ВУЗ: Новосибирский государственный технический университет
Категория: Учебное пособие
Дисциплина: Математика
Добавлен: 15.02.2019
Просмотров: 14546
Скачиваний: 146
Г л а в а 14. Кратные, криволинейные, поверхностные интегралы
152
вующее определение (14.2) примет вид
1
( , )
( , )
lim
( ,
)
n
i
i
i
n
i
S
S
I
f x y dS
f x y dxdy
f
S
,
где точка
( ,
)
,
i
i
i
i
M
S
( , , )
( , , )
V
V
I
f x y z dV
f x y z dxdydz
1
lim
( ,
,
)
n
i
i
i
i
n
i
f
V
,
где точка
( ,
,
)
i
i
i
i
i
M
V
.
14.2. ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
14.2.1. ОБЛАСТИ НА ПЛОСКОСТИ
Определение. Область
2
,
S
R
x y
назовем правильной
в направлении Oy, если прямая, проходящая через любую внутрен-
нюю точку из S параллельно оси Oy, пересекает границу области
ровно в двух точках (рис. 14.1).
Область S будет правильной в направлении Oy , если сущест-
вуют функции
1
( )
x
и
2
( )
x
, определенные и непрерывные на [a; b]
и такие, что координаты точек, принадлежащих S, удовлетворяют
условиям:
1
2
,
( )
( )
a
x
b
x
y
x
; тогда символически можно
записать:
1
2
:
;
( )
( )
S
a
x
b
x
y
x
. (14.3)
Область S будет правильной в направлении Ox, если существуют
функции
1
( )
y
и
2
( )
y
, определенные и непрерывные на [c; d] и
такие, что координаты точек, принадлежащих S , удовлетворяют ус-
ловиям:
1
2
( )
( ),
y
x
y
c
y
d
(рис. 14.2); тогда символически
1
2
:{
;
( )
( )}
S
c
y
d
y
x
y
. (14.4)
Рис. 14.1 Рис. 14.2
Область называется правильной, если она правильная в обоих
направлениях Ox и Oy.
S
y
x
0
a
b
y =
2
(х)
y =
1
(х)
x =
1
(у)
S
y
x
0
d
c
x =
2
(у)
14.2. Двойные интегралы
153
Пример 1. Область S задана уравнениями границы:
/ 2,
y
x
,
2
y
x x
.
Изобразить указанную область и записать как правильную.
Область S – треугольник, ограниченный прямыми
:
/ 2,
O A y
x
:
,
OB y
x
:
2
AB x
(рис. 14.3). Точки пересечения
прямых есть O(0; 0), A(2; 1), B(2; 2).
а) Область S – правильная в направлении Oy и любая прямая L,
проходящая через внутреннюю точку области, пересекает прямую
:
/ 2
O A y x
и прямую
:
OB y
x
. Поэтому в силу (14.3) область зада-
ется системой неравенств:
: 0
2;
/ 2
S
x
x
y
x
.
б) Эта же область является правильной и в направлении Ox, но
для задания ее системой неравенств необходимо область S разбить
на две части S
1
и S
2
(рис. 14.4). Выразим в уравнениях границы x
через независимую переменную y : OB: x = y, OA: x = 2y. Для опре-
деления границ изменения переменной y проведем прямые, парал-
лельные оси Ox. Прямая L
1
пересекает прямую OB: x = y и прямую
OA: x = 2y; прямая L
2
пересекает прямую OB: x = y и прямую AB: x = 2.
Итак,
1
2
,
S
S
S
и в силу (14.4)
1
: 0
1;
2
S
y
y
x
y
,
2
: 1
2;
2
S
y
y
x
.
Пример 2. Точки из области D удовлетворяют неравенству
2
2
x
y
ax
(a > 0) , т.е.
2
2
: {
}
D
x
y
ax
. Изобразить данную об-
ласть и записать как правильную.
Преобразуя неравенство
2
2
x
y
ax
, получим
2
(
/ 2)
x a
2
2
/ 4
y
a
. Геометрически область D есть круг радиуса a/2 c центром
в точке С(a/2; 0). Из уравнения границы
2
2
x
y
ax
следует
2
y
ax x
или
2
2
( / 2)
(
/ 4)
x
a
a
y
. Область D может быть за-
писана как правильная в направлении Oy (любая прямая, проходя-
щая через внутреннюю точку D параллельно Oy, пересекает полуок-
ружность
2
:
OKL y
ax x
и полуокружность OML:
2
y
ax
x
x
y
L
0
A
B
2
Рис. 14.3
Рис. 14.4
x
y
0
A
B
L
2
S
1
S
2
L
1
Г л а в а 14. Кратные, криволинейные, поверхностные интегралы
154
[рис. 14.5)], в силу (14.3)
2
2
:{ 0
;
}
D
x
a
ax
x
y
ax
x
.
Область D можно записать как правильную в направлении Ox (пря-
мая, проходящая через внутреннюю точку D параллельно Ox, пере-
секает полуокружность
2
2
:
( / 2)
(
/ 4)
KOM
x
a
a
y
и полуок-
ружность
:
( / 2)
KLM
x
a
+
2
2
(
/ 4)
a
y
(рис. 14.6)), и в силу
(14.4):
( ) : {
/ 2
/ 2;
D
a
y
a
2
2
( / 2)
(
/ 4)
( / 2)
a
a
y
x
a
2
2
(
/ 4)
}
a
y
.
