Файл: Билет математический анализ.pdf

Билет 22. Теоремы Ферма, Роля, Лагранжа и Коши. Геометрический смысл.  
 

Точка х0 называется точкой локального минимума (максимума) ф. y=f(x), если для всех х из некоторой 
окрестности точки х0 выполняется неравенство: f(x)>=f(x0) (f(x)<=f(x0)). Максимум и минимум называются 
экстремумами функции. 
Теорема Ферма. Пусть y=f(x) непрерывна на [a;b] и диф. на (a;b) и пусть точка х0 из (a; b) – точка локального 
максимума функции f(x). Тогда f ’(x0) = 0. 
Геометрический смысл: 
В точках локального экстремума касательная к графику функции параллельна оси Ох. 
Теорема Роля. Пусть функция y=f(x) непрерывна на отрезке АВ и диф. во всех внутренних 
точках (a; b) и f(a)=f(b). Тогда найдётся хотя бы 1 точка из этого интервала, что f ’(x0)=0. 

Доказательство: 

По свойству функции непрерывной на отрезке найдутся точки х1 и х2 такие, что m=f(x1)<=f(x)<=f(x2)=M для 
всех х из этого отрезка. Пусть обе точки попадают на концы отрезка x (- [a; b]. x1=a, x2=b  f(a)=f(b)=f(x). 
Тогда m=M и f(x)=m=M=const для любого х (- [a; b]. Пусть хотя бы 1 из точек x1, x2 попадает внутрь отрезка. 
Тогда по теореме Фирма производная в этой точке равна 0. 
Теорема Коши.  
Пусть y=f(x) непрерывна на [a; b] и диф. на (a; b). Аналогично, y=g(x) также непрерывна на [a; b] и диф. на      
(a; b), но g’(x) ≠ 0 для любого х. Тогда имеет место следующее утверждение: найдётся точка ξ (- (a;b) такая, что 
(f ‘(b) – f ‘(a))/(f(b) - f(a)) = f ‘(ξ)/g’(ξ) 
Теорема Лагранжа. Пусть f(x) непрерывна на [a; b] и диф. на (a; b). Тогда найдётся точка ξ (- (a;b) такая, что 
f(b) – f(a) = f(ξ)(b-a) 

Доказательство: 

Возьмём g(x) = x. По теореме Коши найдётся ξ (- (a;b) такая, что (f(b)-f(a)) / (b-a) = f ‘(ξ) 
Геометрический смысл:  

Билет 23. Раскрытие неопределенностей по правилу Лопиталя. 
 

Определение. Пусть функции f(x) и g(x) диф. в некоторой окрестности точки b. Одновременно являются б.м. 
или б.б. в т. b и пусть существует lim f ‘(x)/g’(x) (xb). Тогда существует lim f(x)/g(x) (xb) = lim f ‘(x)/g’(x). 

Доказательство: 

Применим к функциям f(x) и g(x) теорему Коши для отрезка [x0; x], лежащего в окрестности точки х0. Тогда 
f(x)-f(x0)/g(x)-g(x0) = f ‘(c)/g’(c). Учитывая что f(x0) и g(x0) = 0 получаем формулу. И при x x0 величина х в 
пределе также стремится к х0. 
Замечания: 

1)  Формула верна только справа налево 
2)  lim f(x)/g(x) ≠ lim (f(x)/g(x))’ 
3)  Предел отношения функции может существовать, даже если не существует предела отношения 

производных 

4)  Правило Лопиталя применяется для раскрытия неопределённостей вида 0/0, беск/беск итд. 

Билет 24. Монотонность функции на промежутке. Достаточное условие монотонности. 
Локальный экстремум. Необходимое условие экстремума. 1-е и 2-е достаточные условия 
экстремума. Исследование функции на монотонность и экстремум. 
 

