Файл: 753.pdf

линии напряженности, гуще там, где напряженность поля выше (вблизи зарядов).

Вопросы

1.Зависит ли работа по перемещению заряда в электростатическом поле от формы траектории? Чему равна работа перемещения заряда по замкнутому пути?

2.Какими свойствами обладают потенциальные поля?

3.Что такое потенциал и разность потенциалов? Как можно определить работу по перемещению заряда между точками, разность потенциалов между которыми известна?

4.Как можно найти разность потенциалов двух точек через напряженность поля?

5.Как найти напряженность поля, зная зависимость потенциала от координат?

6.Две точки имеют одинаковый потенциал. Значит ли это, что при перемещении пробного заряда из одной точки в другую не совершается работа? Верно ли, что для перемещения заряда не надо прикладывать силу?

7.Куда будет двигаться первоначально покоящийся отрицательный заряд: в направлении более высокого или более низкого потенциала? А положительный заряд? Как меняется потенциальная энергия заряда в каждом случае?

8.Может ли частица перемещаться из области с более низким потенциалом в область с более высоким потенциалом так, чтобы при этом ее электростатическая потенциальная энергия уменьшалась? Объясните.

9.Если в некоторой точке пространства потенциал ϕ равен нулю, то обязательно ли в этой точке и напряженность поля Е =

0? Если в некоторой точке Е=0, то всегда ли и ϕ= 0 в этой точке? Проиллюстрируйте ответ примерами.

20

1.6. Теорема Остроградского-Гаусса

Введем понятие потока вектора напряженности. Рассмотрим произвольную поверхность S в электрическом поле (рис. 1.12). Выберем на

Заметим, что интеграл по поверхности на практике не всегда легко вычисляется, однако необходимость в этом возникает не часто, за исключением самых простых ситуаций, которые мы рассмотрим ниже.

Если графически изображать поле так, что напряженность будет численно равной числу силовых линий, пронизывающих единичную площадку в перпендикулярном к ее поверхности направлении, то поток вектора напряженности через любую площадку можно представить как число силовых линий,

пронизывающих эту площадку.

Теорема Остроградского-Гаусса устанавливает точное соот-

ношение между потоком вектора напряженности через произвольную замкнутую поверхность и суммарным зарядом, находящимся внутри этой поверхности:

21

Нетрудно показать справедливость этой теоремы для одного точечного заряда Q, если охватывающая его поверхность является сферой (А1 на рис.1.13), в центре которой находится этот заряд. Линии напряженности направлены по радиусам и в каждой точке сферы перпендикулярны ей, следовательно, Еn = Е. В точках на поверхности напряженность поля одинакова, поэтому величину Е можно вынести из-под знака интеграла в выражении (1.16). Подставив вместо Е напряженность поля точечного заряда из (1.3), а вместо полной площади – площадь сферы S=4πr2, полу-

один а, скажем, три раза (рис. 1.14). В таком случае каждая из площадок dS', dS",dS'" внесет в общий поток одинаковый по абсолютной величине вклад, но вклад площадки dS" будет отрицательным (отрицательным будет косинус угла между векторами E и n ), поэтому вклад этих площадок в общий поток будет таким же, как у одной площадки dS'.

Из сказанного ясно также, почему заряды, находящиеся вне замкнутой поверхности, не изменяют общего потока – их силовые линии будут пересекать замкнутую поверхность дважды и давать в одном случае отрицательный вклад в общий поток, во втором – положительный.

Рассмотрим, наконец, случай, когда внутри поверхности находятся N точечных зарядов q1, q2, … qN. В силу принципа суперпо-

22

зиции полная напряженность электрического поля Е есть векторная суммаr напряженностейr , создаваемых каждым зарядом в отдельности: E = ∑Ei . Поэтому

i

Каждый из интегралов, стоящих под знаком суммы, равен

Закон Кулона и теорема Остроградского-Гаусса отражают одно и то же свойство электрического поля – напряженность электрического поля неподвижного точечного заряда убывает обратно пропорционально квадрату расстояния от заряда.

Вопросы

1.Что такое поток вектора напряженности электрического поля? Как определить его для бесконечно малой площадки, для площадки конечных размеров? Как зависит его величина от ориентации площадки относительно линий напряженности?

2.Как определить поток вектора напряженности графически?

3.Если поток напряженности электрического поля через замкнутую поверхность равен нулю, означает ли это, что напряженность электрического поля равна нулю во всех точках поверхно-

сти? Справедливо ли обратное, если Е = 0 во всех точках поверхности, то поток через поверхность равен нулю?

4.Точечный заряд окружен сферической поверхностью ра-

диусом r. Изменится ли значение Фе, если сферу заменить кубом со стороной 2r ?

5.Что можно сказать о потоке напряженности электрического поля через замкнутую поверхность, окружающую электрический диполь?

6.Напряженность электрического поля Е равна нулю во всех точках замкнутой поверхности. Значит ли это, что внутри нет зарядов?

7.Если суммарный заряд внутри замкнутой поверхности равен нулю, то обязательно ли равна нулю напряженность электрического поля во всех точках поверхности?

23

1.7. Применение теоремы Остроградского-Гаусса

красчету полей заряженных тел простой формы

Спомощью теоремы Остроградского-Гаусса удается легко найти напряженность поля в случаях, когда распределение зарядов оказывается достаточно простым и симметричным. При этом стремятся выбрать замкнутую поверхность, окружающую заряды так, чтобы напряженность электрического поля Е была постоянна

по всей поверхности или, по крайней мере,

Здесь ∆q - заряд, распределенный по площа-

ди ∆S. Вследствие симметрии линии напряженности имеют вид прямых линий, перпендикулярных заряженной плоскости. В качестве замкнутой поверхности выберем поверхность прямого цилиндра, основания которого параллельны заряженной плоско-

сти и имеют площадь S. Так как силовые линии не пронизывают боковую поверхность цилиндра (они скользят вдоль поверхности), поток вектора напряженности через нее равен нулю. Полный поток, следовательно, равен потоку через два основания: Фе = 2ES . Внутри цилиндра находятся заряды, распределенные на

участке заряженной поверхности, вырезанной цилиндром. Площадь этого участка равна площади основания. Поэтому суммарный заряд внутри цилиндра равен: ∑q = σS . Используя теорему

(1.16), получаем выражение для напряженности поля бесконечной заряженной плоскости:

Напряженность поля не зависит от расстояния: силовые линии параллельны, их густота одинакова на любом расстоянии от заряженной поверхности. Это утверждение и формула (1.17) справедливы для бесконечной плоскости. Для реальных тел в виде плоскости конечных размеров эта формула справедлива только

24