Файл: FIZMEXKINVAR.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 25.03.2024

Просмотров: 148

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

У випадку однорідного тіла правильної форми операцію сумування заміняють на операцію інтегрування. Момент інерції

будь-якого тіла можна обчислити через інтеграл:

 

I r2dm,

(1.44)

(m)

 

де інтегрування ведеться по всьому об’єму тіла, уявно розбитого на елементарні маси dm, кожна з яких характеризується своїм радіусом r відносно вісі обертання.

Знайдемо моменти інерції деяких тіл.

Момент інерції однорідного стержня відносно осі CC ,

що проходить через його центр мас.

 

 

 

 

 

C

dx

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Х1=-l/2

 

C

 

 

Х2=l/2

 

 

 

 

 

 

 

Рис.1.7

 

 

 

 

 

Розглянемо однорідний стержень (рис. 1.7). Нехай його ма-

са m, довжина l, лінійна густина

(лінійна густина чисельно

дорівнює масі, що

припадає на одиницю довжини стержня

 

m

). Систему координат розмістимо таким чином, щоб че-

 

l

 

 

 

 

 

 

 

 

рез її початок проходила вісь CC . Знайдемо момент інерції стержня відносно осі, що проходить через його центр мас. Виділимо

на відстані

x від осі CC , яка проходить через центр мас стерж-

ня,

елементарну масу dm. Елементарний момент інерції виділе-

ної

маси

відносно осі CC складає:dIC x2dm. Оскільки

dm dx,то dIC x2dx, а момент інерції всього стержня

20

X2 l/2

 

2

 

x3

 

l/2

l 3

l 3

 

 

 

IC

 

x

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

3

2

2

X

l/2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

l/2

 

 

 

 

 

 

(1.45)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

l3 ml2

12 12

При виведенні співвідношення (1.45) враховано, що

l m.

Аналогічно знайдемо момент інерції однорідного стержня

відносно осіZZ , що проходить через один із його кінців. Систему координат розмістимо таким чином, щоб через її початок про-

ходила вісь ZZ .

 

 

X2 l

 

3 l

l

3

ml

2

 

 

IZ

x2dx x

 

 

.

(1.46)

 

 

X1 0

3 0

3

 

3

 

 

Момент інерції однорідного диска (циліндра) відносно ві-

сіCC , що проходить перпендикулярно його площині через

центр C (рис.1.8). Нехай

 

 

х

 

С

dх

 

маса диска т, радіус диска

 

 

 

 

R , густина . Виділимо

 

 

 

 

 

 

 

на відстані х

від центра

 

 

 

с

 

 

h

(точка С) нескінченно

 

 

 

 

 

 

тонкий

обруч

товщиною

 

 

 

 

С’

 

 

dx, елементарний момент

 

 

R

 

 

 

інерції

якого

дорівнює

 

 

 

 

 

 

Рис. 1.8. Момент інерції диска

 

dIC x2dm.

Визначимо елементарну масу dm виділеного елементарного об'єму у вигляді тонкого кільця, беручи до уваги, що густина речовини , а товщина диска h:

dm dV hdS ,

де dS 2 xdx – площа поверхні виділеного пояска, то

dIC 2 hx3dx. Проінтегруємо останній вираз:

21

m

R

 

 

 

 

 

 

IC x2dm x2 2 xdx

 

 

 

0

0

 

 

 

 

,

(1.48)

R

 

 

4

 

 

 

R

 

mR

2

 

 

h2 x3dx h2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

4

2

 

 

 

де m R2 – маса диска.

