Файл: metod_Lin-Algebra_zo.pdf

Пример 39. A12 = (−1)1+2M12 = −M12; A31 = (−1)3+1M31 = M31.

Определение 40. Определитель (детерминант) произвольной квадратной матрицы есть сумма произведений элементов любой строки (столбца) на их алгебраические дополнения:

1.3.2. Свойства определителей.

1. Определитель матрицы не изменится, если матрицу транспонировать.

2.При умножении строки (или столбца) определителя на число c определитель увеличится в c ðàç.

3. При перестановке двух строк (столбцов) определитель изменит знак.

4.Если определитель содержит нулевую строку (столбец), то он равен нулю.

5.Если определитель содержит две равные строки (столбца) или пропорциональные строки (столбцы), то он равен нулю.

так как первый и второй столбец определителя пропорциональны.

6.Определитель не изменится, если в н¼м к элементам одной строки (столбца) прибавить соответствующие элементы другой строки (столбца).

15

так как последний определитель получен из первого прибавлением к третьей строке второй.

7.Определитель матрицы, все элементы над (под) главной диагональю которой равны нулю, равен произведению диагональных элементов:

В частности, определитель диагональной матрицы равен произведению диагональных элементов:

1.3.3. Ранг матрицы и его вычисление.

Понятие ранга матрицы играет важную роль при решении ряда математи- ческих и прикладных (в том числе экономических) задач.

Определение 49. Подматрицей матрицы A называется матрица, полученная из матрицы A вычеркиванием некоторых строк и/или столбцов.

Определение 50. Минорами k-ого порядка матрицы A называются определители ее квадратных подматриц k-ого порядка.

Например, у матрицы A размера 3 Ч 5 существуют миноры первого, второго и третьего порядков. У матрицы A размера mЧn существуют миноры порядка k 6 min{m, n}.

Определение 51. Рангом матрицы A называется наивысший порядок отличных от нуля миноров этой матрицы. Обозначение: r(A).

16

Ранг матрицы обладает следующими свойствами:

1)Åñëè m × n размер матрицы A, òî r(A) 6 min{m, n}.

2)Åñëè A квадратная матрица n-ого порядка, то r(A) = n тогда и только тогда, когда |A| 6= 0.

3)r(A) = 0 тогда и только тогда матрица A нулевая, то есть все ее элементы равны нулю.

Пример 52. Пользуясь определением 51, вычислим ранг матрицы

Матрица A имеет размер 4 Ч 4, поэтому r(A) 6 4. Но |A| = 0, так как матрица A содержит нулевой столбец, значит, r(A) 6 3. При этом матрица A содержит ненулевой минор 3-его порядка

поэтому r(A) = 3.

Но в большинстве случаев вычисление ранга матрицы перебором миноров трудоемко. Более удобно вычислять ранг матрицы, проводя над ней следующие

элементарные преобразования :

1)изменение порядка строк (столбцов) матрицы;

2)вычеркивание нулевой строки (столбца) матрицы;

3)умножение всех элементов строк (столбцов) матрицы на ненулевое число;

4)прибавление к элементами строки (столбца) матрицы соответствующих элементов другой строки (столбца);

5)транспонирование матрицы.

Теорема 53. Ранг матрицы не меняется при элементарных преобразованиях.

С помощью элементарных преобразований матрица приводится к ступенча- тому виду.

Определение 54. Cтупенчатой матрицей называется матрица A âèäà

17

Ступенчатая матрица содержит ненулевой минор r-о порядка:

a11 a12 · · · a1r

òàê êàê âñå aii 6= 0 (i = 1, 2, . . . , r), поэтому справедлива

Теорема 55. Ранг ступенчатой матрицы равен r числу ее строк.

Пример 56. Вычислим ранг матрицы

Выполним необходимые элементарные преобразования. Если это возможно,

удобно переставить строки и/или столбцы так, чтобы a11 = ±1. Поменяем местами первую и вторую строки:

Обнулим все элементы первого столбца, кроме первого элемента. Для этого последовательно умножим первую строку на (−3), (−4) и 7 и прибавим ко второй, третьей и четвертой строке, соответственно:

Обнулим все элементы второго столбца, кроме первых двух элементов. Для этого последовательно умножим вторую строку на (−1) и 3, затем прибавим к третьей и четвертой строке, соответственно:

Вычеркнем нулевые строки (третью и четвертую):

Полученная матрица является ступенчатой. Число ее строк равняется рангу исходной матрицы: r(A) = 2.

18

ãäå xj (j = 1, 2, . . . , n) неизвестные, а aij, bi (i = 1, 2, . . . , m, j = 1, 2, . . . , n) произвольные числа.

Определение 58. Решением системы (9) называется совокупность n чисел (x1 = k1, x2 = k2, ... ,xn = kn), при подстановке которых каждое уравнение системы обращается в верное равенство.

Определение 59. Две системы уравнений называются равносильными (эквивалентными ), если они имеют одно и то же множество решений.

Определение 60. Система (9) называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если она не имеет решений.

Определение 61. Система (9) называется определенной, если она имеет единственное решение, и неопределенной, если она имеет более одного решения.

Таким образом, имеет место следующая схема:

Ðèñ. 11.

С системой (9) можно связать три матрицы:

19