ВУЗ: Новосибирский государственный технический университет
Категория: Учебное пособие
Дисциплина: Математика
Добавлен: 15.02.2019
Просмотров: 14536
Скачиваний: 146
Г л а в а 13. Ряды Фурье. Интеграл Фурье
142
Пример. Представить рядом Фурье в комплексной форме пе-
риодическую функцию ( )
f x (
2 )
T
, определенную для
0
2
x
равенством
( )
x
f x
e
.
Построим график данной функции (рис. 13.3).
Рис. 13.3
Функция является кусочно-гладкой на [0; 2 ]
, следовательно,
ее можно разложить в ряд Фурье, который будет иметь вид
1
2
inx
n
c e
.
2
2
0
0
1
1
1
( )
( )
inx
inx
x
inx
n
c
f x e
dx
f x e
dx
e e
dx
2
2
2
(1
)
(1
)
2
2
0
0
1
1
1
1
1
(1
)
(1
)
(1
)
x
in
x
in
i
n
e
e
dx
e
e
in
in
in
.
Ряд Фурье:
2
2
, 0
2 ;
1
1
1
2
1
,
0; 2 .
2
x
inx
e
x
e
e
e
in
x
Задачи для самостоятельного решения
1. Разложить в ряд Фурье на (0; 2 )
функцию ( )
2
x
f x
.
2. Разложить в ряд Фурье периодическую
(
2 )
T
функцию
( )
f x
,
определенную на
3
,
2
2
равенствами
cos ,
,
2
2
( )
3
0,
.
2
2
x
x
f x
x
O
x
1
–4
–2
2
4
2
e
у
13.4. Интеграл Фурье. Преобразования Фурье
143
3. Разложить в ряд Фурье на (
,
)
( )
cos
f x
x
x
.
4. Разложить в интервале (0;
)
по синусам
( )
4
f x
. Полу-
ченное разложение использовать для суммирования числовых рядов:
а)
1
1
1
1
...
3
5
7
; б)
1
1
1
1
1
...
5
7
11 13
.
5. Дана функция
2
( )
f x
x
. Разложить ее в ряд Фурье:
а) в ( ; )
; б) в (0; 2 )
; в) в (0;
)
по синусам; г) в интервале
(0;
)
так, чтобы сумма ряда тождественно равнялась нулю для
всех
(
; 0)
x
.
6. Разложить в ряд Фурье
( )
f x
x
на [–1; 1].
7. Разложить в ряд Фурье
, 0
1,
( )
1, 1
2,
3
, 2
3
x
x
f x
x
x
x
на [0; 3].
8. Разложить в ряд Фурье по косинусам
( )
sin
2
x
f x
на [0; 2].
9. Доказать справедливость равенства
cos x
1
2
1
2
4
( 1)
cos 2
4
1
n
n
nx
n
.
10. Представить рядом Фурье в комплексной форме периодич е-
скую функцию ( )
f x (
2 )
T
, определенную для
0
2
x
равен-
ством
( )
x
f x
e
. Воспользовавшись полученным рядом Фурье в
комплексной форме, записать в действительной форме ряд Фурье
этой функции.
11. Разложить в ряд Фурье
( )
f x (c периодом
2
) в комплекс-
ной форме:
0,
0,
( )
, 0
.
x
x
f x
e
x
12. Разложить в ряд Фурье
( )
сh
f x
x
на [
;
]
.
13. Разложить в ряд Фурье
( )
sh
f x
x
на
;
.
13.4. ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ
Теорема 2. Если
( )
f x : 1) абсолютно интегрируемая на
(
;
)
функция, т.е. удовлетворяющая условию
( )
f x dx
;
2) кусочно-гладкая на каждом конечном отрезке, то ее интеграл
Фурье
Г л а в а 13. Ряды Фурье. Интеграл Фурье
144
0
( ) cos
( ) sin
a
x b
x d
, (13.11)
где
1
( )
( ) cos
a
f t
tdt
, (13.12)
1
( )
( ) sin
b
f t
tdt
, (13.13)
равен
( )
f x
в
каждой
точке
непрерывности
( )
f x
и
(
0)
(
0)
2
f x
f x
в каждой точке разрыва
( )
f x .
Если ( )
f x – четная, то
0
2
( )
( ) cos
a
f t
tdt
, ( )
0
b
. (13.14)
Если ( )
f x – нечетная, то
( )
0
a
;
0
2
( )
( ) sin
b
f t
tdt
. (13.15)
Для представления интегралом Фурье функции, заданной
лишь в промежутке [0;
)
и продолженной четным образом на
(
; 0)
, используем формулы (13.14), а продолженной нечетным
образом – формулы (13.15).
Если ( )
a
и ( )
b
, найденные по формулам (13.14), подставить
в (13.11), то получим двойной интеграл Фурье для четной функции
( )
f x :
0
0
2
( )
cos
( ) cos
f x
td
f t
tdt
.
Положив
0
2
( )
( ) cos
x
f t
xtdt
, (13.16)
получим
0
2
( )
( ) cos
f x
t
xtdt
. (13.17)
Равенство (13.16) называется косинус-преобразованием
( )
f x ,
а (13.17) – косинус-преобразованием ( )
x
.
Аналогично, если ( )
f x
– нечетная, то
0
2
( )
( ) sin
x
f t
xtdt
(13.18)
13.4. Интеграл Фурье. Преобразования Фурье
145
называется синус-преобразованием ( )
f x , а
0
2
( )
( ) sin
f x
t
xtdt
(13.19)
называется синус-преобразованием ( )
x
.
Комплексная форма интеграла Фурье имеет вид
1
( )
2
i x
c
e
d
, (13.20)
где
( )
( )
i t
c
f t e
dt
. (13.21)
Связь между ( ), ( )
a
b
и ( )
c
:
( )
( ( )
( )),
c
a
ib
.
Функция ( )
c
называется спектральной характеристикой
функции ( )
f x ,
( )
c
называется спектром функции ( )
f x .
Функция
( )
c
называется также преобразованием Фурье
функции ( )
f t , в этом случае ее обычно обозначают
( )
( )
i t
F
f t e
dt
.
Пример. Представить интегралом Фурье функцию
,
1,
( )
0,
1,
1
,
1.
2
x
x
f x
x
x
Построим график данной функции (рис. 13.4).
Рис. 13.4
1/2
1
–1
x
y
0
1
Г л а в а 13. Ряды Фурье. Интеграл Фурье
146
Данная функция: 1) имеет 2 точки разрыва I рода (
1)
x
;
2) абсолютно интегрируема на всей оси Ox:
( )
f x dx
1
1
2
0
0
2
1
xdx
x
; 3) функция – четная, поэтому на основании
(13.14)
0
2
( )
0; ( )
( ) cos
b
a
f t
tdt
1
1
2
0
0
2
2
1
cos
cos
sin
t
t
tdt
t
t
=
2
2
2
2
1
1
1
2
cos
sin
( sin
cos
1)
.
Данная функция является непрерывной в интервалах
(
; 1)
;
(–1; 1); (1;
)
, кроме того, в точках разрыва среднее арифметиче-
ское односторонних пределов функции совпадает со значением ее в
этих
точках, поэтому можно записать интеграл
Фурье
2
0
,
1,
2
sin
cos
1
cos
0,
1,
1
,
1. #
2
x
x
xd
x
x
Пример. Показать, что спектральной характеристикой функ-
ции
,
0
( )
0,
0,
ax
e
x
f x
x
,
0
a
является функция
1
( )
c
a i
. По-
строить график спектра ( )
f x .
Построим график данной функции (рис. 13.5).
Рис. 13.5
1
0
x
y