Файл: n1.pdf

Практически вычисления не могут продолжаться бесконечно долго. Поэтому необходимо выбрать критерий окончания итерационного про-

цесса. Критерий окончания связан с требуемой точностью вычислений, а именно: вычисления заканчиваются, когда погрешность приближения не превышает заданной величины.

Оценки погрешности приближения, полученные до вычислений, называют априорными оценками (от лат. a'priori – «до опыта»), а соответствующие оценки, полученные в ходе вычислений,

называют апостериорными оценками (от лат. a'posteriori – «после опыта»).

Важной характеристикой итерационных методов является скорость сходимости метода. Говорят, что метод имеет p-ый порядок сходимости

если

|xn+1 – x*| = C|xn – x*|p,

где xn и xn+1 – последовательные приближения, полученные в ходе итерационного процесса вычислений, x* – точное решение, C – константа, не зависящая от n. Говорят, что метод сходится со скоростью геометрической прогрессии со знаменателем q < 1, если для всех n справедлива оценка:

|xn – x*| ≤ Cqn.

Итерационный процесс называется одношаговым, если для вычисления очередного прибли-

12

х1 + 2х2 +5х3 = −9,х1 − х2 +3х3 = 2,3х1 −6х2 − х3 = 25.

В4. Построить многочлен, график которого прохо-

дит через точки (2; 3); (4; 7); (5; 9); (10; 19).

В5. Записать интерполяционные формулы Ньютона.

133

2) 2; 4) 4.

А8. К какому типу методов относится метод Гаусса?

1) прямые; 2) итерационные.

А9. В какой форме можно получить решение обыкновенного дифференциального уравнения по методу Рунге – Кутта?

1)график;

2)таблица значений;

3)аналитическое выражение.

А10. Значение функции у, определяемой диффе-

ренциальным уравнением у′ = х2 + у2 , при начальном условии у(0) = 0, найденное мето-

дом Эйлера с шагом h = 0,1 при х = 0,3 равно:

Часть 2 В1. Методом половинного деления (методом проб)

уточните с точностью до 0,01 корень уравнения х3

+ 2х – 7 = 0 на [1; 2].

В2. Методом итераций найти приближенное значение корня уравнения 2 – lg·х – х = 0

с точностью до 0,01 на [1; 2].

В3. Методом Гаусса (с помощью расчетной таблицы) решите систему уравнений:

132

жения xn+1 используется только одно предыдущее приближение xn и k –шаговым, если для вычисления xn+1 используются k предыдущих приближений

xn-k+1, xn-k+2, …, xn.

Тема 2. Решение нелинейных уравнений 2.1. Постановка задачи

Пусть дана некоторая функция f(x) и требуется найти все или некоторые значения x, для которых

Значение x*, при котором f(x*) = 0, называется корнем (или решением) уравнения (2.1).

Относительно функции f (x) часто предполагается, что f (x) дважды непрерывно дифференцируема в окрестности корня.

Корень x* уравнения (2.1) называется простым, если первая производная функции f (x) в точке x* не равна нулю, т. е. f ′(x*) ≠ 0. Если же f ′(x*) = 0, то корень x* называется кратным кор-

нем.

Геометрически корень уравнения (2.1) есть точка пересечения графика функции y = f (x) с осью абсцисс. На рис. 2.1 изображен график функции y = f (x), имеющей четыре корня: два простых (x1* и x *3 ) и два кратных (x *2 и x *4 ).

13

Большинство методов решения уравнения (2.1) ориентировано на отыскание простых корней уравнения (2.1).

Рис. 2.1.

2.2.Основные этапы отыскания решения

Впроцессе приближенного отыскания корней уравнения (2.1) обычно выделяют два этапа:

локализация (или отделение) корня и уточнение корня.

Локализация корня заключается в определении отрезка [a, b], содержащего один и только один корень. Не существует универсального алгоритма локализации корня. В некоторых случаях отрезок локализации может быть найден из физических соображений. Иногда удобно бывает локализовать корень с помощью построения графика или таблицы значений функции y = f (x). На наличие корня на отрезке [a, b] указывает различие знаков функции на концах отрезка. Основанием

14

А6. Даны десятичные логарифмы чисел: lg 2,0 = 0,30103;

lg 2,1 = 0,32222; lg 2,2 = 0,34242; lg 2,3 = 0,36173; lg 2,4 = 0,38021; lg 2,5 = 0,39794.

Пользуясь интерполяционной формулой Ньютона

А7. Функция задана таблицей значений. Найти значение функции в точке х = 1.

В4. Построить многочлен, принимающий значения, заданные таблицей.

