Файл: FIZMEXKINVAR.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 25.03.2024

Просмотров: 143

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

Поділивши почленно рівняння (1.23) на рівняння (1.22), маємо:

 

 

V1 U1 U2

V2 , або

(1.24)

 

 

U2 V1 V2

U1

(1.25)

Підставимов рівняння (1.21) значення U2 та знайдемо U1 :

U1

 

2m2V2 (m2 m1)V1

.

(1.26)

 

 

 

 

m1 m2

 

Із рівнянь (1.25) і (1.26) маємо:

 

 

 

 

U2

2m1V1 (m1 m2 )V2

.

(1.27)

 

 

 

m1 m2

 

Приклад: Знайти швидкості тіл після абсолютно пружного

удару (рис. 1.3), якщо їх маси

m1 6кг , m2 2кг та швидкості

до удару V1 4м/с, V2 3м/с .

U1

 

 

2m2V2

(m2 m1)V1

 

 

 

2

2 4 (2 6) 3

 

0.5м/с , (1.28)

 

 

m1 m2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6 2

U2

 

2m1V1

(m1 m2 )V2

 

 

2

6 4 (6 2) 3

7.5м/с. (1.29)

 

m1 m2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6 2

 

 

Ми отримали від’ємне значення швидкості U1 . Це означає,

що

її дійсний напрямок

буде протилежним до показаного

на рис. 1.3.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

15

1.2.Динаміка обертового руху

1.2.1.Момент сили. Момент імпульсу. Рівняння мо-

ментів. Важливі закони механіки зв’язані з поняттями моменту імпульсу або моменту кількості руху і моменту сили. Моментом сили відносно точки О (рис. 1.4) називається векторний добуток

радіуса-вектора r на вектор сил F :

 

M r F .

(1.30)

Напрямок вектора моменту сили визначається за правилом векторного добутку. Він направлений вздовж осі обертання. Модуль моменту сили дорівнює:

 

 

M rF sin rF

dF ,

(1.31)

де F

Fsin ,

d rsin .Величина

d називається

плечем

сили – це найкоротша відстань між лінією дії сили і віссю обертання (рис.1.4).

Плече сили

 

 

 

 

F

F sin

 

F

 

d r sin

 

 

 

 

 

Вісь обертання

 

 

F

 

 

 

 

 

 

 

 

r

 

 

 

M

 

O

 

 

O

 

 

 

 

 

 

 

d

 

 

r

F

 

 

 

Лінія дії сили

O`

Рис. 1.4. Момент сили

Вектор моменту імпульсу визначається по аналогії з момен-

том сили: вектором моменту імпульсу L матеріальної точки називається векторний добуток її радіуса-вектора r , на вектор її імпульсу P :

L r P

(1.32)

16

 

Він направлений вздовж осі обертання (рис.1.5):

O

 

 

 

 

 

 

L

 

 

P

mV

 

 

 

 

 

 

 

 

r

 

m

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

O

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 1.5. Момент імпульсу матеріальної точки

 

Модуль моменту імпульсу дорівнює:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

L rPsin mrV sin ,

 

 

 

(1.33)

де m маса матеріальної точки.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Виявляється, що величини L і M

зв’язані між собою,

оскільки

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dL d r P

dr

 

 

dP

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

P r

 

 

.

(1.34)

 

 

dt

dt

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dt

 

 

dt

 

 

 

dr

 

 

 

 

 

 

 

 

dr

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Оскільки

 

V і P mV , то

 

 

 

 

 

P і перший доданок в

dt

dt

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(1.34) дорівнює нулю. Отже матимемо:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dL

 

 

 

dP

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

r

 

 

.

 

 

 

 

(1.35)

 

 

 

 

 

dt

dt

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dP

 

Але, згідно з другим законом Ньютона,

 

F . Тоді

 

(1.35) прийме вигляд:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dt

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dL

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

r F ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(1.36)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dt

17

або

dL

 

 

 

M .

(1.37)

 

dt

Рівняння (1.37) називається рівнянням моментів: похідна за часом від моменту імпульсу матеріальної точки відносно нерухомої вісі дорівнює моменту діючої сили відносно тієї ж вісі. Зауважимо, що М являє собою сумарний момент зовнішніх сил.

1.2.2. Кінетична енергія тіла, яке перебуває в обертово-

му русі. Момент інерції. Визначимо кінетичну енергію твердого тіла, що обертається навколо нерухомої вісі ZZ (рис. 1.6) з кутовою швидкістю .

Z

Vi ri

ri

mi

Z

Рис. 1.6. Кінетична енергія обертового руху твердого тіла

Виділимо на твердому тілі на відстані ri від осі обертання точкову масу mi .Лінійна швидкість виділеної елементарної маси становить:

Vi ri .

(1.38)

Кінетична енергія виділеної елементарної маси дорівнює:

T

 

mV

2

 

2

m r2 .

 

 

i i

 

 

 

(1.39)

 

 

 

i

2

 

 

2

i i

 

 

 

 

 

 

 

18

 

 

 

Але кінетична енергія T всього тіла складається із кінетичних енергій його складових, тому

n

m r2 2

2

 

n

 

2

 

 

T

i i

 

 

 

 

miri

.

(1.40)

2

 

 

 

 

i 1

 

2

 

i 1

 

 

 

 

Величину mr2 позначимо через

IZ

і назвемо моментом

інерції матеріальної точки відносно вісіZZ

 

 

 

 

 

IZ mr2 ,

 

 

 

 

 

(1.41)

де m – маса матеріальної точки, r

– відстань до осі обертання.

Момент інерції всього тіла відносно вісі ZZ

дорівнює сумі

моментів інерції його складових частин:

 

 

 

 

 

 

n

n

 

 

 

 

 

 

IZ ( IZ )i miri

2 .

 

 

(1.42)

i 1

i 1

 

 

 

 

 

 

Отже, момент інерції твердого тіла чисельно дорівнює сумі добутків мас матеріальних точок (на які уявно розбивають тіло) на квадрати відстаней до їх осі обертання.

Момент інерції має певний фізичний зміст: є мірою інертності тіла при обертальному русі та характеризує масу тіла та її розподіл відносно осі обертання. Аналогом моменту інерції у поступальному русі є маса тіла.

Кінетичну енергію тіла, що обертається відносно нерухомої вісі ZZ можна записати таким чином:

T

I

2

 

z

 

.

(1.43)

 

2

 

 

 

 

Індекс Z біля символу I у рівняннях (1.41,1.421.43) свідчить про те, що мова йде про момент інерції відносно вісі ZZ , яка нерухома. Очевидно, що момент інерції цього ж тіла відносно іншої вісі зміниться, тому, говорячи про момент інерції, необхідно вказати вісь, відносно якої його обчислено.

19

Смотрите также файлы