ВУЗ: Новосибирский государственный технический университет
Категория: Учебное пособие
Дисциплина: Математика
Добавлен: 15.02.2019
Просмотров: 14522
Скачиваний: 146
Г л а в а 14. Кратные, криволинейные, поверхностные интегралы
162
(
2)
( sin
2)
S
P
I
y
dxdy
d d
4 cos
/ 2
2
/ 2
0
(
sin
2 )
d
d
4 cos
/ 2
/ 2
3
2
3
2
/ 2
/ 2
0
64
sin
cos
sin
16 cos
3
3
d
d
/ 2
/ 2
/ 2
3
4
/ 2
/ 2
/ 2
64
16
cos
cos
8
(1 cos 2 )
cos
3
3
d
d
/ 2
/ 2
1
8
sin 2
8
2
.
Пример 9. Вычислить
D
y
I
dxdy
x
, где
2
2
2
2
:{1
/
/
2;
D
x
a
y
b
0;
y
/ }
y
bx
a
.
Область D ограничена линиями:
2
2
2
2
/
/
1
x
a
y
b
– эллипс
с полуосями a и b,
2
2
2
2
/ 2
/ 2
1
x
a
y
b
– эллипс с полуосями
2
a
и
2
b
, y = 0 – прямая (ось Ox),
/
y
bx
a
– прямая (рис. 14.11).
Анализ границы области указывает на целесообразность пере-
хода к обобщенным полярным координатам по формулам (14.10),
(14.11):
cos ,
sin
x
a
y
b
,
dxdy
ab d d
. Уравнения гра-
ницы области в координатах
,
бу-
дут: 1)
2
2
2
2
/
/
1
1
x
a
y
b
;
2)
2
2
2
2
/ 2
/ 2
1
x
a
y
b
2
;
3)
0
0
y
; 4)
/
/ 4
y bx a
.
Итак, область интегрирования в ко-
ординатах ,
есть
: 0
/ 4; 1
2
P
.
Тогда
sin
cos
D
P
y
b
I
dxdy
ab d d
x
a
/ 4
2
0
sin
cos
b
d
2
2
/ 4
2
2
2
0
1
0
(ln cos
)
(
/ 2)
(
ln 2) / 4
d
b
b
.
Рис. 14.11
14.2. Двойные интегралы
163
Задачи для самостоятельного решения
Перейти в двойном интеграле
( , )
D
f x y dxdy
к полярным ко-
ординатам ,
и расставить пределы интегрирования в порядке:
внешнее – по
, внутреннее – по
:
27. D – область, ограниченная окружностями
2
2
4
x
y
x
,
2
2
8
x
y
x
и прямыми
y
x
,
2
y
x
.
28. D – область, являющаяся общей частью двух кругов
2
2
x
y
ax
и
2
2
x
y
by
.
29. D – меньший из двух сегментов, на которые прямая
2
x
y
рассекает круг
2
2
4
x
y
.
30. D – внутренняя часть правой петли лемнискаты Бернулли
2
2 2
2
2
2
(
)
(
)
x
y
a x
y
.
31. D:
2
2 3
2 2
2
{
0,
0, (
)
4
}
x
y
x
y
a x y
.
32. D:
2
2
1
4
9
x
y
. Указание. Перейти к обобщенным по-
лярным координатам.
33. D – область, ограниченная линией
2
2
2
2
(
/ 3)
x
y
x y
.
Указание. Перейти к обобщенным полярным координатам.
34.
2
2
2
/ 2
0
( , )
Ry y
R
R
dy
f x y dx
. 35.
2
3
2
2
0
(
)
x
x
dx
f
x
y
dy
.
36.
2
1
0
0
( , )
x
dx
f x y dy
.
С помощью перехода к полярным координатам вычислить ин-
тегралы:
37.
2
2
2
2
0
0
ln(1
)
R
R
x
dx
x
y dy
. 38.
2
2
2
:
(
2
3 )
D x
y
R
h
x
y dxdy
.
39.
2
2
2
2
2
:
D x
y
Rx
R
x
y dxdy
. 40.
arctg
D
y
dxdy
x
, D –
часть кольца
2
2
1
x
y
,
2
2
9
x
y
,
/ 3,
3
y
x
y
x
.
41.
2
2
2
2
2
2
sin
,
:{
4
}
D
x
y dxdy D
x
y
.
Г л а в а 14. Кратные, криволинейные, поверхностные интегралы
164
Вычислить, перейдя к обобщенным полярным координатам,
интегралы:
42.
2
2
2
2
,
:
1,
0,
0
D
x
y
xydxdy D
x
y
a
b
.
43.
,
D
xydxdy D
– область, ограниченная линией
4
2
2
/ 2
/ 3
6
x
y
xy
.
14.3. ТРОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
14.3.1. ОБЛАСТИ В ПРОСТРАНСТВЕ
Определение. Область
3
V
R
назовем правильной в на-
правлении Oz (правильной в направлении Ox, правильной в на-
правлении Oy), если прямая, проходящая через внутреннюю точку
области V параллельно оси Oz (параллельно оси Ox, параллельно
оси Oy), пересекает границу области ровно в двух точках.
