ВУЗ: Новосибирский государственный технический университет
Категория: Учебное пособие
Дисциплина: Математика
Добавлен: 15.02.2019
Просмотров: 14513
Скачиваний: 146
14.2. Двойные интегралы
157
Итак,
2
1
0
y
y
dy
fdx
=
1
2
D D
D
fdxdy
=
1
2
D
D
fdxdy
fdxdy
=
1
2
2
0
0
1
0
( , )
( , )
x
x
dx
f x y dy
dx
f x y dy
.
Пример 5. Вычислить
2
(
)
D
I
x
y dxdy
по области D, огра-
ниченной линиями
2
y
x
и
y
x
.
Изобразим область D. Для отыскания точек пересечения па-
рабол
2
y
x
и
y
x
решаем уравнение
2
4
x
x
x
x
4
2
0
(
1)(
1)
0
x
x
x x
x
x
, отсюда имеем действитель-
ные корни
1
0
x
,
2
1
x
. Таким образом, параболы пересекаются в
точках (0; 0), (1; 1)
O
A
(рис. 14.8). Рассматривая область D как пра-
Рис. 14.8а
0
x
y
A
1
y= x
2
y
x
y =
х = у
2
у
0
х
Рис. 14.8б
х
=
у
1
A
вильную в направлении Oy (рис. 14.8а), имеем [см. (14.3)]
: {0
1;
D
x
2
}
x
y
x
. По формуле (14.3)
2
1
2
2
0
(
)
(
)
x
D
x
I
x
y dxdy
dx
x
y dy
=
2
1
3
0
3
y
x
y x
y
dx
xy
=
1
1
4
7
3
6
5 / 2
0
0
4
1
8
33
3
3
15
4
21
140
x
x
x x
x
x
dx
x
.
Если область D рассматривать как правильную в направлении
Ox (рис. 14.8б), то [см. (14.4)]
2
: { 0
1;
}
D
y
y
x
y
. По фор-
муле (14.6)
Г л а в а 14. Кратные, криволинейные, поверхностные интегралы
158
2
1
2
2
0
(
)
(
)
y
D
y
I
x
y dxdy
dy
x
y dx
=
2
1
2
2
0
2
x
y
x y
x
dy
y x
=
1
5 / 2
4
0
3
2
2
y
y
y
dy
=
1
2
7 / 2
5
0
2
3
33
4
7
10
140
y
y
y
.
Задачи для самостоятельного решения
Изменить порядок интегрирования в следующих повторных
интегралах.
8.
1
0
( , )
y
y
dy
f x y dx
. 9.
2
2
0
( , )
r
rx x
x
dx
f x y dy
.
10.
ln
1
0
( , )
e
x
dx
f x y dy
. 11.
sin
0
0
( , )
x
dx
f x y dy
.
Перейти от двойного интеграла
( , )
D
f x y dxdy
по конечной
области D к повторному интегралу и расставить пределы интегри-
рования.
12. Область D – параллелограмм со сторонами
3,
5,
x
x
3
2
4
0,
x
y
3
2
1 0
x
y
.
13.
2
2
:{
1;
0;
0}
D
x
y
x
y
. 14.
2
2
: {(
2)
(
3)
4}
D
x
y
.
15. D – треугольник со сторонами
,
2 ,
6
y
x y
x x
y
.
16.
:
2
0; 2
0,
2
D
y
x
y
x
xy
.
17. D – треугольник с вершинами
(0; 0),
(2; 1),
( 2; 1)
O
A
B
.
18. D – сегмент, ограниченный линиями
2
,
1
y
x
y
.
Вычислить двойные интегралы.
19.
,
: 0
1; 0
2
x y
D
e
dxdy D
x
y
. 20.
3
2
,
D
x y dxdy
D – круг
2
2
2
x
y
R
.
21.
2
(
)
,
D
x
y dxdy D
– область, ограниченная линиями
2
2
,
y
x
y
x
.
14.2. Двойные интегралы
159
22.
2
2
,
D
x
dxdy D
y
– область, ограниченная линиями
2,
,
1
x
y
x xy
.
23.
cos(
)
,
D
x
y dxdy D
– область, ограниченная линиями
0,
,
x
y
y
x
.
24.
2
2
1
,
D
x
y dxdy D
– четверть круга
2
2
1
x
y
, лежащая
в первом квадранте.
25.
2
,
D
xy dxdy D
– область, ограниченная параболой
2
2
y
px
и прямой
/ 2
x
p
.
26.
2
D
y dxdy
, если D ограничена осью абсцисс и первой ар-
кой циклоиды
(
sin )
x
a t
t
,
(1 cos )
y
a
t
,
0
2
t
.
14.2.4. ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННЫХ В ДВОЙНОМ ИНТЕГРАЛЕ
Пусть функции
( , ),
( , )
x
x u v
y
y u v
осуществляют взаимно
однозначное непрерывно дифференцируемое отображение области
P плоскости
1
O uv на область S плоскости Oxy . Тогда существует
обратное непрерывно дифференцируемое отображение
( , )
u
u x y
,
( , )
v
v x y
области S на область P, если якобиан преобразования
( , )
( , )
( , )
D x y
J u v
D u v
=
0
( , )
u
u
v
v
x
y
u v
P
x
y
.
