ВУЗ: Новосибирский государственный технический университет
Категория: Учебное пособие
Дисциплина: Математика
Добавлен: 15.02.2019
Просмотров: 14537
Скачиваний: 146
14.3. Тройные интегралы
167
вторный интеграл
2
1
( , )
( , )
z
x y
S
z x y
dS
fdz
. Тогда справедлива формула
(14.15)
З а м е ч а н и е. Цилиндрическая поверхность ( , ) 0
F x y
, ог-
раничивающая V, может частично или полностью вырождаться
в пространственную линию.
Задания. Записать формулы, связывающие тройной интеграл с
повторным, в случаях, когда: 1) область V правильная в на-
правлении Ox проецируется на плоскость Oyz; 2) область V пра-
вильная в направлении Oy проецируется на плоскость Oxz.
Пример 11. Вычислить
(
2
2 )
V
I
x
y
z dV
, где область V
ограничена поверхностями:
2
2
,
,
,
0
y
x
x
y
z
y z
.
Поверхности
2
y
x
и
2
x
y
есть параболические цилиндры
с образующими, параллельными
;
,
0
Oz z
y z
– плоскости. Об-
ласть V – правильная в направлении Oz, а потому 0 z
y
для то-
чек, принадлежащих V (рис. 14.15).
Рис. 14.15
V
x
z
y
1
1
Проекция V на плоскость Oxy есть правильная область S, ограни-
ченная линиями
2
y
x
и
2
x
y
(рис. 14.16), а потому, например
[см. (14.3)],
2
:{0
1;
}
S
x
x
y
x
и в силу (14.13)
2
:{0
1,
, 0
}
V
x
x
y
x
z
y
. Тогда по формуле (14.15)
(
2
2 )
V
I
x
y
z dV
=
0
(
2
2 )
y
S
dxdy
x
y
z dz
=
=
2
0
(
2
)
z y
z
S
dxdy xz
yz
z
=
см. (14.5)
=
2
1
( , )
( , )
( , , )
( , , )
z
x y
V
S
z x y
f x y z dV
dS
f x y z dz
Г л а в а 14. Кратные, криволинейные, поверхностные интегралы
168
=
2
2
1
1
2
2
3
0
0
(
3
)
(
/ 2
)
x
y
x
y x
x
dx
xy
y dy
dx xy
y
=
=
1
2
3 / 2
5
6
0
(
/ 2
/ 2
)
x
x
x
x dx
=
1
3
5 / 2
6
7
0
(
/ 6 2
/ 5
/12
/ 7)
143 / 420
x
x
x
x
.
Рис. 14.16
S
0
x
y
x = y
2
y = x
2
1
Задачи для самостоятельного решения
Вычислить интегралы.
47.
1
1
0
0
e
e x
dx
dy
ln(
)
(
)(
)
x y e
e
z
x
y
dz
x e x
y e
.
48.
3
(
1)
dxdydz
x
y
z
,
– область, ограниченная плоскостя-
ми
0,
0,
0
x
y
z
,
1
x
y
z
.
49.
V
xydxdydz
, V – область, ограниченная гиперболическим
параболоидом z xy
и плоскостями
1,
0 (
0)
x
y
z
z
.
50.
cos(
)
V
y
z
x dxdydz
, V – область, ограниченная цилинд-
ром
y
x
и плоскостями
0,
0
y
z
и
/ 2
x
z
.
51.
V
xyzdxdydz
, V – область, ограниченная поверхностями
2
,
y
x
2
,
x
y
,
0
z
xy z
.
14.3. Тройные интегралы
169
14.3.3. ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННЫХ В ТРОЙНОМ ИНТЕГРАЛЕ
Пусть функции
( , ,
),
( , ,
),
( , ,
)
x
x u v w
y
y u v w
z
z u v w
осу-
ществляют взаимно однозначное непрерывно дифференцируемое
отображение области
из пространства Ouvw на область V про-
странства Oxyz. Тогда существует обратное непрерывно дифферен-
цируемое отображение
( , , ),
( , , ),
u
u x y z
v
v x y z
( , , )
w
w x y z
области V на область
, если якобиан преобразования
( , ,
)
0
u
u
u
v
v
v
w
w
w
x
y
z
J u v w
x
y
z
x
y
z
( , ,
)
u v w
.
Величины u, v, w можно рассматривать как прямоугольные
координаты для точек области
и в то же время как криволинейные
координаты точек области V. Точки пространства Oxyz , для кото-
рых одна из координат u, v, w сохраняет постоянное значение, обра-
зуют координатную поверхность. Всего будет три семейства таких
поверхностей.
