Файл: metod_Lin-Algebra_zo.pdf

Последняя система равносильна одному уравнению x1 + x2 = 0. Так как уравнение всего одно, а неизвестных две, значения одной из них можно выбрать

произвольно. Полагая x2 = C, находим x1 = −C. Таким образом, все векторы (−C, C), ãäå C 6= 0 произвольная постоянная, являются собственными

векторами матрицы A.

Теперь найдем собственные векторы

X = x1 x2

матрицы A, соответствующие собственному значению λ = −2. Уравнение (52) будет иметь следующий вид:

Последняя система равносильна одному уравнению −x1 + 8x2 = 0. Полагая x2 = C, находим x1 = 8C. Таким образом, все векторы (8C, C), ãäå C произвольная постоянная, являются собственными векторами матрицы A.

ОТВЕТ: λ1 = −11, λ2 = −2 собственные значения, а векторы (−C, C), (8C, C) (C произвольная постоянная) собственные векторы матрицы A.

6. Материалы для подготовки к экзамену

6.1.Список экзаменационных вопросов.

1.Система координат на плоскости. Формула для нахождения расстояния между двумя точками на плоскости. Формула для нахождения координат середины отрезка.

2.Уравнение линии на плоскости. Вывод уравнения окружности.

3.Уравнение прямой: различные формы (уравнение прямой, проходящей через две заданные точки; общее уравнение прямой; уравнение с угловым коэффициентом; уравнение пучка прямых).

4.Уравнение прямой с угловым коэффициентом ( y = kx + b), геометрический смысл его параметров k è b. Рассмотреть частные случаи

(k > 0; k < 0; k = 0; b = 0; k = 1 è b = 0; k = −1 è b = 0) расположения на плоскости прямой y = kx + b.

5.Тангенс угла между двумя прямыми на плоскости. Условия параллельности и перпендикулярности прямых.

6.Понятие матрицы. Основные виды матриц.

7.Действия над матрицами: умножение матриц на число, сложение и вы- читание матриц, умножение матриц, возведение квадратной матрицы в степень, транспонирование матриц.

8.Системы линейных уравнений, формы их записи.

67

9.Определители 2-îãî, 3-åãî è n-ого порядков квадратных матриц. Свойства определителей.

10.Метод Крамера решения систем линейных уравнений. Пример.

11.Обратная матрица, ее нахождение.

12.Метод обратной матрицы решения систем линейных уравнений.

13.Ранг матрицы. Определение. Элементарные преобразования над строками матрицы. Ранг ступенчатой матрицы. Нахождение ранга произвольной матрицы приведением к ступенчатому виду с помощью элементарных преобразований.

14.Элементарные преобразования над уравнениями системы линейных уравнений. Метод Гаусса решения систем линейных уравнений (на примере).

15.Линейные неравенства. Нахождение области на плоскости, определяемой системой линейных неравенств с двумя переменными.

16.Векторы на плоскости и в пространстве (геометрическая точка зрения). Длина (модуль) вектора; равные векторы; нулевой, единичный векторы; коллинеарные векторы; противоположные векторы. Линейные операции над векторами (умножение вектора на число, сложение и вычитание векторов).

17.Векторы на плоскости и в пространстве (алгебраическая точка зрения). Координаты вектора. Координаты равных векторов. Нахождение длины вектора через его координаты. Координаты нулевого вектора. Условие коллинеарности векторов. Линейные операции над векторами в координатной форме.

18.n-мерные векторы. Векторное пространство.

19.Линейная зависимость векторов. Размерность и базис векторного пространства.

20.Собственные значения и собственные векторы матрицы.

21.Пример использования понятий линейной алгебры в экономических моделях. Линейная модель обмена.

6.2.Примерные темы практических задач для экзамена.

1.Нахождение расстояния между точками на плоскости. Нахождение координат середины отрезка.

2.Составление уравнения прямой: с заданным угловым коэффициентом, проходящей через заданную точку; проходящей через две заданные точ- ки; проходящей параллельно заданной прямой; проходящей перпендикулярно заданной прямой. Составление общего уравнения прямой. Нахождение углового коэффициента прямой.

3.Построение прямой с заданным уравнением на координатной плоскости.

4.Нахождение угла между прямыми. Проверка того, являются ли прямые параллельными или перпендикулярными.

5.Нахождение точек пересечения прямых на плоскости.

6.Составление уравнения окружности.

7.Нахождение области на плоскости, определяемой системой линейных неравенств с двумя переменными.

8.Выполнение действий с матрицами.

9.Вычисление определителей.

10.Нахождение ранга матрицы.

68

11.Нахождение матрицы, обратной к данной.

12.Решение систем линейных уравнений различными методами (Крамера, Гаусса, с помощью обратной матрицы).

13.Действия с векторами (без координат и в координатной форме).

14.Разложение векторов по базису.

15.Нахождение собственных значений и векторов матрицы.

6.3. Пример экзаменационного билета.

Министерство сельского хозяйства Российской Федерации

ФГБОУ ВПО Вологодская государственная молочнохозяйственная академия им. Н. В. Верещагина

Кафедра высшей математики и физики

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Экзаменационный билет

1.Ранг матрицы. Определение. Элементарные преобразования над строками матрицы. Ранг ступенчатой матрицы. Нахождение ранга произвольной матрицы приведением к ступенчатому виду с помощью элементарных преобразований.

2.Построить множество точек на плоскости Oxy, координаты которых удо-

влетворяют системе неравенств

x > 0,

y > 0,

3x + 4y − 12 6 0.

3. Решить систему линейных уравнений методом Гаусса.

−−

5.Доказать, что векторы a= (6, 1, −2) и b= (−12, −2, 4) являются коллинеарными.

7. Справочный материал

7.1. Нахождение корней квадратного уравнения.

Дискриминант D квадратного уравнения ax2 + bx + c = 0 находится по формуле D = b2 − 4ac, а корни x1 è x2 по формуле

69