Файл: 753.pdf

можно считать точечным, и определить напряженность поля как векторную сумму полей, создаваемых каждой частью тела.

Во многих случаях распределение заряда можно считать непрерывным. Это означает, что распределенные заряды можно представить в виде набора бесконечно малых элементов dq, каждый из которых создает на расстоянии r электрическое поле на-

пряженностью dE = 4πε1 0 dqr2 . Значение напряженности электриче-

ского поля в любой точке можно получить, просуммировав вкла-

смотрим поле кольца, по которому равномерно распределен заряд Q (рис.1.9). Напряженность поля, созданного элементом кольца dl

dEx вдоль оси х и dEу - в перпендикулярном направлении. Интегрируя по всему кольцу, заметим, что каждому элементу dl кольца соответствует диаметрально противоположный элемент равной длины такой, что перпендикулярные компоненты напряженности электрического поля этих двух элементов взаимно компенсируются. Это справедливо для всех элементов кольца, так что в итоге векторЕr направлен вдоль оси х и нам остается проинтегрировать только компоненты dEx. Тогда полная напряженность электрического поля равна

15

На больших расстояниях (х>>а) полученное выражение сводится к Е=Q/4πε0x2. Этого следовало ожидать, так как на больших расстояниях кольцоподобноточечному заряду.

Вопросы

1.Какое поле называется электростатическим?

2.Почему при определении напряженности электрического поля используется малый пробный заряд?

3.При определении напряженности электрического поля обязательно ли пользоваться положительным пробным зарядом или можно воспользоваться отрицательным зарядом? Объясните ответ.

4.Объясните, почему дляэлектрического полясправедлив принципсуперпозиции.

5.Как определить напряженность поля, создаваемого многими точечнымизарядами?

6.Как поступают при определении напряженности поля заряженных тел, размеры которых не являются малыми?

7.Каковы величина и направление поля в точке А, если по кольцу(рис. 1.9) равномернораспределенотрицательныйзарядQ?

1.5.Работа сил поля при перемещении заряда.

Потенциал и разность потенциалов

На электрический заряд, находящийся в поле, действует сила, поэтому при перемещении заряда q на расстояние dl в электрическом поле с напряженностью E совершается работа:

ремещения на направление силовой линии (рис. 1.10). Работа по

перемещению заряда в электростатическом поле не зависит от формы траектории. Действительно, при перемещении заряда q между точками 1 и 2 в поле точечного заряда Q совершается работа

16

El=Еcosα - проекция вектора напряженности на направление перемещения. Равенство нулю работы по замкнутой траектории означает равенство нулю интеграла в последнем выражении. Этот интеграл называют циркуляцией вектора E . Поскольку любое заряженное тело можно представить как совокупность точечных зарядов, циркуляция будет равной нулю в полях неподвижных зарядов любой конфигурации. Итак, в электростатическом поле циркуляция вектора напряженности равна нулю

(кружок на знаке интеграла означает, что интегрирование ведется по замкнутому пути). Силовые поля с такими свойствами называ-

ются потенциальными, или консервативными.

В разделе «Механика» показано, что работа в потенциальном поле равна изменению потенциальной энергии системы, взятой с противоположным знаком:

где W1, W2 − значения потенциальной энергии в начальной и конечной точках. Поскольку энергия заряда в поле, как и работа по перемещению заряда между двумя точками (см.(1.5)), пропорциональна заряду, то отношение энергии к величине заряда есть величина, характеризующая только поле. Эта величина называется потенциалом поля в данной точке:

q

При этом выражение (1.8) можно переписать в виде:

17

− разность потенциалов между двумя точками, которая численно равна разности потенциальных энергий заряда в этих точках, отнесенной к величине заряда. Сопоставляя с выражением для работы в поле точечного заряда (1.6), получаем, что потенциал то-

чечного заряда

обратно пропорционален первой степени расстояния до заряда. Как и потенциальная энергия, потенциал определяется с точностью до некоторой постоянной. Реальные тела имеют конечные размеры, но на очень большом расстоянии поле этих тел может рассматриваться как поле точечных зарядов. Тогда, как следует из (1.11), на бесконечно большом расстоянии от заряженного тела потенциал поля равен нулю1. Если положить в выражении (1.11) W2 и ϕ2 равными нулю, то можно сказать, что потенциал некоторой точки поля численно равен работе по перемещению единичного поло-

жительного заряда из данной точки поля на бесконечность:

ϕ = Aq∞ .

Потенциал и разность потенциалов измеряются в вольтах. 1В=1Дж/Кл.

В отличие от напряженности поля, являющейся силовой характеристикой поля, потенциал – его энергетическая характеристика. Связь межу этими величинами можно найти из выражений для работы. Для поля любой конфигурации dA = qEdr = −qdϕ , где dϕ - изменение потенциала при перемещении вдоль силовой линии на расстояние dr. Знак (-) в правой части отражает связь работы с изменением потенциальной энергии (см. (1.8)). Сокращая на q, по-

лучаем связь между напряженностью электрического поля и изменением потенциала:

1 На практике считают равным нулю потенциал проводника, соединенного с землей (см. раздел 1.8).

18

Знак (-) означает, что напряженность поля направлена в сторону убыли потенциала. Из последнего выражения видно, что напряженность электрического поля измеряют в вольтах на метр: 1В/м=1Н/Кл.

В векторном анализе градиентом некоторой скалярной величины ϕ называют вектор, направление которого совпадает с направ-

лением быстрейшего увеличения величины ϕ . По определению

grad ϕ = ddxϕ ir+ ddyϕ rj + ddzϕ kr,

где ir, rj ,kr- орты (единичные векторы, направленные вдоль осей координат). Значок grad подразумевает, что в левой части этого выражениястоитвекторная величина.

Напряженность электрического поля можно выразить следующим образом:

E = −grad ϕ .

Из (1.13) получаем dϕ = −Edr = −Edl = −El dl , где El - проекция

вектора напряженности на направление dl. Проинтегрировав данноевыражение, найдемразностьпотенциаловмеждуточками1 и2:

Пересекаясь с плоскостью чертежа, эквипотенциальные поверхности дают эквипотенциальные ли-

нии (рис. 1.11). Так как напряженность поля направлена в сторону убыли потенциала, то ϕ1 >ϕ2> ϕ3. Эквипотенциальные линии, как и

19