ВУЗ: Новосибирский государственный технический университет
Категория: Учебное пособие
Дисциплина: Математика
Добавлен: 15.02.2019
Просмотров: 14535
Скачиваний: 146
Г Л А В А 13
РЯДЫ ФУРЬЕ. ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ
13.1. ОРТОГОНАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ ФУНКЦИЙ.
ОСНОВНАЯ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКАЯ
СИСТЕМА
ФУНКЦИЙ (ОТС)
Пусть на [a; b] заданы функции f(x) и
( )
x
такие, что
( ) ( )
f x
x
– интегрируемая на [a; b] функция. Функции f(x) и
( )
x
называются ортогональными на [a; b], если
( ) ( )
0
b
a
f x
x dx
.
Бесконечная система функций
1
2
( ),
( ),...,
( ),...
n
x
x
x
(13.1)
называется ортогональной на [a, b], если (
, )(
)
m n m
n
( )
( )
0
b
m
n
a
x
x dx
и
2
( )
0
b
m
a
x dx
. Эти функции попарно орто-
гональны на [a; b].
Примеры ортогональных систем:
а) основная тригонометрическая система (ОТС):
1, cosx, sinx, cos2x, sin2x,…, cosnx, sinnx,… (13.2)
ортогональна на [
; ]
;
б) система функций:
sinx, sin2x,…, sinnx,… (13.3)
ортогональна на [0; ]
;
в) тригонометрическая система (ТС):
2
2
1, cos
, sin
, cos
, sin
,..., cos
, sin
,...
x
x
x
x
n x
n x
l
l
l
l
l
l
(13.4)
ортогональна на [ ; ]
l l
.
Г л а в а 13. Ряды Фурье. Интеграл Фурье
138
13.2. РЯД ФУРЬЕ ПО ОРТОГОНАЛЬНОЙ СИСТЕМЕ ФУНКЦИЙ
Пусть задана произвольная, ортогональная на [a; b] система
функций (13.1).
Ряд
1 1
2
2
1
( )
( ) ...
( ) ...
( )
n
n
n
n
n
С
x
C
x
C
x
C
x
(13.5)
называется рядом Фурье для функции f(x) по системе (13.1), если
2
( )
( )
( )
b
m
a
m
b
m
a
f x
x dx
С
x dx
, (13.6)
m
C
, вычисленные по формуле (13.6), называются коэффициентами
Фурье.
13.3. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ ФУРЬЕ
а) Ряд Фурье по ТС (13.4)
Теорема 1 (Дирихле). Если ( )
f x – периодическая функция
с Т = 2l, кусочно-гладкая на ( ; )
l l
(на этом интервале f(x) и
( )
f x
имеют не более конечного числа точек разрыва, притом лишь пер-
вого рода), то тригонометрический ряд Фурье по ТС (13.4) для f(x)
0
1
cos
sin
2
n
n
n
a
n x
n x
a
b
l
l
, (13.7)
где
0
1
1
( )
;
( ) cos
;
l
l
n
l
l
n x
a
f x dx
a
f x
dx
l
l
l
1
( ) sin
l
n
l
n x
b
f x
dx
l
l
; n = 1, 2, 3 (13.8)
сходится к f (x), если x – точка непрерывности f (x) и к
(
0)
(
0)
2
f x
f x
, если x – точка разрыва f (x), где
(
0)
f x
и
(
0)
f x
–
соответственно левый и правый пределы f (x) в точке x:
0
1
cos
sin
2
n
n
n
a
n x
n x
a
b
l
l
=
( ), если
точка непрерывности ( ),
(
0)
(
0)
, если
точка разрыва ( ),
2
f x
x
f x
f x
f x
x
f x
0
,
,
n
n
a
a
b – называются коэффициентами Фурье.
13.3. Тригонометрические ряды Фурье
139
Функция
( )
F x , совпадающая с
( )
f x в ( ;
)
l l
и удовлетво-
ряющая условию
(
2 )
( )
x
F x
l
F x
, называется периодическим
продолжением ( )
f x на всю ось Ox.
В ряд Фурье можно разложить и непериодическую кусочно-
гладкую функцию, заданную лишь в интервале ( ; )
l l
, вычисляя
коэффициенты
0
,
,
n
n
a
a
b по формулам (13.8). Полученный ряд бу-
дет сходиться на всей числовой оси, а его суммой будет ( )
F x – пе-
риодическое продолжение ( )
f x на ось Ox.
При вычислении коэффициентов Фурье в формулах (13.8) ин-
тервал интегрирования ( ; )
l l
можно заменить любым интервалом
( ;
2 )
a a
l
длины 2l.