Определение. Функция монотонна на промежутке Х, если она возрастает (убывает) на всём промежутке. 
Достаточное условие монотонности. Пусть для всех х (- Х f ‘(x)>0 (f’(x)<0). Тогда на Х функция возрастает 
(убывает) 

Доказательство: 

x1, x2 (- X, x1<x2. Тогда по теореме Лагранжа найдётся ξ (- (x1; x2) такая, что f(x2)-f(x1) = f ‘(ξ)(x2-x1). x2>x1 
 f(x2)>f(x1) 
Локальные экстремумы. Точка х0 называется точкой максимума функции y=f(x), если существует такая        
δ-окрестность точки х0, что для всех х ≠ х0 из этой окрестности выполняется неравенство: f(x)<f(x0). 
Максимум и минимум – точки экстремума. Функция может иметь экстремум лишь во внутр. точках. 
Необходимое условие экстремума. Пусть функция y=f(x) диф. на Х и имеет во внутренней точке этого 
промежутка локальный максимум. Тогда f ‘(x0) = 0. 

Доказательство:

 по теореме Фирма. 

1ое достаточное условие экстремума. Пусть х0 – критическая точка функции f(x) и пусть f(x) диф. в 
некоторой проколотой окрестности Uε точки х0. Пусть далее в этой окрестности f ‘(x) больше 0 при х<x0 и        
f ‘(x)<0 при х>x0. Тогда х0 – точка локального максимума. 
2ое достаточное условие экстремума. Пусть функция f(x) дважды непрерывна, диф. в некоторой окрестности 
стационарной т. х0, т.е. f ’(x0) = 0. Тогда если f ‘’(x0)>0, x0 – точка локального минимума, а если <0 – 
максимума. 
Исследование функции на монотонность и экстремум.  

1)  Найти производную f ‘(x) и крит. точки 
2)  Найти знак производной на всех интервалах D(y), разбив крит. точки и соответствующие промежутки 

монотонности 

3)  Найти точки экстремума и значение ф. в этих точках 

Билет 25. Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке: схема нахождения и 
пример. 
 

Теорема. Пусть функция y=f(x) непрерывна на отрезке [A; B] и диф. на (a; b). Тогда наиб. и наим. значения 
функции f(x) на [a; b] могут достигаться только в точках локального экстремума или на концах отрезка 
Схема нахождения. 

1)  Находим крит. точки, стационарные точки. 
2)  Находим значения функции в этих точках и на концах отрезка 
3)  Выбираем наиб. и наим. значения 

Билет 26. Выпуклость, вогнутость функции – геометрическое и аналитическое определения. 
Точка перегиба. Необходимое и достаточное условия выпуклости (вогнутости) функции. 
Достаточное условие перегиба. 
 

Кривая называется выпуклой (вогнутой) на (a; b), если для всех точек этого интервала касательная лежит выше 
(ниже) точек кривой за исключением точки касания. 
Геометрическое определение. Функция называется выпуклой (вогнутой) на (a; b), если на этом интервале её 
график является выпуклой (вогнутой) кривой. 
Аналитическое определение. Функция y=f(x) называется выпуклой (вогнутой) на (a; b), если для любых х1, х2 
из этого интервала (х1<x2) выполняется неравенство: f((x1+x2)/2) > (f(x1)+f(x2))/2 (для вогнутой первое 
выражение с – и <) 
Достаточное условие выпуклости. Пусть y=f(x) дважды непрерывна и диф. на (a; b) и f ‘’(x)>0 (f ‘’(x)<0) для 
любого х из этого интервала. Тогда f(x) вогнута (выпукла) на (a; b) 
Перегиб. Точка х0 называется точкой перегиба функции или графика функции y=f(x), если в этой точке график 
меняет своё направление выпуклости. 
Достаточное условие перегиба. Пусть f(x) определена в некоторой окрестности точки х0 и дважды 
непрерывна и диф. в проколотой окрестности этой точки. Пусть в т. f ‘’(x) меняет свой знак. Тогда х0 – точка 
перегиба f(x). 

Доказательство: 

Пусть f ‘’(x)<0 слева и f ‘’(x)>0 справа от т. х0. Тогда функция выпукла слева и вогнута справа от т. х0. Тогда 
х0 – точка перегиба по определению. 
Схема исследования функции на выпуклость и перегиб.  

