Файл: Билет математический анализ.pdf

Билет 31. Непосредственное интегрирование. Формула замены переменной. Метод   
интегрирования по частям.  
 

Непосредственное интегрирование. Используются свойства интеграла, а также преобразование 
подынтегральной функции с помощью алгебраических, тригонометрических формул. Цель интегрирования: 
получить ответ в виде функции! 
Метод замены переменной. Частным случаем этого метода является так называемое подведение под 
дифференциал. Из инвариантности 1го дифференциала dy=f ‘(x)dx=f ‘(U)dU следует: ∫f(x)dx=∫f(U)dU 

Метод интегрирования по частям. Пусть U(x), V(x) непрерывны и диф. на Х. Тогда, на Х: ∫UdV = UV-∫VdU 

Доказательство: 

d(U(x)*V(x)) = формула = U’(x)dx/dU(x) * V(x) + U(x) * V’(x)dx/V(x)  UdV=dUV-VdU 
Выбор U и dV. 

1)  ∫x

k

sinaxdx итд. За U(х) берём x

k

, а за dV sinax, e

ax

 итд 

2)  ∫x

k

lnxdx, ∫x

k

arcsinxdx. За U(x) берём трансцендентную функцию, а за dV x

k

3)  ∫e

ax

sinbxdx. За U(x) берём e

ax

, а за dV sinx/cosx ДВАЖДЫ! 

∫e

2x

sinxdx = (e

2x

(2sinx-cosx)/5)+C 

Билет 32. Рациональные дроби. Разложение рациональной дроби на простейшие дроби. 
Интегрирование простейших дробей. Интегрирование рациональных дробей. 

 
Многочлен – алгебраическое выражение вида a

0

+a

1

x+a

2

x

2

…a

n

x

n

Рациональная дробь. Обозначим P

m

(x) и Q

n

(x) многочленами степени m и n. Рациональная дробь R(x) – 

отношение двух этих многочленов: R(x) = P

m

(x)/Q

n

(x). Если дробь правильная, то m<n, если неправильная, то 

m>=n. Если дробь неправильная, то можно выделить целую часть делением числителя на знаменатель уголком. 
Разложение рациональной дроби на простейшие. Qn(x) = an*(x1-c1)

ν1

*(x2-c2)

ν2

*(xl-cl)

νl

*(x2+px+q

n

)

 νn 

(1) 

Правильную рациональную дробь можно разложить на сумму простейших дробей 4 типов: 
A/(x-a), A/(x-a)

k

, (Mx+N)/(x

2

+px+q), (Mx+N)/(x

2

+px+q)

k 

В разложении P

m

(x)/Q

n

(x) на элементарные дроби сомножителю (x-a)

k

 будет соответствовать сумма k дробей 

вида A1/(x-a) + A2/(x-a)

2

 + … + Ak/(x-a)

k 

(метод неопределённых коэффициентов) 

Интегрирование простейших дробей.  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Интегрирование рациональных дробей. Неопределённый интеграл от нерациональной дроби существует на 
любом промежутке, где её знаменатель не обращается в 0 и представляется в виде суммы рациональных 
функций, log, arctg итд. 
Схема интегрирования рациональных дробей.  

1)  Если дробь неправильная – выделить целую часть 
2)  Найти все корни знаменателя и его разложение на множители по формуле (1) 
3)  Разложить рациональную дробь на сумму простейших 
4)  Проинтегрировать каждую из простейших дробей согласно её типу, результаты просуммировать 

Билет 33. Интегрирование тригонометрических выражений.  
 

