Файл: n1.pdf

1.Математическая модель. Погрешность матема-

тической модели связана с ее приближенным описанием реального объекта. Погрешность математической модели является неустранимой, в дальнейшем предполагается, что математическая модель фиксирована и ее погрешность учитываться не будет.

2.Исходные данные. Исходные данные обычно содержат погрешности, так как они либо неточно измерены, либо являются результатом решения некоторых вспомогательных задач. Во многих физических и технических задачах погрешность измерений составляет 1 – 10%. Погрешность исходных данных считается неустранимой и учитываться не будет.

3.Метод вычислений. Применяемые для решения задачи методы, как правило, являются приближенными. Погрешность метода необходимо определять для конкретного метода. Обычно ее можно оценить и проконтролировать. Следует выбирать погрешность метода так, чтобы она была не более чем на порядок меньше неустранимой погрешности.

4.Округление в вычислениях. Погрешность округ-

ления возникает из-за того, что вычисления производятся с конечным числом значащих цифр. Округление производят по следующему правилу: если в старшем из отбрасываемых разрядов стоит

8

137

цифра меньше пяти, то содержимое сохраняемых разрядов не изменяется; в противном случае в младший сохраняемый разряд добавляется единица с тем же знаком, что и у самого числа. При решении больших задач производятся миллиарды вычислений, но так как погрешности имеют разные знаки, то они частично взаимокомпенсируются.

Различают абсолютную и относительную

погрешности.

Пусть а – точное числовое значение некоторой величины, а а* – известное приближенное значение этой величины, тогда величину

(а*) = | а – а*|

называют абсолютной погрешностью числа а*, а величину

– его относительной погрешностью.

При сложении и вычитании складываются абсолютные погрешности, а при делении и умножении – относительные погрешности.

1.2. Корректность

Понятие корректности учтывает достаточно естественные требования, т. к. чтобы численно решать задачу, нужно быть уверенным, что ее ре-

шение существует. Столь же естественны требо-

вания единственности и устойчивости решения.

Решение задачи y* называется устойчивым по исходным данным x*, если оно зависит от исходных данных непрерывным образом. Это означает, что малому изменению исходных данных соответствует малое изменение решения. Строго говоря, для любого ε > 0 существует δ = δ (ε) > 0 такое, что всякому исходному данному x*, удовлетворяющему условию

|x – x*| < δ,

соответствует приближенное решение y*, для которого |y – y*| < ε.

Говорят, что задача поставлена корректно, если выполнены следующие три условия:

1.Решение существует при любых допустимых исходных данных.

2.Это решение единственно.

3.Это решение устойчиво по отношению к ма-

лым изменениям исходных данных.

Если хотя бы одно из этих условий не выполнено, задача называется некорректной.

1.3. Численные методы

Под числеленными методами понимаются методы, которые используются в вычислительной математике для преобразования задач к виду,

10

Вариант №1

В4

Вариант №2

В4

0, 2( x3 − 13x2 + 69 x − 92)

Вариант №3

В4

y = 2 x − 1

Вариант №1 В5

уΙ+1 = уΙ + 16 (к1(Ι) + 2к2(Ι) + 2к3(Ι) + к4(Ι) ),

где к1(Ι) = =·f( хΙ; уΙ )

к2(Ι) = =·f( хΙ + =2 ; уΙ + к12(Ι) ), к3(Ι) = = f (хΙ + =2 ; уΙ + к22(Ι) ), к4(Ι) = = f (хΙ + =; уΙ + к3(Ι) ),

причем хΙ = х0 +Ι =;(Ι = 0, 1, 2,...,п)

135

Ключи верных ответов

Часть А

Часть В

134

удобному для реализации на ЭВМ. Рассмотрим два класса методов.

1.Прямые методы. Метод решения задачи называется прямым, если он позволяет получить решение после выполнения конечного числа элементарных операций. Наименование элементарной операции здесь условно. Важно то, что ее сложность существенно меньше, чем сложность основной задачи. Иногда прямые методы называют точными, имея в виду, что при отсутствии ошибок

висходных данных и при выполнении элементарных операций результат будет точным. Однако, при реализации метода на ЭВМ неизбежны ошибки округления и, как следствие, наличие вычислительной погрешности.

2.Итерационные методы. Суть итерационных методов состоит в построении последовательных приближений к решению задачи. Вначале выбирают одно или несколько начальных приближений, а затем последовательно, используя найденные ранее приближения и однотипную процедуру расчета, строят новые приближения. В результате такого итерационного процесса можно теоретиче-

ски построить бесконечную последовательность приближений к решению. Если эта последовательность сходится (что бывает не всегда), то говорят, что итерационный метод сходится. Отдельный шаг итерационного процесса называется итерацией.

11