Файл: n1.pdf

процесс следует закончить, как только на (k+1)-ом шаге выполнится неравенство:

Поэтому в качестве критерия окончания итерационного процесса можно использовать неравенство

max| x ik +1 – x ik | < ε1, i = 1, 2, …, n. (3.42)

где ε1 = 1 − β ε.

β2

Если выполняется условие β ≤ 12 , то можно пользоваться более простым критерием окончания:

Метод Зейделя, как правило, сходится быстрее, чем метод Якоби. Однако возможны ситуации, когда метод Якоби сходится, а метод Зейделя сходится медленнее или вообще расходится.

Пример 3.6.

Применим метод Зейделя для решения системы уравнений (3.33) из примера 3.5. Первые шаги полностью совпадают с процедурой решения по методу Якоби, а именно: система приводится к виду (3.34), затем в качестве начального приближения выбираются элементы столбца свободных членов (3.35). Проведем теперь итерации методом Зейделя:

60

Шаг 3. Вычислить C , C1 , C2 , C3 по форму-

лам (4.34) – (4.37).

Шаг 6. Вывести на экран результаты : аппрокси-

мирующую квадратичную функцию

P2(x) = a0 + a1x + a2x2

и величину погрешности 2.

Пример 4.6.

Построим по методу наименьших квадратов многочлены первой и второй степени и оценим степень приближения. Значения yi в точках xi , i =0, 1, 2, 3, 4 приведены в таблице 2.3.

Таблица 4.3

Вычислим коэффициенты c0, c1, c2, c3, c4, b0, b1, b2, по формулам (4.32), (4.33):

c0 = 5; c1 = 15; c2 = 55; c3 = 225; c4 = 979;

b0 = 12; b1 = 53; b2 = 235. 1. Линейная аппроксимация (m =1).

85

где C – определитель матрицы C, а Ci – определитель матрицы Ci, полученной из матрицы C заменой i-го столбцастолбцомсвободных членов b.

C = c0c2c4 + 2c1c2c3 – c 32 – с12 c4 – c 32 c0. (4.34)

Алгоритм 4.2.

(Алгоритм метода наименьших квадратов. Квадратичная аппроксимация)

Шаг 1. Ввести исходные данные:

xi, yi, i=0, 1, 2, ... , n.

Шаг 2. Вычислить коэффициенты c0, c1, c2, c3, c4, b0, b1, b2, по формулам (4.32), (4.33).

84

при k = 1

x11 = – 0.0574x 02 – 0.1005x 03 –

– 0.0431x 04 + 1.0383 = 0.7512,

при вычислении x12 используем уже полученное

значение x11 :

x12 = – 0.0566 x11 – 0.0708x 03 –

– 0.1179x 04 + 1.2953 = 0.9674,

при вычислении x13 используем уже полученные

значения x11 и x12 :

x13 = – 0.1061 x11 – 0.0758 x12 –

– 0.0657x 04 + 1.4525 = 1.1977,

при вычислении x14 используем уже полученные

значения x11 , x12 , x13 :

x14 = – 0.0280 x11 – 0.0779 x12 –

– 0.0405x x13 + 1.5489 = 1.4037

Аналогичным образом проведем вычисления при k = 2 и k = 3. Получим:

при k = 2

x12 = 0.8019, x 22 = 0.9996, x 32 = 1.9996, x 24 = 1.4000.

при k = 3

x13 = 0.80006, x 32 = 1.00002, x 33 = 1.19999, x 34 = 1.40000.

Известны точные значения переменных: x1 = 0.8, x2 = 1.0,

61

x3 = 1.2, x4 = 1.4.

Сравнение с примером 3.5 показывает, что метод Зейделя сходится быстрее и дает более точный результат.

Тема 4. Приближение функций 4.1. Постановка задачи

Задача приближения (аппроксимации) функций заключается в том, чтобы для данной функции построить другую, отличную от нее функцию, значения которой достаточно близки к значениям данной функции. Укажем наиболее типичные случаи:

1.функция задана таблицей в конечном множестве точек, а вычисления нужно произвести в других точках;

2.функция задана аналитически, но ее вычисление по формуле затруднительно;

При решении задачи поиска приближенной функции возникают следующие проблемы:

1.необходимо выбрать вид приближенной функции (для приближения широко используются многочлены, тригонометрические функции, показательные функции и т.д.);

2.необходимо выбрать критерий близости исходной и приближенной функции (это может быть требование совпадения обеих функций в узловых точках (задача интерполяции), минимиза-

62

Решение системы уравнений Ca = b найдем по правилу Крамера:

a0 = CC1 , a1 = CC2 ,

где C – определитель матрицы C, а Ci – определитель матрицы Ci, полученной из матрицы C заменой i-го столбца столбцом свободных членов b, i

= 1, 2.

Таким образом,

Алгоритм 4.1.

(Алгоритм метода наименьших квадратов.

Линейная аппроксимация)

Шаг 1. Ввести исходные данные:

xi, yi, i=0, 1, 2, ... , n.

Шаг 2. Вычислить коэффициенты c0, c1, b0, b1 по формулам (4.28), (4.29).

Шаг 3. Вычислить a0, a1 по формулам (4.30).

82

ция среднеквадратического уклонения (метод наименьших квадратов) и др.);

3.Необходимо указать правило (алгоритм), позволяющее с заданной точностью найти приближение функции.

4.2.Приближение функции многочленами

Тейлора

Пусть функция y = f(x) определена в окрестности точки a и имеет в этой окрестности n + 1 производную. Тогда в этой окрестности справедлива формула Тейлора:

f(x) = c0 + c1(x – a) + c2(x – a)2 + … +

+cn(x – a )n + Rn(x) = Tn(x) + Rn(x),

Rn(x) – остаточный член формулы Тейлора, его можно записать различными способами, например, в форме Лагранжа:

Rn(x)= f (n++1) (ξ) (x − a)n+1 , a ≤ ξ ≤ x.

(n 1)!

Многочлен Тейлора (4.1) обладает свойством, что в точке x = a все его производные до порядка n

63