Теорема 14.5. Пусть
( , , )
x
x u v w
,
( , , )
y
y u v w
,
( , , )
z
z u v w
есть дифференцируемое преобразование области
из пространства
Ouvw в область V из пространства Oxyz. Тогда
( , , )
V
f x y z dxdydz
( ( , , ),
( , , ),
( , , ))
( , , )
f x u v w
y u v w
z u v w
J u v w dudvdw
(14.16)
З а м е ч а н и е. Последнее равенство сохраняет справедли-
вость, когда условие взаимно однозначного соответствия между об-
ластями V и
нарушается в отдельных точках или вдоль отдельных
линий, или на отдельных поверхностях.
ПЕРЕХОД В ТРОЙНОМ ИНТЕГРАЛЕ
К ЦИЛИНДРИЧЕСКИМ КООРДИНАТАМ
Формулы
cos ,
sin ,
x
y
z
z
преобразуют цилиндри-
ческие координаты
, , z
точки M в декартовы координаты этой
точки и переводят область изменения криволинейных координат
0
: 0
, 0
2 ,
z
(или
0
: 0
,
,
z
) на все пространство Oxyz. Геометрически:
– радиус-вектор OM точки P – проекции точки M на плоскость
Oxy;
– угол между Ox и OP; z – аппликата точки M (рис. 14.17).
Г л а в а 14. Кратные, криволинейные, поверхностные интегралы
170
Рис. 14.17
y
x
z
z = const
= const
= const
M
0
P
Обратное преобразование за-
дается формулами:
2
2
,
arcctg
( ),
0 при
0,
, ( )
1 при
0.
x
x
y
y
y
y
z
z
y
y
Фиксируя в последних формулах
, , z
, получим тройку координат-
ных поверхностей: круговой ци-
линдр с осью Oz , полуплоскость,
исходящую из оси Oz, и плоскость, параллельную плоскости Oxy
(рис. 14.17). Якобиан преобразования
( , , )
z
z
z
x
y
z
J
z
x
y
z
x
y
z
cos
sin
0
sin
cos
0
.
0
0
1
При переходе в тройном интеграле к цилиндрическим координатам
формула (14.16) примет вид
, (14.17)
где
– область изменения цилиндрических координат точек обла с-
ти V из Oxyz.
ПЕРЕХОД К СФЕРИЧЕСКИМ КООРДИНАТАМ
Формулы
cos sin
x
r
,
sin sin
y
r
,
cos
z
r
преоб-
разуют сферические координаты , ,
r
точки M в декартовы
координаты этой точки и переводят об-
ласть
0
: 0
,
r
0
2
, 0
(или
0
:{0
,
r
,
0
}
)
изменения сферических координат на все про-
странство Oxyz. Геометрически: r – радиус-
вектор OM точки M;
– угол между осью Ox и
проекцией радиуса-вектора r на плоскость
Oxy;
– угол между осью Oz и радиусом-
вектором r, отсчитываемый по ходу стрелки
часов (рис. 14.18). Обратное преобразование
имеет вид
( , , )
( cos , sin , )
V
f x y z dxdydz
f
z
d d dz
Рис. 14.18
z
x
y
0
M
OM = r
14.3. Тройные интегралы
171
2
2
2
r
x
y
z
,
arcctg
( )
x
y
y
,
2
2
2
arccos
z
x
y
z
,
0 при
0,
( )
1 при
0.
y
y
y
Фиксируя в последних формулах , ,
r
, получим тройку коор-
динатных поверхностей: сферу, полуплоскость, полуконус соответ-
ственно (рис. 14.18). Якобиан преобразования
2
( , , )
sin
r
r
r
x
y
z
J r
x
y
z
r
x
y
z
.
При переходе в тройном интеграле к сферическим координатам
справедлива формула
( , , )
V
f x y z dxdydz
2
( cos sin ,
sin sin ,
cos )
sin
f r
r
r
r
drd d
, (14.18)
где
– область изменения сферических координат точек области V
из Oxyz.
Пример 12. Вычислить тройной интеграл
V
I
zdxdydz
, где
2
2
2
2
2
:{
;
}
V
x
y
z
R z
x
y
.
Область V ограничена полусферой
2
2
2
(
)
z
R
x
y
и по-
луконусом
2
2
z
x
y
(рис. 14.18). Для удобства вычисления трой-
ного интеграла перейдем к сферическим координатам по фор-
мулам:
cos sin ,
sin sin ,
x
r
y
r
cos
z
r
, при этом
2
sin
dxdydz
r
drd d
. Неравенства, описывающие V , преобра-
зуются: а)
2
2
2
2
2
0
;
x
y
z
R
r
R
r
R
б)
2
2
cos
sin
tg
1
0
/ 4
z
x
y
r
r
.
Так как нет ограничений на
, то
0
2
. В итоге область ин-
тегрирования в сферических координатах есть
: 0
2 ;
0
; 0
4
r
R
(этот же результат можно было усмотреть
из чертежа). Тогда по формуле (14.18)
V
I
zdxdydz