Область V будет правильной в направлении Oz, если существу-
ют функции
1
( , )
z x y и
2
( , )
z x y , заданные в S и такие, что коорди-
наты точек, принадлежащих V, удовлетворяют условиям:
1
2
( , )
,
( , )
( , )
x y
S z x y
z
z x y
. Тогда символически записывают:
1
2
: ( , )
,
( , )
( , )
V
x y
S z x y
z
z x y
. (14.12)
Если, в свою очередь, область S – правильная в направлении Oy
[см. (14.3)], то
1
2
1
2
:
,
( )
( ),
( , )
( , )
V
a
x
b
x
y
x
z x y
z
z x y
. (14.13)
Если область S правильная в направлении Ox [см. (14.4)], то
1
2
1
2
:
,
( )
( ),
( , )
( , )
V
c
y
d
y
x
y
z x y
z
z x y
. (14.14)
Задания. 1. Записать символически правильную в направле-
нии Oy область
3
V
R
, если ее проекция на плоскость Oxz, в свою
очередь, есть правильная область.
2. Записать символически правильную в направлении Ox об-
ласть
3
V
R
, если ее проекция на плоскость Oyz есть правильная
область.
Пример 10. Область V ограничена поверхностями х
2
+ у
2
=
= (z – 2)
2
и z = 0. Изобразить область и записать как правильную:
а) в направлении Оz, б) в направлении Ox.
14.3. Тройные интегралы
165
Область V – круговой конус с боковой поверхностью, описы-
ваемой уравнением конической поверхности
2
2
2
(
2)
x
y
z
, осно-
ванием, лежащим на плоскости z = 0, с вершиной в точке M(0; 0; 2)
и осью, совпадающей с Oz (рис. 14.12). Область V – правильная во
всех направлениях Ox, Oy, Oz. При z = 0 из уравнения
2
2
2
(
2)
x
y
z
имеем
2
2
2
2
x
y
– уравнение окружности радиу-
са 2; таким образом, в основании конуса круг.
а) Рассмотрим область V как правильную в направлении Oz. Из
уравнения
2
2
2
(
2)
x
y
z
имеем
2
2
2
z
x
y
. Для точек об-
ласти V имеем:
2
2
0
2
z
x
y
. Проекция области V на плос-
кость Oxy есть
2
2
:
4
S
x
y
(рис. 14.13), поэтому в силу (14.12)
2
2
: ( , )
; 0
2
V
x y
S
z
x
y
, где
2
2
:
4
S
x
y
. Так как S –
правильная
область,
то
[см.
(14.3)]
:
2
2;
{
S
x
2
2
4
4
x
y
x
или [см. (14.4)]
:
2
2;
{
S
y
2
2
4
4
y
x
y
. Поэтому требуемая запись будет [см. (14.13)]
2
2
:
2
2;
4
4
;
V
х
x
y
x
2
2
0
2
z
x
y
или [см. (14.4)]
2
2
:
2
2;
4
4
;
V
y
y
x
y
2
2
0
2
z
x
y
.
Рис. 14.12
x
y
z
M
0
S
x
y
2
0
–2
–2
2
Рис. 14.13
б) Рассматривая область V как правильную в направлении Ox,
из уравнения
2
2
2
(
2)
x
y
z
имеем
2
2
(
2)
x
z
y
.
Линии пересечения плоскости Oyz и конической поверхности нахо-
дятся из решения системы уравнений:
0,
x
2
2
2
(
2)
0
x
y
z
;
Г л а в а 14. Кратные, криволинейные, поверхностные интегралы
166
в результате имеем
0,
2,
x
z
y
– прямые в плоскости Oyz. Итак,
проекцией V на плоскость Oyz является область D – треугольник
со сторонами z = y + 2, z = –y + 2, z = 0 (рис. 14.14), поэтому в си-
лу (14.12)
2
2
2
2
: ( , )
;
(
2)
(
2)
V
y z
D
z
y
x
z
y
,
где
:
2,
2,
0
D
z
y
z
y
z
.
Так как область D – правильная, то,
рассматривая ее как правильную в на-
правлении Oy, имеем
:{0
2,
D
z
2
2}
z
y
z
, а потому
2
2
2
2
0
2,
2
2,
:
(
2)
(
2)
.
z
z
y
z
V
z
y
x
z
y
Задачи для самостоятельного решения
Изобразить указанные ниже области
3
( , , )
V
R
x y z
и записать как правильные: а) в направлении Oz, б) в направлении Ox.
44. Область V ограничена поверхностями
2
3
6,
x
y
z
0,
0,
0
z
y
x
.
45. Область V ограничена поверхностями
2
2
2
2
(
)
x
y
z
R
R
.
46. Область V ограничена поверхностями
2
2
,
4
z
x
y
z
.
14.3.2. ВЫЧИСЛЕНИЕ ТРОЙНОГО ИНТЕГРАЛА
В ДЕКАРТОВЫХ КООРДИНАТАХ
Пусть правильная в направлении Oz область V ограничена сни-
зу и сверху непересекающимися поверхностями
1
( , )
z
z x y
и
2
( , )
z
z x y
, а с боков – цилиндрической поверхностью F(x, y) = 0
c образующими, параллельными оси Oz, т.е.
: ( , )
;
V
x y
S
1
2
( , )
( ,
z x у
z z x y
, где S – проекция V на плоскости Oxy.
Теорема 14.4. Пусть: 1) в области
: ( , )
;
V
x y
S
1
2
( , )
( , )
z x y
z
z x y
задана функция f(x, y,z), интегрируемая по Ри-
ману, т.е. существует тройной интеграл
V
fdV
; 2) существует по-
2
–2
2
0
y
z
M
D
Рис. 14.14