Файл: n1.pdf

включительно совпадают с соответствующими

производными функции f, т. е.

T (nk ) (a)= f (k)(a), k = 0, 1, …, n.

В этом легко убедиться, дифференцируя Tn(x). Благодаря этому свойству многочлен Тейлора хорошо приближает функцию f в окрестности точки a. Погрешность приближения составляет

| f (x) – Tn(x)| = | Rn(x)|,

т. е. задавая некоторую точность ε > 0, можно определить окрестность точки a и значение n из условия:

Пример 4.1.

Найдем приближение функции y = sinx многочленом Тейлора в окрестности точки a = 0. Воспользуемся известным выражением для k-ой производной функции sin x:

Применяя последовательно формулу (4.3), полу-

чим: f (0) = sin 0 = 0; f '(0) = cos 0 = 1;

f"(0) = – sin 0 = 0;

……………………

f (2k-1)(0) = sin (2k – 1) π2 = (–1)k – 1 ; 64

cma0 + cm+1a1 + cm+2a2 +… + c2mam = bm

Матричная запись системы (4.25) имеет следующий вид:

Для определения коэффициентов ak, k = 0, 1, … , m, и, следовательно, искомого многочлена (4.21) необходимо вычислить суммы ck, bk и решить систему уравнений (4.25). Матрица C системы (4.26) называется матрицей Грама и является симметричной и положительно определенной. Эти полезные свойства используются при решении.

Погрешность приближения в соответствии с

81

n

S = ∑( yi − Pm (xi ))2

i=0

Условия минимума S можно записать, приравнивая нулю частные производные S по всем переменным a0, a1, a2, … , am. Получим систему уравнений

Систему уравнений (4.22) перепишем в следующем виде:

a0ck + a1ck+1 + … + ck+mam = bk, k = 0, 1, … , m. (4.24)

Перепишем систему (4.24) в развернутом

виде:

c0a0 + c1a1 + c2a2 + … + cmam = b0 c1a0 + c2a1 + c3a2 + … + cm+1am = b1

……………………………………...… (4.25) 80

f (2k)(0) = 0;

f (2k+1)(ξ) = (–1)kcosξ .

Следовательно, многочлен Тейлора для функции

n = 2k из неравенства:

с точностью до ε = 10–4 равна многочлену 5-ой степени:

Пример 4.2.

Найдем приближение функции y = ex многочленом Тейлора на отрезке [0, 1] с точностью

ε = 10 –5.

Выберем a = ½, т.е. в середине отрезка. При этом величина погрешности в левой части (4.2) принимает минимальное значение. Из математиче-

65

ского анализа известно, что для k-ой производной от ex справедливо равенство:

(ex)(k) = ex.

Поэтому

(ea)(k) = ea = e1/2,

Следовательно, многочлен Тейлора для функции y = ex имеет вид:

При этом, учитывая, что x [0, 1], получим оценку погрешности:

Составим таблицу погрешностей, вычисленных по формуле (4.4):

4.3. Интерполяция функции многочленами Лагранжа

Рассмотрим другой подход к приближению функции многочленами. Пусть функция y = f (x)

66

Рис.4.2.

Эта функциональная зависимость должна с достаточной точностью соответствовать исходной табличной зависимости. В качестве критерия точности чаще всего используют критерий наименьших квадратов, т.е. определяют такую функциональную зависимость f(x), при которой

i=0

обращается в минимум.

Погрешность приближения оценивается величиной среднеквадратического уклонения

В качестве функциональной зависимости рассмотрим многочлен

Формула (4.12) примет вид

79

Подставляя (4.17) в (4.16) и переходя к перемен-

ной t = x −hxn , получим окончательный вид второй интерполяционной формулы Ньютона:

4.5. Аппроксимация функций. Метод наименьших квадратов

В инженерной деятельности часто возникает необходимость описать в виде функциональной зависимости связь между величинами, заданными таблично или в виде набора точек с координатами (xi, yi), i = 0, 1, 2,... , n, где n – общее количество точек. Как правило, эти табличные данные получены экспериментально и имеют погрешности

(рис. 2.5).

При аппроксимации желательно получить относительно простую функциональную зависимость (например, многочлен), которая позволила бы «сгладить» экспериментальные погрешности, вычислять значения функции в точках, не содержащихся в исходной таблице.

определена на отрезке [a, b] и известны значения этой функции в некоторой системе узлов

xi [a, b], i = 0, 1, … , n.

Например, эти значения получены в эксперименте при наблюдении некоторой величины в определенных точках или в определенные моменты времени x0, x1, … , xn. Обозначим эти значения следующим образом:

yi = f (xi), i = 0, 1, … , n.

Требуется найти такой многочлен P(x) степени m

P(x) = a0 + a1x + a2x2 + … + amxm, (4.5)

который бы в узлах xi, i = 0, 1, … , n принимал те же значения, что и исходная функция y = f (x), т. е.

Многочлен (4.5), удовлетворяющий условию (4.6),

называется интерполяционным многочленом.

Рис. 4.1.

Другими словами, ставится задача построения функции y = P(x), график которой проходит через заданные точки (xi, yi), i = 0, 1, …, n

(рис. 4.1).

Объединяя (4.5) и (4.6), получим:

a0 + a1xi + a2x i2 + … + amx im = yi, i = 0, 1, …, n. (4.7)

В искомом многочлене P(x) неизвестными являются m +1 коэффициент a0 , a1, a2, …, am. Поэтому систему (4.7) можно рассматривать как систему из n +1 уравнений с m +1 неизвестными. Известно, что для существования единственного решения такой системы необходимо, чтобы выполнялось условие: m = n. Таким образом, систему (4.7) можно переписать в развернутом виде:

…………………………………………

a0 + a1 xn + a2x 2n + … + anx nn = yn

Вопрос о существовании и единственности интерполяционного многочлена решает следующая теорема:

Теорема 4.1. Существует единственный интерполяционный многочлен степени n, удовлетворяющий условиям (4.6).

68

Pn (x) = Pn (x0 +th) = y0 +t+y0 + t(t2!−1)+2 y0 +...(4.15)

+t(t −1) ...nt!(t −n +1) +n y0.

Формула (4.15) называется первой интерполяционной формулой Ньютона. Эта формула применяется для интерполирования в начале отрезка интерполяции, когда t мало по абсолютной величине. Первую интерполяционную формулу Ньютона называют по этой причине формулой для интерполирования вперед. За начальное значение x0 можно принимать любое табличное значение аргумента х.

Когда значение аргумента находится ближе к концу отрезка интерполяции, применять первую интерполяционную, формулу становится невыгодно. В этом случае применяется формула для интерполирования назад – вторая интерполяционная формула Ньютона, которая отыскивается в виде:

Pn (x) = a0 + a1(x − xn ) + a2 (x − xn )(x − xn−1) +... (4.16)

Как и для первой формулы Ньютона, коэффициенты a0, a1, ... an находятся из условия совпадения значений функции и интерполяционного многочлена в узлах: