Файл: Билет математический анализ.pdf

Если 

, то 

. Поэтому, согласно пределу 

, имеем: 

. 

По признаку (о пределе промежуточной функции) существования пределов 

. 

2. Пусть 

. Сделаем подстановку − x = t, тогда 

. 

Из двух этих случаев вытекает, что 

для вещественного x.     

Билет 11. Сравнение б.м. Эквивалентные б.м. Таблица основных эквивалентностей. Порядок 
малости.  

 
Функция α(х) называется бесконечно малой при х  x0 (б.м.), если lim α(х)=0 (xx0). 
Если lim α(х)/β(x) = 0 (xx0), то α(х) называется б.м. более высокого порядка чем β(x), и пишут α(х)=oβ(x), 
xx0. 
Если lim α(х)/β(x) = C (xx0, c<∞), то α(х) и β(x) называются б.м. одного порядка малости. 
Если lim α(х)/β(x) = 1 (xx0), то α(х) и β(x) называются называются эквивалентными и это обозначается 
α(х) ~ β(x) при хx0. 
Если существует число k, такое что lim α(х)/(β(x))

k

 = C ≠ 0, то α(х) называется б.м. порядка k относительно β(x). 

Y=F(x) называется бесконечно большой при xx0, если lim F(x)= ∞ (xx0) 
Таблица основных эквивалентностей: 
Если lim sinx/x = 1 (x0), тогда: 
x~sinx~tgx~arcsinx~arctgx~(e

x

-1)~ln(1+x) 

1-cosx~x

2

/2 

a

x

-1~xlna 

Билет 12. Непрерывность функции в точке и на промежутке. Непрерывность суммы, разности, 
произведения и частного (при условии, что знаменатель не обращается в 0) непрерывных 
функций. Непрерывность сложной функции. Непрерывность элементарных функций.  
 

Определение. Функция y=f(x) называется непрерывной в точке x0, если: 1) f(x) определена в некоторой 
окрестности точки х0; 2) Существует lim f(x) (xx0); 3) lim f(x) = f(x0). Функция называется непрерывной на 
промежутке, если она непрерывна во всех точках этого промежутка. 
Геометрический смысл. Функция называется непрерывной на промежутке Х, если она непрерывна в каждой 
точке этого промежутка. Геометрически график непрерывной функции представляет собой непрерывную 
линию. Легко видеть, что функция непрерывна в точке х0 тогда и только тогда, когда односторонние пределы 
функции в этой точке существуют и равны между собой, а также значению функции в этой точке. 
Теорема о действиях с непрерывной функцией: 
Пусть f(x) и g(x) непрерывны в точке х0.  

1)  f(x)+-g(x) 
2)  f(x)*g(x) 
3)  f(x)/g(x), если g(x0) ≠ 0 

Доказательство: 

lim (f(x)+-g(x)) (xx0) = lim f(x) +- lim g(x) = f(x0) +- g(x0) 
Непрерывность сложной функции. Пусть f(x) – непрерывная в т. х0, а g(t) в т. t0=f(x0). Тогда функция g(f(x)) 
непрерывна в точке х0. Доказательство вытекает из теоремы о пределе сложной функции. 
Непрерывность элементарных функций. Все основные элементарные функции непрерывны на своей области 
определения. 
 
 
 

Билет 13. Точки разрыва и их классификация. Исследование функции на непрерывность.  
 

Определение. Точки, в которых предел функции не существует или существует, но не равен значению 
функции в этой точке называются точками разрыва. 
Устранимый разрыв (1ый род). Пусть существуют lim f(x) (xx0-) и lim f(x) (x x0+); они равны друг другу, 
но не равны значению функции в данной точке. Тогда x0 – устранимая точка разрыва 
Разрыв типа скачок (1ый род). Пусть существуют конечные односторонние пределы функции f(x) в точке х0, 
не равные друг другу. Тогда х0 – точка разрыва 1го рода типа скачок 
Разрыв второго рода. Пусть в точке х0 хотя бы один из односторонних пределов функции не существует или 
равен бесконечности. Тогда х0 – точка разрыва 2го рода. 

 
 
 
Билет 14. Свойства функций, непрерывных на отрезке. 
 

Теорема 1. Пусть функция y=f(x) непрерывна на отрезке [a; b]. Тогда найдутся х1, х2 (- [a;b] такие, что для всех 
х (- [a;b] выполняется неравенство: m = f(x1) <= f(x) <= f(x2) = M. То есть непрерывная на отрезке функция 
достигает на этом отрезке своего наименьшего значения m и наибольшего M. 
Следствие: непрерывная на отрезке функция ограничена на нём. 
Теорема 2. Пусть f(x) (- C[a;b] и f(a)*f(b)<0 (т.е. на концах отрезка функция имеет разные знаки). Тогда 
найдётся такое x0 (- (a;b), что f(x0) = 0. 
Теорема 3. Пусть f(x) (- C[a;b] и f(a) ≠ f(b). Тогда для любого y* (- [f(a); f(b)], если f(а) < f(b) или y* (- [f(b); f(a)], 
если f(b) < f(a) найдётся x* (- [a;b]: f(x*)=y*, т.е. если на концах отрезка функция принимает не равнее друг 
другу значения, тогда она принимает и все промежуточные между этими значения. 
Теорема 4. Пусть f(x) (- C[a;b] и m-наименьшее, а M-наибольшее значения функции f(x) на [a;b]. Тогда для 
любого у* (- [m; M] найдётся х* (- [a; b] такое, что f(x*)=y*, т.е. непрерывная на отрезке функция не только 
принимает наибольшее и наименьшее значения, но и пробегает все промежуточные. 
Для монотонной непрерывной функции всегда найдётся обратная! 
Рисунки 
 
 
 
 

Билет 15. Задача о нахождении мгновенной скорости. Производная функции в точке. 
Геометрический смысл. Уравнения касательной и нормали  к графику функции. 
 

Задача. Пусть материальная точка M движется неравномерно по некоторой прямой. Каждому значению 
времени t соответствует определённое расстояние OS=M до некоторой фиксированной точки О. Это расстояние 
зависит от истёкшего времени t, т.е. t=S(t). Это равенство называют законом движения точки. Требуется найти 
скорость движения точки. 
Если в некоторый момент времени t точка занимает положение М, то в момент времени t+∆t (∆t – приращение 
времени) точка займёт положение М1, где ОМ1=S+∆S. Таким образом, перемещение точки М за время ∆t будет 
∆S=S(t+∆t)-S(t). Отношение ∆S/∆t выражает среднюю скорость движения точки за время ∆t (Vср=∆S/∆t). Чем 
меньше ∆t тем точнее средняя скорость выражает мгновенную. Предел средней скорости движения при 
стремлении к нулю промежутка времени ∆t называется мгновенной скоростью: V=lim ∆S/∆t (∆t0) 
Определение. Предел отношения приращения функции y=f(x) к приращению аргумента  
при x=x0 называется производной функции y=f(x) в точке х0, если он существует и  
конечен. f ‘x при х=х0 = lim ∆f(x)/ ∆x  (∆x0) = lim (f(x)-f(x0))/(x-x0) (xx0) 

Обозначение. y’, y’(x), f ‘(x), dy/dx итд. 
Геометрический смысл. Если к графику функции y=f(x) в точке с абциссой x=a можно  
провести касательную, непараллельную оси y, то f’(a) выражает угловой коэффициент  
касательной. k=f ‘(a), f ‘(a)=tgα 
Касательная. Прямая называется касательной к графику функции y=f(x) в т. х0=(x0; f(x0)), если: 1) Прямая 
пересекается с графиком функции в точке х0; 2) В некоторой окрестности этой точки нет других пересечений; 
3) Для всех х из этой окрестности график лежит по одну сторону от касательной. y=y0+f ‘(x0)(x-x0) 
Нормаль. Нормалью к графику функции y=f(x) в точке х0 называется прямая перпендикулярная касательной к 
графику функции в этой точке. k

норм 

= -1/k

кас

 = -1/f ‘(x0)  y = -1/f ‘(x0)*(x-x0)+y0 

Билет 16. Дифференцируемость функции в точке. Необходимое и достаточное условие 
дифференцируемости. Связь непрерывности и дифференцируемости функции. 
Логарифмическая производная.  
 

Определение. Функция y=f(x) называется дифференцируемой в точке х0, если она имеет (конечную) 
производную в этой точке. 
Необходимое и достаточное условие дифференцируемости. Для того, чтобы функция y=f(x) была 
дифференцируема в точке х0 необходимо и достаточно, чтобы в некоторой окрестности точки х0 её 
приращение имело вид: ∆y=A*∆x+α(x)*∆x, где А-конечное число, α(х)-б.м. в т. х0 

Доказательство: 

α(х)-б.м. в т. х0  lim α(х)=0 

1)  Необходимость. 