б) Неполные ряды Фурье
Если ( )
f x – четная функция, то
0
0
0
2
2
( )
;
( ) cos
;
0
l
l
n
n
n x
a
f x dx a
f x
dx b
l
l
l
. (13.9)
Ряд Фурье примет вид:
0
1
cos
2
n
n
a
n x
a
l
.
Если ( )
f x – нечетная функция, то
0
0
2
0;
( ) sin
l
n
n
nx
a
a
b
f x
dx
l
l
, (13.10)
и ряд Фурье принимает вид
1
sin
n
n
n x
b
l
.
в) Функцию ( )
f x , кусочно-гладкую в интервале (0; )
l , можно
разложить в ряд Фурье только по косинусам или по синусам. Для
этого достаточно продолжить ( )
f x четным или соответственно не-
четным образом на интервал ( ; 0)
l
и для полученной на ( ; )
l l
функции составить ряд Фурье. Коэффициенты Фурье будут при
этом вычисляться по формулам соответственно (13.9) или (13.10).
г) Комплексная форма тригонометрического ряда Фурье для
( )
f x , периодической с Т = 2l, а также для ( )
f x , заданной на
( ; )
l l
,
имеет вид
1
2
n x
i
l
n
c e
,
1
( )
n x
l
i
l
n
l
c
f x e
dx
l
.
Связь между
0
,
,
n
n
a
a
b и
n
c
следующая:
0
0
c
a
;
n
n
n
c
a
ib
;
Re
n
n
a
c
;
Im
n
n
b
c
.
Г л а в а 13. Ряды Фурье. Интеграл Фурье
140
Пример. Разложить в ряд Фурье периодическую (с периодом
2
T
)
функцию ( )
f x , определенную равенствами:
1
2
,
0,
( )
, 0
.
C
x
f x
C
x
Начертим график заданной функции (рис. 13.1).
Рис. 13.1
( )
f x является кусочно-гладкой на (
;
)
, периодической с
2
2
T
l
. Ряд Фурье будет иметь вид:
0
1
cos
sin
2
n
n
n
a
a
nx b
nx
;
0
0
1
2
1
2
0
1
1
( )
a
f x dx
C dx
C dx
C
C
;
0
1
2
0
1
1
( ) cos
cos
cos
n
a
f x
nxdx
C
nxdx
C
nxdx
0
1
2
0
1
sin
sin
0
C
C
nx
nx
n
n
;
0
1
2
0
1
1
( ) sin
sin
sin
n
b
f x
nxdx
C
nxdx
C
nxdx
0
1
2
1
1
2
2
0
1
1
cos
cos
cos
cos
C
C
nx
nx
C
C
n
C
n
C
n
n
n
2
1
2
1
2
1
1
(
)( 1)
(1 ( 1) )
n
n
C
C
C
C
C
C
n
n
.
Запишем ряд Фурье:
1
1
2
2
1
2
1
1
2
,
0,
1 ( 1)
sin
, 0
,
2
,
0;
2
n
n
C
x
С
С
С
С
nx
C
x
n
C
C
x
x
C
2
C
1
O
2
–
2
3
y
–
13.3. Тригонометрические ряды Фурье
141
(сумма ряда записана в соответствии с теоремой 1: в точках непре-
рывности
( )
f x ряд Фурье сходится к
( )
f x , а в точках разрыва
( )
f x – к среднему арифметическому односторонних пределов
( )
f x
в этих точках).
Пример. Разложить в ряд Фурье по косинусам
( )
sin
2
x
f x
на
отрезке [0, 2].
Продолжим
( )
f x четным образом на [–2, 0], а затем постро-
им периодическое продолжение функции, заданной на [–2, 2] на всю
ось Ox (рис. 13.2).
Рис. 13.2
Получим непрерывную на (
,
)
функцию; l = 2.
Ряд Фурье имеет вид:
0
1
cos
2
2
n
n
a
n x
a
;
2
2
0
0
0
0
2
2
( )
sin
2 cos
2(cos1 1)
2
2
2
l
x
x
a
f x dx
dx
l
;
2
0
0
2
2
( ) cos
sin
cos
2
2
2
l
n
n x
x
n x
a
f x
dx
dx
l
l
=
2
0
1
1
cos
cos
2
2
1
2(1
)
2
2
2
n
n
x
x
n
n
cos(1
)
cos(1
)
1
1
1
1
1
1
n
n
n
n
n
n
cos1 ( 1)
cos1 ( 1)
1
1
1
1
1
1
n
n
n
n
n
n
2
2
2 2( 1) cos1
1
n
n
.
Ряд Фурье:
2 2
1
1 ( 1) cos 1
cos 1 1 2
cos
sin
, 0
2
2
2
1
n
n
n x
x
x
n
.
y
x
1
0
–2
-4
–6
2
4
6
8
–