Файл: n1.pdf

Рис. 5.2.

Рис. 5.3.

Эта фигура состоит из n прямоугольников. Основание i-го прямоугольника образует отрезок [xi, xi+1] длины h, а высота основания равна значению функции в середине отрезка [xi, xi+1], т е.

fxi + xi+1 (рис. 5.4).

2

90

Пример 3.5.

Применим метод простой итерации Якоби для решения системы уравнений

Заметим, что метод простой итерации сходится, т. к. выполняется условие преобладания диагональных элементов (3.28):

|20.9| > |1.2| + |2.1| + |0.9|, |21.2| > |1.2| + |1.5| + |2.5|, |19.8| > |2.1| + |1.5| + |1.3|, |32.1| > |0.9| + |2.5| + |1.3|.

Пусть требуемая точность ε = 10–3. Вычисления будем проводить с четырьмя знаками после десятичной точки.

Приведем систему к виду (3.25):

x1 = – 0.0574 x2 – 0.1005x3 – 0.0431x4 + 1.0383

x2 = – 0.0566x1 – 0.0708x3 – 0.1179x4 + 1.2953

x3 = – 0.1061x1 – 0.0758 x2– 0.0657x4 + 1.4525 (3.34) x4 = – 0.0280x1 – 0.0779 x2 – 0.0405x3+ 1.5489

Величина β = max | bij|, i, j = 1, 2, 3, 4 равна 0.1179,

т. е. выполняется условие β ≤ 12 , и можно пользо-

ваться критерием окончания итерационного про-

цесса (3.32).

55

В качестве начального приближения возьмем элементы столбца свободных членов:

Вычисления будем вести до тех пор, пока все величины

| x ik +1 – x ik |, i = 1, 2, 3, 4,

а следовательно, и max|x ik +1 – x ik | не станут меньше

ε = 10–3.

Последовательно вычисляем: при k = 1

x11 = – 0.0574x 02 – 0.1005x 03 –

– 0.0431x 04 +1.0383= 0.7512 x12 = –0.0566x10 – 0.0708x 03 –

– 0.1179x 04 + 1.2953 = 0.9511

x13 = – 0.1061x10 – 0.0758 x 02 –

– 0.0657x 04 + 1.4525 = 1.1423

x14 = – 0.0280x10 – 0.0779x 02 –

– 0.0405x 03 + 1.5489 = 1.3601

при k = 2

x12 = 0.8106, x 22 = 1.0118, x 32 = 1.2117, x 24 = 1.4077.

при k = 3

x13 = 0.7978, x 32 = 0.9977, x 33 = 1.1975, x 34 = 1.3983.

56

графиком функции y = f(x), осью абсцисс и прямыми x = a и x = b (рис. 5.1).

Рис. 5.1.

Разобьем отрезок [a, b] на n равных частей длиной h, так, что

h = b −n a .

При этом получим точки

a = x0 < x1< x2 < … < xn = b

иxi+1 = xi + h, i = 0, 1, … , n – 1 (рис. 5.2)

Заменим приближенно площадь криволинейной трапеции площадью ступенчатой фигуры, изображенной на рис. 5.3.

89

сложной для вычислений. Кроме того, точное значение интеграла по формуле (5.1) нельзя получить, если функция f(x) задается таблицей. В этих случаях обращаются к методам численного интегрирования.

Суть численного интегрирования заключается в том, что подынтегральную функцию f (x) заменяют другой приближенной функцией, так, чтобы, во-первых, она была близка к f (x) и, во вторых, интеграл от нее легко вычислялся. Например, можно заменить подынтегральную функцию интерполяционным многочленом. Широко исполь-

зуют квадратурные формулы:

ваемые узлами квадратурной формулы, Ai – чи-

словые коэффициенты, называемые весами квад-

ратурной формулы, n ≥ 0 – целое число.

5.2. Метод средних прямоугольников

Формулу прямоугольников можно получить из геометрической интерпретации интеграла. Бу-

b

дем интерпретировать интеграл ∫ f (x)dx как пло-

a

щадь криволинейной трапеции, ограниченной

так как все они больше заданной точности ε = 10-3, продолжаем итерации:

при k = 5

x15 = 0.7999, x 52 = 0.9999, x 53 = 1.1999, x 54 = 1.3999.