1) ∫R(sinx, cosx)dx 
Подстановка tg(x/2)=t, sinx = 2t/(1+t

2

), cosx = (1-t

2

)/(1+t

2

), dx = 2dt/(1+t

2

) 

2) ∫R(sinx, cosx)dx 
Подстановка tgx=t, sinx = t/(корень из 1+t

2

), cosx = 1/(корень из 1+t

2

), dx = dt/(1+t

2

) 

3)∫R(sinx)cosxdx 
Подстановка sinx=t, cosxdx = dt 
4)∫sin

2m

xcos

2n

xdx 

Подстановка cos

2

x = (1+cos2x)/2, sin

2

x = (1-cos2x)/2, sinxcosx = 1/2sin2x 

5)∫sin

m

xcos

n

xdx 

n=2k+1, (cos2x)

k 

, затем подстановка sinx = t 

6)∫sinαx sinβx = ½(cos(α-β)x – cos(α+β)x; 
 ∫cosαx cosβx = ½(cos(α-β)x + cos(α+β)x;  
∫ sinαx cosβx = ½(sin (α-β)x + cos(α+β)x 

Билет 34. Интегрирование иррациональых функций. 

1)  ∫R(x, (ax+b/cx+d)

r1/s1

)dx 

Интеграл берётся с помощью замены ax+b/cx+d = t

N

, где N – наименьший общий знаменатель дробей 

2)  ∫R(x, (корень из a

2

-x

2

)dx, a = sint 

3)  ∫R(x, (корень из a

2

+x

2

)dx, a = tgt 

4)  ∫R(x, (корень из x

2

-a

2

)dx, a = a/cost 

5)  Дифференциальный бином: x

m

(ax

n

+b)

p

dx 

1) p – целое 
2) m+1 – целое, подстановка ax

n

+b=t

s

, где p=r/s 

3) m+1/n+p – целое, подстановка ax

n

+b=t

s

x

n

, 

     6) Подстановки Эйлера R(x, (корень из ax

2

+bx+c) 

1) Если а>0, то корень из ax

2

+bx+c = t+-кор. из ах 

2) Если а<0, то корень из ax

2

+bx+c = xt+-кор. из c 

3) Если ax

2

+bx+c имеет различные действительные корни х1 и х2, то корень из ax

2

+bx+c = t(x-x1) 

Билет 35. Нахождение пути по скорости. Интеграл Римана.  Алгебраические свойства 
интеграла. Свойства, связанные с отрезками интегрирования. Интегральные неравенства и 
оценки, 1-я теорема о среднем. 

 
Определение пути по заданной скорости. S=Vt (равномерное прямолинейное движение). Рассмотрим 
движение материальной точки. ∆t – малый промежуток времени. V(t) ≈ V(t0).  
∆S=S(t0+ ∆t)-S(t0). Разобьём промежуток [t0; t] на n частей: [t0; t1] итд. и обозначим  
∆k = t

k

-t

k-1

. Тогда приближённый путь равен: S(t)-S(t0) = ∆S ≈ V(T1)(t1-t0) + V(T2)(t2-t1)  

и т.д., если max ∆k0, D и E∆S 
 
 
 
 
 
Определение. Пусть f(x) задана на [a; b] и пусть существует конечное I такое, что для для любого ε>0 найдётся 
δ>0 такая, что |I- δ |< ε при условии, что параметр разбиения с отмеченными точками λ (P; ξ)< δ . Тогда функция 
называется интегрированной по Римену на [a;b], число I называют пределом инт.  
Пределы интегрирования. 
 
Свойства.  

1)  Пусть f(x) интегрируема на [a; b]. Тогда c f(x) также интегрируемана [a; b]: ∫Cf(x)dx = C∫f(x)dx 
2)  Пусть f(x) и g(x) интегрируемы на [a; b]. Тогда f(x)+g(x) также интегр. на [a; b]:  
∫(f(x)+-g(x))dx = ∫f(x)dx +- ∫g(x)dx 
3)  ∫(С1f1(x)+C2f2(x)+c3f3(x))dx = C1∫f1(x) + C2∫f2(x) + C3∫f3(x) 
4)  ∫f(x)dx = -∫f(x)dx, пределы интегрирования меняем местами 
5)  ∫f(x)dx (a;b) = ∫f(x)dx (a; c) + ∫f(x)dx (c; b) – аддиктивность определённого интеграла 
6)  ∫|f(x)dx| <= ∫|f(x)|dx 
7)  Если f(x) <= g(x), и для всех х (- [a; b], f(x), g(x) – интегрируемы, то верно неравенство: ∫f(x)dx <= ∫g(x)dx 