Пусть y=f(x) – диф. в т. х0, т.е. существует конечный lim ∆y/∆x = f ‘(x0). Обозначим f ‘(x0) = А < ∞. Рассмотрим 
функцию α(х) = -А+∆y/∆x. Тогда lim ∆y/∆x = lim (-A+ α(х)) = -A + lim ∆y/∆x = -A+A = 0. Следовательно α(х) – 
б.м. в точке х0. 

2)  Достаточность 

Пусть в некоторой окрестности точки х0 ∆y = A*∆x + α(х)*∆x. lim ∆y/∆x = lim (A+ α(х)) = A+0 = А (существует 
и конечен). Т.е. функция диф. в т. х0. 
Утверждение данной теоремы означает, что главной частью приращения диф. ф. является линейная часть. 
Нелинейная часть имеет более высокий порядок малости. 
Связь непрерывности и дифференцируемости функции. Если y=f(x) – дифференцируема в точке х, то она 
непрерывна в этой точке. 

Доказательство: 

f(x) – диф. в т. х0  по теореме 1 ^ её приращение ∆y=A*∆x+α(x)*∆x. Тогда при ∆x0 получаем ∆y0. Т.е. 
f(x)f(x0) при xx0, а это означает что функция непрерывна lim f(x) = lim f(x0) 
Логарифмическая производная. Часто применяется для упрощения нахождения производной некоторых 
функции, например сложнопоказательных. 
(log

a

x)’=1/(x*lna) 

(lnx)’=1/x 

Билет 17. Правила дифференцирования. Производная суммы, произведения, частного 
дифференцируемых функций. Производная обратной функции. Производная сложной функции.  

1)  (U(x)+-V(x)) = U’(x)+-V’(x) 

Доказательство: 

Пусть ∆x0. ∆(U+V)= ∆U+∆Vlim ∆(U+V)/ ∆x (∆x0) = lim (∆U+∆V)/∆x = lim ∆U/∆x + lim ∆V/∆x = U’ + V’ 

2)  (U(x)*V(x))’=U’(x)*V(x)+U(x)*V’(x) 

Доказательство: 

Пусть ∆x0. ∆(U*V) = (U+∆U)(V+∆V)-UV = UV+U∆V+V∆U+∆U∆V-UV; 
(UV)’ = lim ∆(UV)/ ∆x = lim (U∆V+V∆U+∆U∆V)/∆x = сумма лимитов = V*lim ∆U/∆x + U*lim ∆U/∆x + lim 
∆U/∆x * lim ∆V (∆xбеск.) = VU’+UV’+U’*0. 

3)  (U(x)/V(x))’ = (U’(x)*V(x) – U(x)*V’(x))/V

2

(x) 

Производная обратной функции. Пусть функция y=f(x) определена и дифференцируема в некоторой 
окрестности точки х0, f ‘(x0) ≠ 0. Пусть также в некоторой окрестности точки  y0=f(x0) определена и 
дифференцируема обратная функция x=g(y) (x=f

-1

(y)). Тогда производная обратной функции в точке у0 

находится по формуле: x’(y0) = 1/f ’(x0) или g(y0)=1/f(x0), g-обр. f. 

Доказательство: 

g’(x) = lim ∆x/∆y (∆y0) = lim 1/(∆y/∆x) = 1/lim ∆y/∆x (∆x0) = 1/f(x0) 
Производная сложной функции. Пусть функция x=φ(t) диф. в т. t0 и функция y=f(x) диф. в точке x0=φ(t0). 
Тогда сложная функция y(φ(t)) диф. в точке t0: y

t

’(t0) = f

x

’(x0)* φ

t

(t0) 

Доказательство: 

y’(t0) = lim (∆y(φ(t)))/∆t (tt0) = lim (∆y*∆x)/( ∆x*∆t) = lim ∆y/∆x * lim ∆x/∆t = y

x

’(x0) * x

t

(t0) 

Билет 18. Таблица производных. Вывод производных логарифмической, показательной, 
степенной и основных тригонометрических функций (sin x, tg x).  
 