Все они меньше заданной точности ε = 10-3, поэтому итерации заканчиваем. Приближенным решением системы являются следующие значения: x1 ≈ 0.7999, x2 ≈ 0.9999,

x3 ≈ 1.1999, x4 ≈ 1.3999.

Для сравнения приведем точные значения переменных:

x1 = 0.8, x2 = 1.0, x3 = 1.2, x4 = 1.4.

3.7. Метод Зейделя

Модификацией метода простых итераций Якоби можно считать метод Зейделя.

В методе Якоби на (k+1)-ой итерации значения x ik +1 (i = 1, 2, …, n) вычисляются подстановкой

в правую часть (3.27) вычисленных на предыдущей итерации значений x ik . В методе Зейделя при

вычислении x ik +1 используются значения x1k +1 , x k2+1 ,

x ik−+11 , уже найденные на (k+1)-ой итерации, а не x1k ,

x k2 , …, x ik−1 , как в методе Якоби, т.е. (k + 1)-е приближение строится следующим образом:

x k +1 = b21 x k+1 + b23 x k +…+ b2 n-1 x k − + b2n x k + c2

2 1 3 n 1 n

……………………………………………………… (3.36) x kn+1 = bn1x1k +1 + bn2 x x k2+1 + bn3 x x 3k +1 +…+bn n-1x kn+−11 +cn

Формулы (3.36) являются расчетными формулами метода Зейделя.

Введем нижнюю и верхнюю треугольные матрицы:

Погрешность приближения в соответствии с формулами (4.31) и (4.39) составит

Тема 5. Численное интегрирование функций одной переменной

5.1. Постановка задачи численного интегрирования

Далеко не все интегралы можно вычислить по известной из математического анализа формуле Ньютона – Лейбница:

a

где F(x) – первообразная функции f(x). Например, в элементарных функциях не выражается интеграл

b

∫e−x2 dx . Но даже в тех случаях, когда удается вы-

0

разить первообразную функцию F(x) через элементарные функции, она может оказаться очень

87

Система уравнений для определения коэф-

фициентов a0 и a1 многочлена первой степени

P2(x) = a0 + a1x + a2x2

имеет вид

5a0 + 15a1 = 12,

15a0 + 55a1 = 53.

По формулам (4.30) найдем коэффициенты a0 и a1:

P1(x) = a0 + a1x = –2.7 + 1.7x.

2. Квадратичная аппроксимация (m =2).

Система уравнений для определения коэф-

фициентов a0, a1 и a2 многочлена второй степени P2(x) = a0 + a1x + a2x2 имеет вид

5a0 + 15a1 + 55a2 = 12 15a0 + 55a1 + 225a2 = 53 55a0 + 225a1 + 979a2 = 235.

Поформулам(4.38) найдемкоэффициентыa0, a1 иa2:

a0 ≈ – 2.20, a1 ≈ 1.27, a2 ≈ 0.07.

P2(x) = a0 + a1x + a2x2 = – 2.20 + 1.27x + 0.07x2.

Сравним значения, рассчитанные для функциональной зависимости, с исходными данными. Результаты приведены в табл.4.4.

Таблица 4.4

86

Матричная запись расчетных формул (3.36) имеет вид:

Сходимость метода Зейделя. Достаточным усло-

вием сходимости метода Зейделя является выполнение неравенства:

β = max | bij|,< 1, i, j = 1, 2, …, n. (3.39)

Неравенство (3.39) означает, что для сходимости метода Зейделя достаточно, чтобы максимальный по модулю элемент матрицы B был меньше единицы.

Если выполнено условие (3.39), то справедлива следующая апостериорная оценка погрешности:

i = 1, 2, …, n,

где β – максимальный элемент матрицы B, β2 – максимальный элемент матрицы B2.

Правую часть оценки (3.40) легко вычислить после нахождения очередного приближения. Критерий окончания. Если требуется найти решение с точностью ε, то в силу (3.37) итерационный

59