131
б) Оценим эту же ошибку с помощью остаточного члена фор-
мулы Маклорена
(
1)
1
(
)
( )
(
1)!
n
n
n
f
x
R x
x
n
. В нашем случае
( )
;
1;
4.
x
f x
e
x
n
5
5
1
3
( )
0, 025
5!
5!
5!
1 2 3 4 5
x
x
e
e
e
R x
x
.
Пример. Вычислить
2
0
sin x
dx
x
с точностью до 0,001 (предпо-
лагаем, что
0
sin
1
x
x
x
).
3
5
7
2
4
6
sin
1
...
1
...,
0.
3!
5!
7!
3!
5!
7!
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
Проинтегрируем полученное разложение на [0, 2]:
2
2
2
2
2
4
6
2
0
0
0
0
sin
1
...
3!
5!
7!
3!
x
x
x
x
x
dx
dx
dx
dx
x
+
2
2
4
6
3
5
7
9
0
0
2
2
2
2
... 2
...
5!
7!
3 3!
5 5!
7 7!
9 9!
x
x
dx
dx
. (12.11)
Получили знакочередующийся ряд. Если для вычисления интегра-
ла
2
0
sin x
dx
x
взять 4 члена ряда (12.11), то ошибка
1
, которая
получается за счет отбрасывания членов ряда, начиная с пятого,
не будет превосходить первого из отброшенных членов, т.е.
9
1
2
1
9 9!
6000
. Вычисления нужно вести с 4 знаками после запя-
той, тогда ошибка
2
, которая получается при обращении II, III и
IV членов ряда (12.11) в десятичные дроби, будет меньше
3
:
10000
2
3
10000
. Общая ошибка
1
2
0, 001
.
2
0
sin
1, 605
x
dx
x
.
Результат округлен до III знака после запятой.
Пример. Найти общее решение дифференциального уравне-
ния
0
y
xy
в виде степенного ряда.
Так как x = 0 не является особой точкой для данного диффе-
ренциального уравнения, то решение его можно искать в виде ряда
2
0
1
2
0
...
...
n
n
n
n
n
y
C x
C
C x C x
C x
. (12.12)