ВУЗ: Новосибирский государственный технический университет
Категория: Учебное пособие
Дисциплина: Математика
Добавлен: 15.02.2019
Просмотров: 14543
Скачиваний: 146
Г л а в а 12. Функциональные ряды
132
Продифференцируем ряд (12.12) дважды:
2
1
1
1
2
3
1
2
2
3
...
(
1)
(
2)
...
n
n
n
n
n
n
y
C
C x
C x
nC x
n
C
x
n
C
x
2
1
2
3
1
2
2 3
...
(
1)
(
1)
n
n
n
n
y
C
C x
n n
C x
n
nC
x
2
(
2)(
1)
...
n
n
n
n
C
x
. (12.13)
Подставим в уравнение вместо y и y
соответственно ряды (12.12)
и (12.13):
2
1
2
3
1
2
2 3
... (
1)
(
1)
n
n
n
n
C
C x
n
nC x
n n
C
x
2
(
1)(
2)
...
n
n
n
n
C
x
2
3
1
0
1
2
2
...
n
n
xC
x C
x C
C
x
1
1
...
0
n
n
n
n
C
x
C x
или
2
1
2
3
0
4
1
1
2
2
(2 3
)
(3 4
) ...
( (
1)
)
n
n
n
С
x
C
C
x
C
C
x
n n
C
C
2
1
((
1)(
2)
) ...
0
n
n
n
x
n
n
C
C
.
Приравнивая коэффициенты при всех степенях x к нулю, по-
лучаем:
0
1
2
2
3
4
5
0;
;
;
0
2 3
3 4
4 5
C
C
C
С
C
C
C
.
3
0
6
3
6
5 6
0
5 6
2 3 5 6
C
C
C
C
C
,
4
1
7
4
7
6 7
0
6 7
3 4 6 7
C
C
C
C
C
и т.д.
3
4
6
7
0
0
1
1
0
1
...
2 3
3 4
2 3 5 6
3 4 6 7
C
C
C
C
y
C
C x
x
x
x
x
3
6
4
7
0
1
1
...
...
2 3
2 3 5 6
3 4
3 4 6 7
x
x
x
x
y
C
C
x
.
Пример. Применяя метод последовательных дифференциро-
ваний, найти 5 членов разложения в ряд решения дифференциаль-
ного уравнения
2
( )
y
y
xy
при начальных условиях (0)
4;
(0)
2
y
y
.
Точка x = 0 не является особой точкой данного дифференци-
ального уравнения, поэтому решение можно искать в виде
2
3
4
IV
(0)
(0)
(0)
(0)
...
2!
3!
4!
y
y
y
y
y
y
x
x
x
x
(12.14)
(разложение в окрестности x = 0!). Здесь (0) 4;
(0)
2
y
y
.
Из уравнения
2
2
(0)
( (0))
0
(0)
( 2)
4
y
y
y
.
Из уравнения
2
y
y y
y
xy
(0)
2( 2) 4 4 0 ( 2)
12
y
,
12.6. Приложения степенных рядов
133
2
IV
2(
)
2
2
y
y
y y
y
xy
,
2
IV
2 4
2( 2)( 12) 2( 2) 0 4
76
y
.
Подставим в (12.14) (0),
(0),
(0),
y
y
y
IV
(0),
(0)
y
y
:
2
3
4
4
12
76
4 2
...
2!
3!
4!
y
x
x
x
x
или
2
3
4
19
4 2
2
2
...
6
y
x
x
x
x
.
Задачи для самостоятельного решения
57. Вычислить приближенное значение
3
e , взяв 3 члена раз-
ложения в ряд Маклорена функции
( )
x
f x
e
, оценить погрешность.
58. Вычислить приближенное значение
sin18 , взяв 3 члена
разложения в ряд Маклорена функции
( )
sin
f x
x
, оценить по-
грешность.
Вычислить приближенно с указанной степенью точности
.
59.
1
;
0,0001.
e
60. cos10 ;
0,0001.
61.
3
80;
0, 001.
62.
4
90;
0,001.
63. ln 5;
0, 001
. 64. ;
0, 00001.
Следующие интегралы вычислить с точностью до 0,001.
65.
2
1/ 4
0
.
x
e
dx
66.
1/ 2
3
0
1 x dx
.
67.
1/ 2
2
2
0
ln(1
)
.
x
dx
x
68.
4
1/
2
x
e
dx
.
69. Вычислить приближенно
/ 4
/ 6
cos x
dx
x
, взяв 3 первых члена
разложения подынтегральной функции в ряд. Оценить погрешность.
70. Найти 6 первых членов разложения в степенной ряд реше-
ния дифференциального уравнения
2
(1
)
0
y
x
y
, удовлетво-
ряющего начальным условиям: (0)
2;
(0)
2
y
y
.
71. Записать в виде степенного ряда частное решение диф-
ференциального уравнения
1 0; (0)
0;
(0)
0
y
xy
y
y
y
.
Записать в виде степенного ряда общее решение дифференциально-
го уравнения.
72.
2
0
y
xy
x y
(шесть первых членов)
73.
2
0
y
x y
. 74.
2
(1
)
0
x
y
y
.