(C)’ = 0 
(x)’ = 1 
(kx+b)’ = k 
(x

2

)’ = 2x 

(x

n

)’ = n*x

n-1 

(кор. x)’ = 1/(2кор.x) 
(1/x)’ = - 1/x

2 

(sinx)’ = cosx 
sinα-sinβ = 2sin((α-β)/2)*cos((α+β)/2) 
y’=lim (sin(x+∆x)-sinx)/∆x (∆x0) = lim (2sin(∆x/2)*cos((x+∆x)/2))/2*∆x/2 = cosx 
(cosx)’ = -sinx 
(tgx)’ = 1/cos

2

x 

по правиду дифференцирования (деление) 
(ctgx)’ = - 1/sin

2

x 

(log

a

x)’ = 1/(x*lna) 

y’ = lim (log

a

(x+∆x)-log

a

x)/∆x (∆x0) = lim (log

a

x+∆x/x)/∆x = lim loga (1+ ∆x/x)/x*∆x/x = 1/x lim loga (1+∆x/x)

x/∆x 

= 1/x ln

a

e = результат 

(lnx)’ = 1/x 
(e

x

)’ = e

x

(a

x

)’ = a

x

*lna 

y=a

x

 и x=log

a

y – взаимообр. y

x

’ = 1/x

y

’, т.е. (a

x

)’ = 1/(1/y*lna) = a

x

*lna 

(кор. х n-ой ст.)’ = 1/(n*кор х n-ой ст. из x

n-1

) 

(|x|)' = x/|x| 
(arcsinx)’ = 1/кор. из 1-x

2 

(arccosx)’ = -1/кор. из 1-x

2 

(arctg)’ = 1/(1+x

2

) 

(arcctg)’ = -1/(1+x

2

) 

(1/x

c

)’ = - c/x

c+1

Билет 19. Производные функций, заданных неявно и параметрически. Производные высших 
порядков. 
 

Неявно. Под неявным заданием функции понимают задание функции в виде уравнения F(x; y)=0 (1) 
неразрешённого относительно у. Производная неявно заданной функции находится путём дифференцирования 
по х обеих частей выражения 1. Затем y’ выражаем через у и х. 
Параметрически. Пусть зависимость между аргументом и функцией задана параметрически в виде 2 
уравнений в системе: 1) x=x(t); 2) y=y(t), где t – вспомогательная переменная, называемая параметром. Найдём 
производную y

x

’: t

x

’=1/x

t

’ (обратная функция). Функцию y=f(x) можно рассматривать как сложную функцию 

y=y(t), где t=φ(x). По правилу дифференцирования сложной функции имеем: y

x

’=y

t

’*t

x

’. В итоге получаем: 

y

x

’=y

t

’*1/x

t

’, т.е. y

x

’=y

t

’/x

t

’ 

Производные высших порядков. Производной 2го порядка называется производная от первой производной, 
если обе производные существуют. Производной n-ого порядка от функции y=f(x) называется производная от 
n-1 производной, если существуют все производные от 1го до n-го порядка включительно. y’’, y

n

Билет 20. Дифференциал. Его геометрический смысл. Инвариантность формы первого 
дифференциала. Применение дифференциала в приближенных вычислениях. 

 
Определение. Дифференциалом функции y=f(x) в точке х0 называется главная линейная часть приращения 
функции в точке х0 и обозначается dy = f ‘(x0)dx = f ‘(x0)∆x 
Инвариантность формы первого дифференциала. Пишем определение. Пусть x=U(t); dx=U’(t)dt. 
Рассмотрим сложную функцию y=f(U(t)) и возьмём производную dy/dt f

u

’U * U

t

’  dy = f ’(U)*U ’(t)dt =  

= f ‘(U)*dU 
Геометрический смысл. Дифференциал функции y=f(x) в точке х0 есть приращение ординаты касательной, 
проведённой к графику функции в точке M0(x0; y0), при приращении аргумента, равном ∆x. При ∆x0 имеем 
∆y≈dy, откуда получаем формулу приближённого вычисления значения функции в точке: 
f(x0+∆x) ≈ f(x0)+f ‘(x0) ∆x или f(x) ≈ f(0)+f ‘(0)x 
Примеры. 
 
 
 

 
Билет 21. Дифференцирование функций, заданных параметрически и неявно. 

 
Неявно. Под неявным заданием функции понимают задание функции в виде уравнения F(x; y)=0 (1) 
неразрешённого относительно у. Производная неявно заданной функции находится путём дифференцирования 
пох обеих частей выражение 1. Затем y’ выражаем через у и х. 
Параметрически. Пусть зависимость между аргументом и функцией задана параметрически в виде 2 
уравнений в системе: 1) x=x(t); 2) y=y(t), где t – вспомогательная переменная, называемая параметром. Найдём 
производную y

x

’: t

x

’=1/x

t

’ (обратная функция). Функцию y=f(x) можно рассматривать как сложную функцию 

y=y(t), где t=φ(x). По правилу дифференцирования сложной функции имеем: y

x

’=y

t

’*t

x

’. В итоге получаем: 

y

x

’=y

t

’*1/x

t

’, т.е. y

x

’=y

t

’/x

t

’