Аналогічно можна знайти момент інерції диска з центральним отвором. Нехай радіус диска R , а радіус отвору r . Для цього рівняння (1.48) необхідно про інтегрувати від r до R

m

 

R

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

IC x2dm

x2 2 rdx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

r

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

,

(1.49)

 

R

 

 

 

 

4

 

4

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

R

 

 

 

m(R

r

2

 

 

h2 x3dx h2

 

r

 

 

 

 

)

 

 

 

 

4

 

 

 

2

 

 

 

 

 

r

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

де m 2 (R2

r2 )h – маса диска.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Із (1.49)

легко знайти

момент

інерції

диска

без

отвору

(r 0 ):

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

IC

 

m(R2

r2 )

 

mR2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

,

 

 

 

 

 

 

(1.50)

 

2

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

та момент інерції обруча відносно осі, що проходить центр мас

(r R)

 

 

m(R2

r2 )

m(R2 R2 )

2

 

 

IC

 

 

 

 

 

 

 

 

 

mR

 

.

(1.51)

 

 

2

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

Момент інерції кулі

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

I

c

 

mR2 .

 

 

(1.52)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5

 

 

 

 

 

1.2.3.Теорема Штейнера. Ця теорема дозволяє знайти момент інерції тіла відносно довільної осі ZZ , якщо відомий момент інерції даного тіла відносно паралельної осіCC , що проходить через центр мас даного тіла (рис. 1.9), а саме:

22

Момент інерції тіла від-

носно довільної осіZZ дорівнює сумі моменту інерції цього тіло відносно паралельної осіCC , що проходить через центр мас тіла, і добутку маси тіла на квадрат відстані між

цими

осями

Iz

Ic ma2 –

(1.53),

де

m

маса тіла,

СZ

a

m

C Z

Рис.1.9.ТеоремаШтейнера

авідстань між осями.

1.2.4.Основне рівняння динаміки обертового руху. Якщо на тіло (рис.1.10), яке може обертатися навколо довільної Z, діє

Z Mz r F

z

F

IZ r

Z

Рис. 1.10

момент сил MZ , а момент інерції цього тіла відносно цієї

ж осіIZ , то тіло набуде куто-

вого прискорення:

 

 

M

z

.

(1.54)

 

z

 

 

Iz

 

 

 

 

 

 

Рівняння (1.54) є основним рівнянням динаміки обертового руху, в якому відіграє таку ж роль, як і другий закон Ньютона в поступальному русі.

23

1.2.5. Момент імпульсу твердого тіла. Закон збереження моменту імпульсу. Для твердого тіла, яке обертається навколо

осі

ZZ

з кутовою швидкістю , величина моменту імпульсу

може бути визначена таким чином.

 

 

 

 

Уявно

 

 

Z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

розіб'ємо тіло

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

на

нескінчен-

 

 

 

Li

 

 

но

малі

час-

 

 

 

 

 

 

 

 

P mV

тинки –

мате-

 

 

 

 

 

 

i

i

i

ріальні

точки

 

 

 

 

 

 

(рис.

1.11).

 

 

 

ri

 

 

Розглянемо

 

 

 

 

 

 

 

 

mi

 

 

окрему таку i-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

точку. Модуль

 

 

 

 

 

 

моменту

ім-

 

 

 

 

 

пульсу

даної

 

 

Z

 

 

 

точки з масою

 

 

 

 

 

Рис. 1.11. Момент імпульсу твердого тіла

 

 

mi відносно

 

 

 

 

 

 

 

 

вісі ZZ

буде

 

 

 

 

 

 

 

 

 

L m rV sin m r2 ,

 

(1.55)

 

 

 

i

i i i

i i

 

 

де 90 , V r .

 

 

 

 

 

 

Для всього тіла матимемо (індекс z біля L означає, що мо-

мент імпульсу обчислено відносно осі ZZ ):

 

 

 

 

 

Lz

miri

2 z .

 

(1.56)

де z – кутова швидкість обертання тіла відносно вісі ZZ .

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

Згідно з (1.42) miri

2 Iz , тому:

 

 

 

 

 

i 1

 

 

 

 

 

 

 

 

Lz

 

 

 

(1.57)

 

 

 

Iz z

 

 

24

Смотрите также файлы