Файл: n1.pdf

f (1) < 0, f (2) > 0.

Найдем число n делений отрезка [1, 2], необходимых для достижения требуемой точности. Имеем:

2.4. Метод простых итераций

Пусть уравнение (2.1) можно заменить эквивалентным ему уравнением

Например, уравнение sinx x – 0.5 = 0 можно заме-

нить эквивалентным ему уравнением x = 0.5sinx. Выберем каким-либо образом начальное

приближение x0. Вычислим значение функции ϕ (x) при x = x0 и найдем уточненное значение

18

дифференциальных уравнений (решение задачи Коши).

Вариант №2

Часть 1 А1. Отделите корни уравнения графически и укажите их количество

А4. Методом множителей Лагранжа найти экстремум функции f(x; y) = x y при условии 2x + 3y = 5.

ном условии у(2) = 4, найденное методом Эйлера с шагом h = 0,1 при х = 2,3 равно

Часть 2 Решите задание, полученный ответ запишите на

бланке, рядом с номером выполненного задания. В1. Методом половинного деления (методом проб) уточните с точностью до 0,01 корень уравнения

х4 – х – 1 = 0 на [1;2].

В2. Методом простой итерации найти приближенное значение корня уравнения

х3 – 10х + 4 = 0 с точностью до 0,01 на [0;1].

В3. Методом Гаусса (с помощью расчетной таблицы) решить систему уравнений:

3х1 − х2 + 3х3 =5,х1 + 2х2 − х3 = 2,3х1 + 2х2 −5х3 = 0.

В4. Даны точки (0;3), (2;1), (3;5), (4;7). Составить уравнение многочлена, принимающего указанные значения при заданных значениях аргумента.

В5. Записать расчетные формулы метода РунгеКутта приближенного решения обыкновенных

x1 = ϕ (x0). Подставим теперь x1 в уравнение (2.4) и получим новое приближение x2 = ϕ (x1) и т. д. Продолжая этот процесс неограниченно, получим последовательность приближений к корню:

xn+1 = ϕ (xn). (2.5)

Формула (2.5) является расчетной формулой метода простых итераций. Если последовательность {xn} сходится при n→∞, т. е. существует

и функция ϕ(x) непрерывна, то, переходя к пределу в (2.5) и учитывая (2.6), получим:

Таким образом, x* = ϕ (x*), следовательно, x* – корень уравнения (2.4).

Сходимость метода. Сходимость метода простых итераций устанавливает следующая теорема. Теорема 2.2. Если в интервале, содержащем корень x* уравнения (2.4), а также его последовательные приближения x0, x1, …, xn, …, вычисляемые по формуле (2.5), выполнено условие:

Оценка (2.8) является априорной. Она показывает, что метод простой итерации сходится со скоростью геометрической прогрессии со знаменателем q. Чем меньше q, тем выше скорость сходимости.

Как следует из теоремы 2.2, условие (2.7) является достаточным для сходимости метода простых итераций. Его выполнение гарантирует сходимость процесса (2.5), но невыполнение условия (2.7), вообще говоря, не означает, что итерационный процесс будет расходиться.

На рис. 2.3 – 2.6 показаны четыре случая взаимного расположения линий y = x и y = ϕ (x) и соответствующие итерационные процессы.

Рис. 2.3 и 2.4 соответствуют случаю |ϕ'(x)| < 1, и итерационный процесс сходится.

Рис. 2.3. Рис. 2.4.

20

найти значения y при x = 3,1, пользуясь интерпо-

Требуется получить значение этой функции в точке х = 1,91, пользуясь интерполяционным многочленом Лагранжа.

А8. Как связана степень интерполяционного многочлена с количеством узлов интерполяции?

А9. В какой форме можно получить решение обыкновенного дифференциального уравнения по методу Эйлера?

1)график;

2)аналитическое выражение;

3)таблица значений.

А10. Значение функции y, определяемой диффе-

ренциальным уравнением y′ = y 2 + ху , при началь-

125

Рис. 2.5. Рис. 2.6.

При этом если ϕ'(x) > 0 (рис. 2.3), сходимость носит односторонний характер, а если ϕ'(x) < 0 (рис. 2.4), сходимость носит двусторонний, колебательный характер. Рис. 2.5 и 2.6 соответствуют случаю |ϕ'(x)| >1 – итерационный процесс расходится. При этом может быть односторонняя (рис. 2.5) и двусторонняя (рис 2.6) расходимость.

Погрешность метода. Если известна величина q в условии (2.7), то применима следующая апостериорная оценка погрешности:

| xn – x*| ≤ 1 −q q | xn – xn – 1|, n > 1. (2.9)

Критерий окончания. Из оценки (2.9) вытекает следующий критерий окончания итерационного