– интегрирование неравенств 

8)  Пусть функция f(x) интегрируема на [a; b] и m <= f(x) <= M, x(-[a; b]. Тогда m(b-a) <= ∫f(x)dx <= M(b-a) – 

оценка интеграла 

Теорема о среднем. Если функция f(x) непрерывна на [a; b], то для всех ξ (- [a; b] верно неравенство:  
f(ξ) = ∫f(x)dx / (b-a) 

Билет 36. Геометрический смысл. Основные классы интегрируемых функций. 

 
Геометрический смысл. Для простоты возьмём f(x) > 0, непр. на [a; b]. Интеграл предста 
вляет собой площадь криволинейной трапеции, ограниченной линиями  
y = 0, x = a, x = b, y = f(x) 
 

Отрезок AB разобьём на n частичных отрезков (точками x1, x2 итд). В каждом отрезке берём произвольную 
точку ξ.  Сумма всех произведений f(ξ1)*∆x1 + итд. будет равна площади ступенчатой фигуры и приближённо 
равна S. С уменьшением всех величин х, точность полученной формулы увеличивается. 
Sabcd = ∫f(x)dx, если интеграл определён.  
 

Классы интегрируемых функций .  

1.Непрерывные функции. 

Теорема 1. Всякая непрерывная на отрезке [a,b] функция интегрируема на этом отрезке. 

2.Монотонные ограниченные функции и некоторые другие классы интегрируемых функций. 

Теорема 2. Любая монотонная ограниченная функция является интегрируемой функцией. 

Теорема 3. Любая ограниченная функция, имеющая конечное число разрывов интегрируема. 
 
 
 

Билет 37. Замена переменной и интегрирование по частям в определенном интеграле. 

 
Формула замены переменной. Пусть х = φ(t) непрерывна и диф. на T = {α; β}. Функция f(x) непрерывна на 
отрезке [a; b] = [x(α); x(β)]. Тогда ∫f(x)dx (a; b) = ∫f(φ(t))*φ’(t)dt (α; β) 
Интегрирование по частям. Пусть U(x) и V(x) непрерывны и диф. на отрезке [a; b]. Тогда имеет место 
формула: ∫UdV = UV|

a

b 

- ∫VdU 

Доказательство:

 такое же как в неопр. интеграле 

Билет 38. Интеграл с переменным верхним пределом. Формула Ньютона-Лейбница.  
 

Интеграл с переменным верхним пределом. Если функция f(x) непрерывна на [a; b], то для всех х (- [a; b] 
определена функция Ф(х) = ∫f(t)dt (a; x), которая называется интегралом с переменным верхним пределом. На 
интеграл с переменным верхним пределом распространяются все правила и свойства определённого интеграла. 
Теорема. Если f(x) непрерывна на [a; b], то Ф’(x) = (∫f(t)dt)’ (a; x) = f(x), для всех х (- [a; b] 
Формула Ньютона-Лейбница. Пусть f(x) непрерывна на [a; b], F(x) – какая либо первообразная для неё, тогда:  
∫f(x)dx = F(x)|

a

b

 = F(b) – F(a) 

Билет 39. Несобственные интегралы 1-го  и 2-го рода.  Сходящиеся и расходящиеся интегралы. 
Геометрический смысл. 