Величины u и v можно рассматривать как прямоугольные ко-
ординаты для точек области P и в то же время как криволинейные
координаты точек области S. Точки плоскости Oxy, для которых
одна из координат u и v сохраняет постоянное значение, образуют
координатную линию. Всего будет два семейства таких линий.
Теорема 14.3. Пусть
( , ),
( , )
x
x u v
y
y u v
есть дифференци-
руемое преобразование области P из плоскости
1
O uv на область S из
плоскости Oxy . Тогда справедливо равенство
(14.7)
З а м е ч а н и е. Равенство (14.7) сохраняет справедливость,
когда условие взаимно однозначного соответствия между областями
S и P нарушается в отдельных точках или вдоль отдельных линий.
( , )
( ( , ), ( , ))
( , )
S
P
f x y dS
f x u v
y u v
J u v dudv
Г л а в а 14. Кратные, криволинейные, поверхностные интегралы
160
Переход в двойном интеграле к полярным координатам
Формулы
cos ,
sin
x
y
(14.8)
преобразуют полярные координаты ,
точки в декартовы коорди-
наты этой точки и переводят область
0
: 0
2 ; 0
P
(или область
0
:
; 0
P
) на всю плоскость Oxy.
Обратное преобразование декартовых координат в полярные
осуществляется по формулам:
2
2
0 при
0,
,
arcctg /
( ),
( )
1 при
0.
y
x
y
x
y
y
y
y
Фиксируя в последних формулах
и
, получим координатные ли-
нии из разных семейств: окружность с центром в точке
(0; 0)
O
и
луч, исходящий из точки (0; 0)
O
.
Якобиан преобразования
cos
sin
( , )
( , )
sin
cos
( , )
x
x
D x y
J
y
y
D
,
и формула (14.7) принимает вид
(14.9)
Рекомендация. К полярным координатам целесообразно пе-
реходить, когда в подынтегральное выражение или в уравнения
границы области интегрирования входит комбинация
2
2
x
y
.
В некоторых случаях при вычислении двойного интеграла
удобно перейти от декартовых координат к обобщенным полярным
координатам ,
(0
, 0
2
(
))
по формулам
cos
x
a
,
sin
y
b
, (14.10)
,
a b – постоянные,
0,
0
a
b
. Тогда
J
ab
, dxdy
ab d d
. (14.11)
Пример 6. Записать в полярной системе координат область S,
заданную в декартовой системе координат неравенством
2
2
2
x
y
R
(круг радиуса R с центром в точке (0; 0))
O
.
Перейдем от декартовых координат x, y к полярным
,
по формулам
cos
x
,
sin
y
. Подставим x и y в исходное не-
равенство, получим:
2
2
2
2
2
cos
sin
R
или 0
R
. На
координату
дополнительных ограничений не накладывается, по-
( , )
( cos ,
sin )
S
P
f x y dxdy
f
d d
14.2. Двойные интегралы
161
этому 0
2
(или
).
В полярной системе координат круг
записывается неравенствами:
: 0
2 ; 0
P
R
.
Пример 7. Записать в поляр-
ной системе координат область S –
часть круга, ограниченную линиями
2
2
2
x
y
R
,
1
y k x
,
2
y
k x
(
0
y
),
1
2
,
k k – постоянные,
1
2
0,
0
k
k
.
Изобразим область S (рис. 14.9). Запишем заданные линии в
полярных координатах, которые связаны с декартовыми формулами
cos
x
,
sin
y
:
1)
2
2
2
x
y
R
2
2
2
2
2
cos
sin
,
R
R
;
2)
1
y
k x
1
sin
cos
k
,
1
1
tg
,
arctg
k
k
;
3)
2
y
k x
2
2
2
sin
cos , tg
,
arctg
k
k
k
.
Область S
Oxy
переходит в область P
O
.
В полярной системе координат заданная область определяется
системой неравенств:
1
2
: arctg
arctg ; 0
P
k
k
R
.
Пример 8. Вычислить двойной интеграл
(
2)
,
S
I
y
dxdy
S –
множество точек, удовлетворяющих неравенству
2
2
4
x
y
x
.
Границей области является линия
2
2
4
x
y
x
или
2
2
(
2)
4
x
y
– окруж-
ность радиуса 2 с центром в точке
(2; 0)
C
(рис. 14.10).
Наличие в уравнении границы комби-
нации
2
2
x
y
наводит на мысль, что для вы-
числения двойного интеграла удобно перейти
к полярным координатам ,
по форму-
лам
cos
x
,
sin
y
,
dxdy
d d
.
Уравнение границы
2
2
4
0
x
y
x
переходит в уравнение
2
2
2
2
cos
sin
4 cos
0
или (
4cos )
0
. Отсюда
= 0
(соответствует полюсу O) и
4cos
– уравнение окружности. Так
как всегда
0
(по смыслу
), то из
4cos
следует cos
0
,
отсюда получаем
2
2
(этот же результат можно усмотреть
из рисунка). Итак, в полярных координатах область интегрирования
есть :
; 0
4 cos
2
2
P
. Тогда по формуле (14.9)
0
x
y
2
Рис. 14.10
Рис. 14.9
x
2
+ у
2
= R
2
y = k
2
х
у = k
1
х
x
y
0