ВУЗ: Новосибирский государственный технический университет
Категория: Учебное пособие
Дисциплина: Математика
Добавлен: 15.02.2019
Просмотров: 14527
Скачиваний: 146
13.4. Интеграл Фурье. Преобразование Фурье
147
Найдем
( )
c
по формуле (13.21)
0
( )
( )
i x
ax
i x
c
f x e
dx
e
e
dx
(
)
0
x a i
e
dx
(
)
0
1
x a i
e
a i
1
a i
.
Спектр ( )
f x – это
(
c
.
2
2
1
1
( )
c
a i
a
.
Построим график
( )
c
(рис. 13.6).
Рис. 13.6
Задачи для самостоятельного решения
В задачах 14 – 17 представить интегралом Фурье следующие
функции.
14.
sgn ,
1,
( )
0,
1.
x
x
f x
x
15.
,
1,
( )
0,
1.
x
x
f x
x
16.
cos ,
,
2
( )
0,
.
2
x
x
f x
x
17.
2,
2
1,
,
1
1,
( )
2,
1
2,
0,
2.
x
x
x
x
f x
x
x
x
18. Функцию
( )
, 0
x
f x
e
x
представить интегралом
Фурье, продолжая ее: 1) четным образом, 2) нечетным образом на
промежуток (
, 0)
. Найти значения интегралов
2
0
cos
1
x
dx
x
и
2
0
sin
1
x
x
dx
x
.
a
0
1
2
a
| с(
) |
1
а
Г л а в а 13. Ряды Фурье. Интеграл Фурье
148
19. Используя результат задачи 18, представить интегралами
Фурье функции: 1)
2
1
( )
1
f x
x
; 2)
2
( )
1
x
f x
x
.
20. Написать интеграл Фурье в комплексной форме для функ-
ций: 1)
( )
a x
f x
e
; 2)
( )
, (
0)
a x
f x
xe
a
.
21. Вычислить спектр прямоугольного импульса высотой h и
длительностью
и построить график спектра (рис. 13.7).
х
y
R
2
2
Рис. 13.7
22. Записать преобразование Фурье для следующих функций:
1)
( )
t
f t
e
; 2)
( )
t
f t
te
.
ОТВЕТЫ К ЗАДАЧАМ ГЛАВЫ 13
1.
1
sin
, 0
2
n
nx
x
n
.
2.
1
2
1
1
2 1
1
1
cos
cos 2
cos 4
... ( 1)
cos 2
...
2
3
15
4
1
n
x
x
x
nx
n
.
3.
2
2
1
( 1)
sin
2
sin
2
1
n
n
n
x
nx
n
.
4.
1
sin(2
1)
2
1
n
n
x
n
; а)
;
4
б)
2 3
.
Ответы к задачам главы 13
149
5. а)
2
2
1
1
( 1)
4
cos
3
n
n
nx
n
; б)
2
2
1
4
4
4
cos
sin
3
n
nx
nx
n
n
;
в)
2
3
1
4
( 1)
1 2
sin
n
n
n
nx
n
;
г)
2
2
3
1
1
( 1)
2
2
cos
(( 1)
1)
sin
6
n
n
n
n
nx
nx
n
n
n
.
6.
2
2
1
1
4
cos(2
1)
2
(2
1)
n
n
x
n
. 7.
2
2
1
2
cos
1
2
3
2
3
cos
3
3
n
n
nx
n
.
8.
1
2
2
1
1 ( 1)
cos 1
1 cos 1 2
cos
2
1
n
n
n x
n
.
10.
2
2
1
1
2
1
inx
e
in
e
n
;
2
2
2
1
1
1
cos
sin
2
1
1
n
e
nx
n
nx
n
n
.
11.
1
1
1 ( 1)
2
1
n
inx
e
e
in
. 12.
2
sh
( 1)
1
n
inx
e
n
.
13.
2
sh
( 1)
1
n
inx
i
n
e
n
. 14.
0
2
1 cos
sin
xd
.
15.
2
0
2
sin
cos
sin
xd
. 16.
2
0
cos
2
2 cos
1
xd
.
17.
2
0
4
(1 cos
) sin
sin
xd
.
18. 1)
2
0
2
cos
1
x
d
;
0
x
; 2)
2
0
2
sin
1
x
d
;
0
x
;
Г л а в а 13. Ряды Фурье. Интеграл Фурье
150
2
0
cos
2
1
x
dx
e
x
;
2
0
sin
2
1
x
x
dx
e
x
.
19. 1)
0
cos
e
xd
; 2)
0
sin
e
xd
.
20. 1)
2
2
1
i x
a
e
d
a
; 2)
2
2
2
2
i x
a
i
e
d
a
.
21.
sin
2
( )
2
c
h
22. 1)
2
2
1
; 2)
2 2
4
(1
)
i
.
0
| C(
)
|
h
2
3
2
Г Л А В А 14
КРАТНЫЕ, КРИВОЛИНЕЙНЫЕ, ПОВЕРХНОСТНЫЕ
ИНТЕГРАЛЫ
14.1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ КРАТНОГО ИНТЕГРАЛА.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ДВОЙНОГО И ТРОЙНОГО
ИНТЕГРАЛОВ
Пусть: 1) в ограниченной замкнутой области
m
E
R
1
2
,
, ...
m
x x
x
«объема» V(E) задана ограниченная функция
1
2
( ,
, ...,
)
m
f x x
x
; 2)
1
2
,
, ...,
n
E E
E
– разбиение области
1
n
i
i
E
E
на подобласти
i
E
с объемами
1
( ( )
)
n
i
i
i
E
V E
E
и диаметрами
i
d
,
sup
i
d
d
– диаметр разбиения; 3) зафиксируем точки
1
2
( ,
, ...,
)
i
i
i
m
i
M
E
,
1, 2, ...,
i
n
; 4) построим интегральную сумму
1
(
)
n
n
i
i
i
I
f M
E
.
Определение. Конечный предел I интегральной суммы
n
I
при
0
d
, не зависящий ни от способа разбиения области E, ни от вы-
бора точек
i
M , называется m-кратным интегралом от функции f по
области E и обозначается
1
2
...
( ,
, ...,
)
m
E
I
f x x
x
dE
или
1
2
1
2
...
( ,
, ...,
)
...
m
m
E
I
f x x
x
dx dx
dx
. (14.1)
Таким образом, по определению
1
2
1
2
1
(
0)
...
( ,
, ...,
)
lim
( ,
, ...,
)
n
i
i
i
m
m
i
n
i
E
d
I
f x x
x
dE
f
E
. (14.2)
В этом случае функция
1
( , ...,
)
m
f x
x
называется интегрируемой в E.
При m = 2 (m = 3) для ограниченной функции f в замкнутой
области
2
( , )
S
R
x y
3
(
( ,
, )
V
R
x y z
) кратный интеграл
(14.1) называется двойным (тройным) интегралом, а соответст-