1)  Находим все точки, подозримые на перегиб, т.е. в которых f ‘’(x) = 0 или не существует 
2)  Находим знаки второй производной f ‘’(x) на всех интервалах, на которые область определения 

разбивается точками, подозримыми на перегиб 

3)  Находим направление выпуклости на этих интерваоах и значения функции в этих точках 

Билет 27. Асимптота. Вертикальная, горизонтальная и наклонная асимптоты.  
 

Асимптота. Пусть существует такая прямая, что расстояние до неё от точки М (x; f(x)) графика функции y=f(x) 
стремится к нулю при удалении точки М в бесконечность. Тогда прямая называется асимптотой графика 
функции 
Вертикальная. Прямая x=x0 называется вертикальной асимптотой, если хотя бы один из пределов lim f(x) 
(xx0-) или lim f(x) (x0+) равен бесконечности. 
Горизонтальная. Пусть существует lim f(x) = b (x+∞) < ∞ (lim f(x) = b (x-∞) < ∞). Тогда прямая y=b 
называется право (лево) сторонней горизонтальной асимптотой.  
Наклонная. Если f(x)  ∞ при х +∞ (-∞), то может существовать наклонная асимптота. 
Теорема. Если lim f(x)/x (x+∞, x-∞) = k – const<∞ и lim f(x)-kx (x+∞, x-∞) = b –const, то y=kx+b 
является правосторонней асимптотой (лево-) 
 
 
 

Билет 28. Схема исследования функции и построения ее графика. 
 

1)  Область определения 
2)  Чётность, периодичность. Точки пересечения с осями 
3)  Нахождение точек из области определения, в которых f ‘(x)=0 или не существует 
4)  Нахождение точек из области определения, в которых f ‘’(x)=0 или не существует 
5)  Нахождение экстремумов, перегибов, интервалов возраст

ания и убывания, выпуклости, вогнутости

. 

Таблица! 

6)  Асимптоты 
7)  Построение графика  

Билет 29. Понятие первообразной и неопределенного интеграла. Достаточное условие 
интегрируемости. Свойства неопределенного интеграла. 
 

Первообразная. Функция F(x) называется первообразной функции f(x), заданной на некотором множестве X, 
если F’(x)=f(x) для всех х (- X. 
Неопределённый интеграл. Если Ф(x) и F(x) – две первообразные для одной и той же функции f(x), то 
Ф(х)=F(x)+C, где С-произвольная постоянная. Совокупность всех первообразных функции f(x), выражаемая 
формулой F(x)+C, называется неопределённым интегралом от функции f(x) и обозначается ∫f(x)dx=F(x)+c 
Геометрический смысл. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Теорема 1. Пусть F(x) – первообразная ф. f(x). Тогда любая другая первообразная имеет вид Ф(х)=F(x)+C 

Доказательство: 

1)  Функция Ф(х)=F(x)+C также является первообразной для f(x), т.к. Ф’(x) = (F(x)+C)’=F’(x)=f(x) 
2)  Пусть F1(x) и F2(x) – первообразные функции f(x). Тогда (F1(x)-F2(x))’=F1’(x)-F2’(x)=0. F1(x)-F2(x)=C 

Свойства неопределённого интеграла: 

1)  (∫f(x)dx)’ = f(x) 

Доказательство: 

(∫f(x)dx)’=(F(x)+C)’=f(x) 

2)  d(∫f(x)dx) = f(x)dx 

Доказательство: 

d(∫f(x)dx) = (∫f(x)dx)’*dx = f(x)dx 

3)  ∫C + f(x)dx = C*∫f(x)dx 

Доказательство: 

Продифференцируем обе части: 
(∫C*f(x)dx)’ = C*f(x) 
(C*∫f(x)dx)’ = C*f(x)dx 

4)  ∫(f(x)+-g(x))dx = ∫f(x)dx +- ∫g(x)dx 
5)  ∫df(x) = f(x) +C 

Билет 30. Таблица неопределенных интегралов.