 
Определение. При введении понятия определённого интеграла предполагали следующие условия: а) отрезок 
интегрирования [a; b] является конечным; б) подынтегральная функция f(x) – ограничена на отрезке 
интегрирования. В этом случае интеграл называется собственным. Если хотя бы одно из указанных условий 
нарушается, то интеграл называется несобственным, т.е. ∫f(x)dx называется несобственным, если а=-∞ или 
b=+∞ (или невзаимоискл.) 
Сходимость / расходимость. Пусть f(x) определена и непрерывна на [a; b] (b>a). Обозначим I(b) = ∫f(x)dx, 
фиксируя нижний предел а. Функцию I(b) рассмотрим как интеграл с переменным верхним пределом. 

1)  ∫f(x)dx (a; +∞) = lim ∫f(x)dx (a;b) (b+∞) – несобственный интеграл 1 рода на [a; +∞). Если предел в 

правой части существует и конечен, тогда несобственный интеграл сходится. В противном случае 
расходится. 

2)  ∫f(x)dx (-∞; b) = lim ∫f(x)dx (a;b) (a-∞) 
3)  ∫f(x)dx (-∞; ∞) = ∫f(x)dx (-∞; c) + ∫f(x)dx (c; +∞) = пределы 

Геометрический смысл. Пусть f(x)>0. Несобственный интеграл определяет площадь под кривой в соотв. 
пред., в данном случае [a; + ∞)  
Несобственный интеграл 2го рода. Пусть функция f(x) задана на [a; b), не ограничена при  
xb и для любого ε>0 найдётся ∫f(x)dx (a; b-ε). Несобственным интегралом 2го рода от функции 
f(x) называется lim ∫f(x)dx (a; b-ε) (ε0+) = ∫f(x)dx (a; b) 
Геометрический смысл: также только площадь под графиком. 
 
 
 

Билет 40. Свойства несобственных интегралов. Признаки сходимости. Эталонные ряды. 
 

Свойства. 1) Если сходится несобственный интеграл ∫f(x)dx (a; ∞), то найдётся такая b>a, что несобственный 
интеграл будет сходится и ∫f(x)dx (a; ∞) = ∫f(x)dx (b; a) + ∫f(x)dx (b; ∞) 
2)Если сходятся интегралы ∫f(x)dx (a; ∞) и ∫g(x)dx (a; ∞), то сходятся и интегралы ∫(αf(x)+-βg(x))dx (a; ∞), где    α 
и β=const и <M. 
Признаки сходимости.  

1)  Признак сравнения. Пусть даны два несобственных интеграла ∫f(x)dx (a; ∞) и ∫g(x)dx (a; ∞), 

подынтегральные функции которых удовлетворяют неравенству: 0 <= f(x) <=g(x), для всех a <= x <∞. 
Тогда из сходимости второго интеграла следует сходимость первого, а из расходимости первого – 
расходимость второго. 

Доказательство: 

Для всех b (- (a; +∞) интеграл ∫f(x)dx (a; b) <= ∫g(x)dx (a; b). а) Перейдём к пределу при b∞. По теореме о 
предельных переходах в неравенстве существует предел: lim ∫f(x)dx (a; b) (b∞). Существование этого предела 
эквивалентно существованию интеграла. б) Аналогично из расходимости 1го интеграла вытекает 
несуществование пределов ∫f(x)dx (a; b) (b∞) и ∫g(x)dx (a; b) (b∞) 

2)  Предельный признак сравнения (эквивалентности?). Пусть существует lim f(x)/g(x) (x+∞) = A < +∞. 

Тогда интегралы f(x) и g(x) сходятся или расходятся одновременно. 

3)  Признак Дирихле (условной сходимости). Если 1) Функции f(x) и g(x) определены в a <= x <= ∞; 2) f(x) 

– интегрируема в [a; A] и F(A) – ограниченная функция; 3) g(x) не возрастает и её предел при х∞ равен 
нулю, то ∫f(x)g(x)dx (a; ∞) сходится 

Эталонным называется интеграл, который сходится на одном промежутке, а расходится на другом.