Рис. 14.5 Рис. 14.6
Задачи для самостоятельного решения
Изобразить указанные области и записать как правильные в
направлении Oy.
1. S – параллелограмм со сторонами x = 3, x = 5, 3x – 2y + 4 = 0,
3x – 2y + 1 = 0.
2. Область D задана неравенствами
2
2
,
4
y
x
y
x
.
3. Область D – треугольник со сторонами у = х, у = 2х,
6
x
y
.
14.2.2. ПОВТОРНЫЙ ИНТЕГРАЛ
Определение. Повторный интеграл
2
1
( )
( )
( , )
y
x
b
a
y x
dx
f x y dy
есть
приращение первообразной F(x,y) для ( , )
f x y по переменному y,
проинтегрированное по переменному x , т.е.
2
1
( )
( )
( , )
y
x
b
a
y x
dx
f x y dy
2
1
( )
( )
( , )
b
y y
x
y y x
a
F x y
dx
2
1
( ,
( ))
( ,
( ))
b
a
F x y x
F x y x
dx
.
0
x
y
M
K
D
L
a
a
2
D
M
K
L
x
y
a
2
0
a
2
a
2
2
14.2. Двойные интегралы
155
Определение. Повторный интеграл
2
1
( )
( )
( , )
x
y
d
c
y
x
dy
f x y dx
есть
приращение первообразной Ф(x, y) для f (x, y) по переменному x,
проинтегрированное по переменному y, т.е.
2
1
( )
( )
( , )
x
y
d
c
y
x
dy
f x y dx
=
2
1
( )
( )
Ф( , )
d
x x
y
x x y
c
x y
dy
=
2
1
Ф( ( ), )
( ( ), )
d
c
x y
y
Ф x y y dy
.
Пример 3. Вычислить повторный интеграл
2
2
1
(
2 )
x
x
dx
x
y dy
.
2
2
1
(
2 )
x
x
dx
x
y dy
|,
интегрируя внутренний интеграл
по y, полагаем x постоянным
|
2
2
2
1
2
x
x
x
x
dx
x
dy
ydy
2
2
2
2
1
2
/ 2
x
x
x
x
x y
y
dx
=
2
2
2
4
2
3
4
1
1
(
) (
)
(
)
x x
x
x
x
dx
x
x dx
=
2
4
5
1
/ 4
/ 5
49 / 20
x
x
.
Задачи для самостоятельного решения
Вычислить повторные интегралы.
4.
1
1
0
0
(
)
dx
x
y dy
. 5.
2
1
2
0
x
x
dx
xy dy
6.
2
2
2
0
0
sin
a
d
d
.
7.
( , )
A
B
a
b
dx
f x y dy
, если
( , )
( , )
xy
f x y
F
x y
.
Г л а в а 14. Кратные, криволинейные, поверхностные интегралы
156
14.2.3. ВЫЧИСЛЕНИЕ ДВОЙНОГО ИНТЕГРАЛА
В ДЕКАРТОВЫХ КООРДИНАТАХ
Теорема 14.1. Если: 1) функция f(x,y) интегрируема в правиль-
ной в направлении Oy области S:
1
2
{
, ( )
( )}
a
x
b y x
y
y x
, т.е.
существует двойной интеграл
( , )
S
f x y dS
, 2) существует повтор-
ный интеграл
2
1
( )
( )
( , )
y
x
b
a
y x
dx
f x y dy
, то
(14.5)
Теорема 14.2. Если: 1) функция f (x, y) интегрируема в пра-
вильной в направлении Ox области
1
2
:{
, ( )
( )}
S
c
y
d x y
x
x y
,
т.е. существует двойной интеграл
( , )
S
f x y dS
, 2) существует по-
вторный интеграл
2
1
( )
( )
( , )
x
y
d
c
x y
dy
f x y dx
, то
(14.6)
Из приведенных выше теорем следует, что при вычислении по-
вторного интеграла можно изменять порядок интегрирования.
Пример 4. Изменить порядок интегрирования в интеграле
2
1
0
( , )
y
y
dy
f x y dx
.
Так как из (14.6) имеем
2
1
0
( , )
( , )
y
y
D
dy
f x y dx
f x y dxdy
,
то правильная в направлении Ox область D
ограничена линиями x = y, x = 2 – y, y = 0,
y = 1 (линия y = 1 выродилась в точку)
(рис. 14.7). Эта область является правиль-
ной и в направлении Oy. Так как участок
OAB границы состоит из отрезков прямых
:
,
[0; 1]
OA y
x x
и
:
2
,
[1; 2]
AB y
x x
,
то
1
2
D
D
D
, где [см. (14.3)]
1
:{0
1;
D
x
0
}
y
x
,
2
: {1
2; 0
2
}
D
x
y
x
.
2
1
( )
( )
( , )
( , )
y
x
b
S
a
y x
f x y dS
dx
f x y dy
Рис. 14.7
1
2
B
A
0
x
y
D
1
2
1
( )
( )
( , )
( , )
x
y
d
S
c
x y
f x y dS
dx
f x y dx