Файл: 753.pdf

вблизи поверхности, причем для точек, не лежащих вблизи ее края.

Зная связь между напряженностью и потенциалом, легко найти выражение для разности потенциалов двух точек в поле заря-

женной плоскости. Используя формулу (1.14) и то обстоятельство, что напряженность поля во всех точках имеет одинаковое значение, получим:

Здесь r1 и r2 − кратчайшие расстояния точек до заряженной поверхности (вдоль силовой линии).

Однородно заряженный шар. Электрический заряд Q равно-

ружу (или внутрь, если заряд шара отрицателен). Выберем в качестве поверхности интегрирования сферу радиусом r (r < R) (А2

на рис.1.17). Внутри этой сферы находится заряд q = ρV2 = 43 ρπr3 .

Теорема Остроградского-Гаусса для этой поверхности запишется следующим образом:

Мы учли, что на одинаковом расстоянии от центра шара напряженность поля по модулю одинакова и по направлению совпадает с нормалью к сфере в каждой ее поверхности. Из последнего выражения, заменив ρ через его значение, получаем, что внутри шара напряженность поля зависит от расстояния до центра сферы следующим образом:

25

Внутри шара напряженность поля с увеличением расстояния от центра растет линейно (рис. 1.18). Это объясняется тем, что при возрастании радиуса сферы, сквозь которую вычисляется поток, увеличивается и заряд, находящийся внутри сферы. Если же сфера интегрирования имеет радиус больше, чем радиус шара (А1 на рис. 1.17), то заряд внутри ее будет постоянным, равным Q. Применение теоремы Остроградского-Гаусса дает следующее выражение:

E (4πr2 )=Qε0 , откуда получим зависимость для напряженно-

Таким образом, с увеличением расстояния r от центра шара поле вначале линейно растет (до r = R), а затем при r>R убывает как 1/r2 (рис. 1.18).

Разность потенциалов между двумя точками внутри шара

равна

сферической поверхности радиусом R. Поскольку заряд распределен симметрично, электрическое поле также должно быть симметричным. Вне заряженной сферы применение теоремы Остроградского-Гаусса дает такой же результат, как в предыдущем случае. Напряженность поля вне сферы определяется по формуле (1.20), где r – расстояние до центра сферы.

26

Внутри сферы поле также должно быть симметричным, поэтому напряженность поля Е должна иметь одно и то же значение во всех точках сферической поверхности радиуса меньшего, чем

женности поля от расстояния до центра сферы приведен на рис. 1.19. Разность потенциалов вне

сферы определяется, как и в предыдущем случае, по формуле для потенциала точечного заряда (1.12):

Положив r1=R, r2=∞, найдем потенциал поверхности сферы:

Разность потенциалов точек внутри сферы равна нулю

(поле отсутствует, значит, нет градиента потенциала), что означает постоянство потенциала внутри сферы. Потенциал точек внутри сферыравенпотенциалуповерхности (1.23).

Бесконечный равномерно заряженный цилиндр с линейной плотностью заряда λ = ∆q / ∆l . В силу симметрии задачи электри-

27

ности цилиндра. Поток вектора напряженности через основания цилиндра равен нулю, поскольку вектор E параллелен этим поверхностям. Следовательно, полный поток по теореме Остро-

S

линдра, по поверхности которого проводится интегрирование, λl- суммарный заряд внутри замкнутой цилиндрической поверхности. Отсюда

Разность потенциалов между двумя точками, лежащими на расстояниях r1 и r2 от оси заряженного цилиндра равна:

Вопросы

1.Из каких соображений выбирается форма замкнутой поверхности для вычисления напряженности поля заряженных тел с помощью теоремы Остроградского-Гаусса?

2.Почему предполагается, что вектор напряженности ориентирован перпендикулярно поверхности заряженных тел?

3.Можно ли применить теорему Остроградского-Гаусса для определения напряженности поля электрического поля диполя?

4.Почему для точек поля бесконечной заряженной поверхности нельзя определить потенциал, а только разность потенциалов

(см. формулу (1.18))?

5.Как объяснить, что потенциал точек внутри заряженной сферы не равен нулю, хотя напряженность поля равна нулю?

1.8. Проводники в электрическом поле

Как уже отмечалось в разделе 1.2, металлы содержат большое число электронов, способных практически свободно перемещаться по его внутреннему объему. При внесении такого проводника в электростатическое поле наблюдается явление электростатической индукции - под действием поля часть электронов концентрируется в тонком слое вблизи одной из поверхностей (левой на рис.1.21). На противоположной поверхности в тонком слое располагается нескомпенсированный положительный заряд. Поле

28

системы этих зарядов направлено против внешнего и полностью его уничтожает. Поскольку электроны в металле могут переме-

щаться под действием как угодно малой силы, даже весьма слабое поле приводит к перемещению зарядов до тех пор, пока суммарное

поле не станет равным нулю. Поле внутри не изменится, если внутреннюю часть проводника удалить, оставив лишь тонкую оболочку. Этим пользуются для устройства электростатической защиты от внешних полей.

Отсутствие поля внутри проводника означает, что его потенциал одинаков во всех точках проводника, следовательно, поверхность проводника является эквипотенциальной, и вектор напряженности поля вблизи поверхности направлен перпендикулярно к ней (рис.

1.22). Если проводник, вносимый во

внешнее поле, имел заряд, то последний

также перераспределяется, пока не вы-

ровняются потенциалы во всех точках

проводника.

Для определения напряженности поля вблизи поверхности воспользуемся теоремой Остроградского-Гаусса. В качестве замкнутой поверхности интегрирования

выберем поверхность цилиндра малой высоты (на рис. 1.22 изображен штриховыми линиями). Одно основание цилиндра едва возвышается над поверхностью проводника, другое находится под поверхностью, а боковая поверхность перпендикулярна проводнику. Поскольку электрическое поле внутри проводника отсутствует, поток напряженности проходит только через наружное основание цилиндра. Площадь S основания выберем достаточно малой, чтобы напряженность поля Е можно было считать в его

где σ - поверхностная плотность заряда.

29