Файл: Билет математический анализ.pdf

Билет 41. Нахождение площади плоской фигуры. 
 

1)  В прямоугольных координатах. 

Если непрерывная кривая задана в прямоугольных координатах уравнением y = f(x) (f(x) >= 0), то площадь 
криволинейной трапеции, ограниченной этой кривой двумя вертикальными прямым x=a, x=b, осью абцисс, 
определяется формулой S = ∫f(x)dx 

2)  В полярных координатах 

Если непрерывная кривая задана в полярных координатах уравнением ρ=ρ(φ), то площадь сектора AOB, 
ограниченная дугой кривой и двумя полярными радиусами OA и OB, выразится интегралом S = ½ ∫(ρ(φ))

2

dφ 

3)  В параметрической форме. 

S = ∫ψ(t)*φ’(t)dt, где x = φ(t), y = ψ(t) 
 
 
 
 

Билет 42. Нахождение объема тела вращения. 
 

a) Объём тела, образованного вращением вокруг оси Ох криволинейной трапеции, ограниченной кривой, 
заданной уравнением y = y(x), где y(x) - непрерывная однозначная функция на [a; b], осью Ох и прямыми x=a и 
x=b вычисляется по одной из формул: V

x

 = П∫f 

2

(x)dx (a; b) или  

V

x

 = П ∫f 

2

(x)*x’(y)dy (c; d) 

 
б) Объём тела, образованного вращением вокруг оси Оy криволинейной трапеции,  
ограниченной кривой, заданной уравнением x = x(y), где x(y) - непрерывная  
однозначная функция на [с; d], осью Оy и прямыми y=c и y=d вычисляется по  
одной из формул: V

y

 = П∫f 

2

(y)dy (c; d) или V

y

 = П ∫x

2

*y’(x)dx 

Билет 43. Длина дуги кривой. 
 

a)В прямоугольных координатах. 
Пусть на [a; b] y=f(x) диффер.  непрерывна. Тогда существует предел: l =  ∫корень из 1+(y’)

2

dx 

б) В параметрической форме. 
Пусть дуга задана параметрическими уравнениями x=x(t), y=y(t), x <= t <= β, то длина дуги кривой равна:  
l = ∫кор. x’

2

(t)+y’

2

(t)dt, (t1; t2) – значения параметра, соответствующие концам дуги 

в) В полярной системе 
Если кривая задана в полярных координатах уравнением ρ=ρ(φ), φ (- [α; β], то длина дуги кривой  
l = ∫корень из ρ

2(

φ)+ ρ’

2

(φ)dφ (α; β) – значения полярного угла в крайних точках дуги.