75. Найти 3 члена разложения в ряд частного решения урав-
нения
ln(
);
(1)
0.
y
xy
y
x
y
Г л а в а 12. Функциональные ряды
134
ОТВЕТЫ К ЗАДАЧАМ ГЛАВЫ 12
1. [–1; 1]. 2. (–1; 1). 3. (
;
)
. 4. (–2; 2). 5. (0;
)
.
6.
1
x
. 7.
1
1
;
10 10
. 8. {0}. 9.
1
1
;
3
3
. 10. [ 1; 1)
.
11.
1
1
;
e
e
. 12.
+
(0;
)
. 13. [–6; –4]. 14.
1
(
; 1)
;
3
.
15.
5
3
;
2
2
. 16. (
; + )
. 17.
8
(
;
2)
;
5
.
18.
2
;
,
3
3
k
k
k
Z
. 19.
,
.
4
x k
k
Z
25.
1
1
1
arctg
ln
.
2
4
1
x
x
x
26. (
1) ln(
1)
.
x
x
x
27.
2
9
, | | 3.
(
3)
x
x
28.
3
16
, | | 2.
(2
)
x
x
29.
3
4
1
1
ln
2arctg
.
4
16
1
x
x
x
x
x
30.
2
3
5
2
1
, | | 1.
(1
)
x
x
x
x
31. а)
1
ln 2
.
3
3
б)
1
ln 1
2
.
2
2 2
33.
1
0
( 1)
, | | 2.
2
n
n
n
n
x
x
34.
0
, 1
1.
n
n
x
x
n
35.
0
( 1)
, | |
.
2
!
n
n
n
n
x
x
n
36.
2
1
0
, | |
.
(2
1)!
n
n
x
x
n
37.
2
2
0
( 1) 5
, | |
.
(2 )!
n
n
n
n
x
x
n
38.
2
1
1
(2
1)!!
, | | 1.
(2 )!! (2
1)
n
n
n
x
x
x
n
n
39.
2
2
2
(2
2)(2
1)2
2
2
( 1)
,
(2 )!
n
n
n
n
n
n
x
x
x
k
n
.
Ответы к задачам главы 12
135
40.
2
1
1
1
(4 )
( 1)
,
2
(2 )!
n
n
n
x
x
n
. 41.
2
0
( 1) ln 2
,
!
n
n
n
n
x
x
n
.
42.
2
1
0
ln
3
,
(
1)!
n
n
n
x
x
n
. 43.
2
0
1
2
3
,
3
n
n
n
x
x
.
44.
1
( 1) 1 6 11...(5
4)
1
5
!
n
n
n
n
n
x
n
.
45.
1 3
1
1
1
( 1)
( 1)
,
1
1
n
n
n
n
n
n
x
x
x
n
n
.
46.
2
2
2
1
( 1) 1 4 7...(3
2)
1
,
!
3
n
n
n
n
x
x
x
n
.
47.
1
0
11
7
,
1
2
n
n
n
x
x
. 48.
1
1
( 1)
(
1)
, 0
2
n
n
n
x
x
n
.
49.
1
2
2
( 1)
(2
3)!!
2 1
(
2)
, 0
4
4
4
!
n
n
n
n
x
n
x
x
n
.
50.
0
( 1) (
2) ,
3
1
n
n
n
x
x
.
51.
1
( 1) (2
1)!!
1
(
3) ,
4
2
2
!
n
n
n
n
n
x
x
n
.
52.
1
1
1
2
2
sin
(
1)
4
!
3
2
3
n
n
n
n
x
n
,
x
.
53.
1
1
1
(
1) ,
1
3
4
2
n
n
n
n
x
x
.
54.
0
1
1
(
2) ,
5
1
6 3
10 5
n
n
n
n
x
x
.
55.
2
1
( 1)
(
1) , 0
2
n
n
n
x
x
n
.
56.
0
1
ln 3 (
1)
,
3
!
n
n
n
x
x
n
. 57. 1,39,
= 0,01.
58. 0,3090,
= 0,0001. 59. 0,3679. 60. 0,9848. 61. 4,309.
62. 3,079. 63. 1,609. 64. 3,14159. 65. 0,245. 66. 0,508.
Г л а в а 12. Функциональные ряды
136
67. 0,481. 68. 2,835. 69. 0,3230,
= 0,0001.
70.
3
4
2
5
7
2 2
...
3
4
60
x
x
x
x
x
.
71.
2
4
6
8
2
2
3
5
(2
1)
...
...
2
4!
6!
8!
(2
2)!
n
x
x
x
x
n
x
n
.
72.
4
3
5
1
2
3
1
...
...
12
6
40
x
x
x
C
C
x
.
73.
4
0
1
1
(3 4)(7 8)...(4
1)4
n
n
x
C
n
n
4
1
1
1
(4 5)(8 9)...(4 )(4
1)
n
n
x
C
x
n
n
.
74.
2
4
6
0
1 1 2
(1 1 2)(1 3 4)
1
...
2!
4!
6!
x
C
x
x
+
3
5
7
1
1 2 3 1 4 5
1 2 3
...
3!
5!
7!
x
C
x
x
x
.
75.
2
3
4
(
1)
(
1)
(
1)
...
2
6
6
x
x
x
.