В5. Запишите все известные Вам формулы численного интегрирования.

Вариант №3

Часть 1 А1. Отделите корни уравнения графически и ука-

жите их количество 2х + lg(2х+3) = 1.

А2. Отделите корни многочлена аналитически и

приняв n = 8. Вычисления вести с пятью знаками после запятой.

А4. Методом множителей Лагранжа найти условный экстремум функции f(x;y) = x 2 + y 2

130

для этого служит следующая теорема математического анализа.

Теорема 2.1. Если функция f непрерывна на отрезке [a, b] и принимает на его концах значения разных знаков, так, что f (a) f (b) < 0, то отрезок [a, b] содержит, по крайней мере, один корень уравне-

ния f (x) = 0.

Однако корень четной кратности таким образом локализовать нельзя, так как в окрестности такого корня функция f (x) имеет постоянный знак.

На этапе уточнения корня вычисляют приближенное значение корня с заданной точностью ε > 0. Приближенное значение корня уточняют с помощью различных итерационных методов. Суть этих методов состоит в последовательном вычислении значений x0, x1, …, xn, …, которые являются приближениями к корню x*.

2.3. Метод половинного деления (метод дихотомии, метод проб, метод бисекции)

Метод деления отрезка пополам является самым простым и надежным способом решения нелинейного уравнения.

Пусть из предварительного анализа извест-

но, что корень уравнения (2.1) находится на отрез-

ке [a0, b0], т. е. x* [a0, b0], так, что f(x*) = 0.

15

Пусть функция f(x) непрерывна на отрезке [a0, b0] и принимает на концах отрезка значения разных знаков, т.е.

Разделим отрезок [a0, b0] пополам. Получим точку

x0 = a0 + b0 .

2

Вычислим значение функции в этой точке: f (x0). Если f (x0) = 0, то x0 – искомый корень, и задача решена. Если f (x0) ≠ 0, то f (x0) – число определенного знака:

f (x0) > 0, либо f (x0) < 0.

Тогда либо на концах отрезка [a0, x0], либо на концах отрезка [x0, b0] значения функции f(x) имеют разные знаки. Обозначим такой отрезок [a1, b1]. Очевидно, что x* [a1, b1], и длина отрезка [a1, b1] в два раза меньше, чем длина отрезка [a0, b0]. Поступим аналогично с отрезком [a1, b1]. В результате получим либо корень x*, либо новый отрезок

[a2, b2], и т.д. (рис. 2.2).

Рис. 2.2.

16

3) аналитическое выражение.

А9. Как связана степень интерполяционного многочлена с количеством узлов интерполяции?

А10. Значение функции y, определяемой дифференциальным уравнением y′= 1 + x + y2,

при начальном условии y(0) = 1, найденное методом Эйлера с шагом h = 0,1 при x = 0,2.

Часть 2 В1. Методом половинного деления (методом проб)

уточните с точностью до 0,01 корень уравнения x 5 – x – 2 = 0 на [1; 2].

В2. Методом простой итерации найти приближенное значение корня уравнения

x 3 – 12x – 5 = 0 с точностью до 0,01 на [–1; 0].

В3. Методом Гаусса (с помощью расчетной таблицы) решить систему уравнений:

3х1 + 2х2 + х3 =5,х1 + х2 − х3 = 0,4х1 − х2 + 5х3 =3.

129

А6. Зная квадраты чисел 5; 6; 7; 8, найти квадрат числа 6,25, пользуясь интерполяционной формулой Ньютона.

А8. В какой форме можно получить решение обыкновенного дифференциального уравнения по методу Пикара?

1)график;

2)таблица;

128

Погрешность метода. Оценка (2.3) характеризует погрешность метода деления отрезка пополам и указывает на скорость сходимости: метод сходится со скоростью геометрической прогрессии, знаменатель которой q = 1/2. Заметим, что оценка (2.3) является априорной.

Критерий окончания. Из соотношения (2.3) следует, что при заданной точности приближения ε вычисления заканчиваются, когда будет выполнено неравенство bn – an < 2ε или неравенство n > log2((b0 – a0)/ε) – 1. Таким образом, количество итераций можно определить заранее. За приближенное значение корня берется величина xn.

Пример 2.1.

Найдем приближенно x = 5 2 с точностью ε = 0.01. Эта задача эквивалентна решению уравнения x5 – 2 = 0, или нахождению нуля функции f(x) = x5 – 2. В качестве начального отрезка [a0, b0] возьмем отрезок [1, 2]. На концах этого отрезка функция принимает значения с разными знаками:

17