Файл: metod_Lin-Algebra_zo.pdf

Матрицы обозначаются: A, B, C. Иногда дополнительно указывается раз-

A , B и т.д. В общем виде матрица записывается

m×n m×n

, ãäå

или, сокращ¼нно A = aij i = 1, . . . , m номер строки, j = 1, . . . , n

номер столбца, aij элемент, стоящий на пересечении i-ой строки и j-ого столбца.

Пример 3. Матрица

имеет размер 3×2. Укажем несколько е¼ элементов: a21 = −1, a32 = 4, a11 = 3.

Определение 4. Две матрицы называются равными, если они одинакового размера и все их соответствующие элементы совпадают.

Определение 5. Матрица называется квадратной n-ого порядка, если число е¼ строк равно числу столбцов и равно n.

является квадратной матрицей второго порядка.

Определение 7. Элементы матрицы aij, у которых i = j, называются диагональными и они образуют главную диагональ матрицы.

Пример 8. В матрице A из примера 3 главную диагональ образуют элементы a11 = 3 è a22 = 0.

Определение 9. Квадратная матрица, у которой все недиагональные элементы равны нулю, называется диагональной.

является диагональной.

Определение 11. Диагональная матрица n-ого порядка называется единичной матрицей n-ого порядка и обозначается E, если все е¼ диагональные элементы равны единице.

10

Определение 13. Матрица любого размера называется нулевой, если все е¼ элементы равны нулю.

Определение 14. Матрица размера m×1 называется матрицей-столбцом.

Определение 15. Матрица размера 1 × n называется матрицей-строкой.

1.2.2. Действия над матрицами.

Определение 17. Произведением числа λ на матрицу A размера m × n

называется матрица B = λ · A, размера m × n, элементы которой bij = λ · aij,

Определение 19. Суммой (разностью) двух матриц A и B одного размера m Ч n называется матрица C = A ± B того же размера, элементы которой

Произведение двух матриц A и B определено тогда и только тогда, когда число столбцов первого множителя A равно числу строк второго множителя

B.

Определение 21. Произведением двух матриц A è B называется мат-

m×k k×n

ðèöà C = A · B, элемент которой cij равен сумме произведений элементов i-

m×n

ой строки матрицы A на соответствующие элементы j-ого столбца матрицы B, i = 1 . . . m, j = 1 . . . n.

Пример 22. Матрицу

невозможно умножить на матрицу

5 6 B = 4 0 ,

11

так как число столбцов матрицы A равно 3 и не совпадает с числом строк матрицы B.

так как число столбцов матрицы A равно 2 и совпадает с числом строк матрицы B. Произведение A · B имеет размеры 3 × 3. Число строк произведения равно числу строк первого множителя A, число столбцов произведения равно числу столбцов второго множителя B. Найд¼м произведение

Пример 24. Матрицу

1 4 A = 3 5

можно умножить на матрицу

так как число столбцов матрицы A равно 2 и совпадает с числом строк матрицы B. Произведение A · B имеет размеры 2 Ч 4. Число строк произведения равно числу строк первого множителя A, число столбцов произведения равно числу столбцов второго множителя B. Найд¼м произведение

Произведения AB и BA не обязаны совпадать, даже если они оба определены и имеют один размер.

Замечание 26. Единичная матрица E обладает тем свойством, что если имеет смысл выражение EX (XE), то

EX = X (соответственно, XE = X).

12

Определение 27. Степенью Am (m = 2, 3, 4, . . .) квадратной матрицы A называется произведение m матриц, равных A:

Am = A · A · . . . · A .

| {z } m экземпляров

Матрица Am является квадратной матрицей того же порядка, что и матрица

.

Пример 28. Пусть

Определение 29. Матрица A0 называется транспонированной к матрице A, если е¼ строки совпадают со столбцами матрицы A, а столбцы совпадают со строками матрицы A.

Если матрица A имеет размер m Ч n, то транспонированная матрица A0 имеет размер n Ч m.

Пример 30. Транспонируем матрицу

27

A = 0 −1 .

3×2 3 4

Поменяем строки и столбцы матрицы A местами и получим транспонированную матрицу

1.3. Лекция 3.

1.3.1. Определители квадратных матриц.

Каждой квадратной матрице A можно поставить в соответствие определенное число, называемое определителем (детерминантом) этой матрицы и обо-

значающееся символом = A . Понятие определителя является одним из

ключевых понятий линейной алгебры. Выясним, по какому закону квадратной матрице ставится в соответствие ее определитель. Сначала рассмотрим квадратные матрицы малых порядков: первого, второго и третьего.

ется число = a11 = a11.

Определение 32. Определителем второго порядка матрицы

a11 a12 a21 a22

называется число

13

Пример 33.

Определение 34. Определителем третьего порядка матрицы

a11 a12 a13

a21 a22 a23 a31 a32 a33

называется число

Пример 35. Вычислим определитель

3 −1 2

−2 7 4

. По формулам (8) è (7) находим:

= 3 · (7 · 5 − 4 · 0) + (−2 · 5 − 4 · 1) + 2 · (−2 · 0 − 7 · 1) = 105 − 14 − 14 = 77.

Перейдем к общему случаю. Пусть A квадратная матрица n-ого порядка.

квадратной матрицы A n- ого порядка называется определитель матрицы (n−1)-ого порядка, полученной из матрицы A вычеркиванием i-ой строки и j-ого столбца.

Пример 37. Минором элемента a23 матрицы

−Mij, åñëè i + j нечетно.

14