Файл: Лекции Основы теории управления.pdf

УУ

ОУ

u

F

y

g(t)

рис. 6

ε

ИЭ

1

ИЭ

2

y

1

4.  Принцип дуального управления или принцип автоматической оптимизации (рис.7). 

УУ

ОУ

u

F

y

g(t)

рис. 7

ЭР

z

R

Дуальное управление исследует двойную цель – изучение объекта и одновременное приведение его 

к требуемому режиму. 

Задача:  Создать  такую  систему,  чтобы  при  заданном  управлении  U  и  действии  меняющихся 

возмущений, некоторый параметр объекта был экстремальный. 

Поясним  сказанное  рисунком  8.  Экстремальный 

регулятор (ЭР) ”отслеживает” некоторую характеристику ОУ 

z

f R

= ( )

Z

R

2

1

3

4

. 

Допустим система работает в точке 1. Подается пробный 

сигнал,  так  что  система  переходит  в  точку  2,  следовательно 
получили  первый  шаг,  ложный.  УУ  реверсируется  и  дает 
положительное  приращение  шага  в  точку  3.  Регулятор  снова 
делает пробный шаг назад, чтобы не пропустить экстремума в 
точке 4. 

                           рис.8 
 
 

Задачи ТАУ, классификация САУ, примеры

 
Весь курс ТАУ условно можно разделить на рассмотрение двух основных задач: 

•  Задача устойчивости САУ; 
•  Задача качества регулирования. 

1.  Решение  об  устойчивости  или  анализ  систем  сводится  к  решению  о  сходимости 

дифференциальных уравнений, которыми описывается поведение САУ. Однако такая задача, как 
известно,  не  всегда  разрешима  и  поэтому  для  заключения  вопроса  устойчивости  в  ТАУ 
разработаны собственные методы решения, которые и будут изучены в первой трети части курса. 

2.  Задача качества регулирования или синтез систем является инженерной задачей, где приходится 

принимать  компромиссные  решения,  следя  за  тем,  чтобы  качественные  показатели  выходной 
координаты  во  времени  удовлетворяли  заданным  требованиям.  Причем  задача  синтеза 
противоположна задаче анализа. 

Классификация САУ

 
Классификация  систем  будет  производиться  для  систем  построенных  по  принципу  отклонения 

(принцип ОС). 

Все системы по своему математическому описанию делятся на два класса: 

•  линейные; 

6

•  нелинейные. 

Линейных систем в природе нет, т.е. реально все существующие САУ нелинейны. Под линейными 

системами понимаются приближенные линейные математические модели реальных нелинейных систем. 
Большинство  реальных  систем  можно  свести  к  линейным,  т.е.  нелинейности  в  них  являются 
несущественными (насыщение усилителей, петля гистерезиса и т.п.). 

В  тех  случаях,  когда  нелинейности  в  САУ  существенны  и  их  нельзя  линеаризовать, 

рассматриваются нелинейные модели, и применяются методы исследования нелинейной ТАУ. 

В свою очередь линейные и нелинейные системы по принципу ОС делятся на три класса: 

1.  Непрерывные  системы.  Это  такие  системы,  в  которых  контур  ОС  работает  (функционирует) 

непрерывно во времени. 

2.  Релейные  системы  –  более  узкий  класс  систем,  чем  непрерывные.  Это  системы,  где  в  контуре 

регулирования  стоит  релейный  элемент  (реле),  т.е.  контур  обратной  связи  замыкается  тогда,  когда 
ошибка 



ε

≥a  (a – зона нечувствительности реле – наперёд заданная величина) и размыкается, когда 

ошибка 



ε

≤b  (отключение реле), где a > b. Отметим, что релейные системы существенно нелинейны и 

их  нельзя  заменять  линейными  математическими  моделями.  Для  построения  систем  оптимальных  по 
быстродействию (важный класс) в большинстве случаев используют системы с релейными элементами. 

3.  Дискретные  системы.  Это  такие  системы,  в  которых  замыкание  контура  ОС  происходит 

дискретно  во  времени.  Кроме  того,  амплитуда  входного  сигнала  может  быть  квантована  по  времени. 
Среди  дискретных  систем  наибольшее  применение  получили  импульсные  системы  регулирования  и 
управления.  Это  такие  системы,  в  которых  происходит  квантование  ОС  только  по  времени.  Т.е.  связи 
замыкаются с определенной, наперёд заданной частотой. 

Математическое описание САУ

 
При  исследовании  САУ  в  ТАУ,  как  правило,  имеют  дело  не  с  физическими  объектами,  а  с  их 

математическими  моделями.  Характеристики  элементов  САУ  могут  быть  заданы  аналитически, 
графически или в виде таблиц, которые позволяют определить поведение элемента или системы в любой 
момент времени. 

Одной  из  наиболее  распространенных  форм  записи  математической  модели  поведения  САУ 

являются дифференциальные уравнения (обыкновенные и в частных производных). 

Для составления математической модели, как правило, необходимо проделать три этапа: 
1.  Выделить  физические  величины,  которые  наиболее  полно  и  правильно  отражают  поведение 

элемента; 

2.  Исходя  из  физической  природы  работы  элемента  составить  функциональные  связи  между 

выделенными физическими величинами; 

3.  Полученную математическую модель привести к стандартному виду, с точки зрения процессов 

управления. 

 
Пример:   Для электрической схемы (рис.9) составить математическое описание. 
 

I

R

L

C

U

вх

U

вых

рис. 9












=

+

+

=

+

+

=

∫

,

)

(

1

,

0

t

C

C

C

L

R

‰›

dt

t

I

C

U

U

dt

dI

L

IR

U

U

U

U

C

вых

U

U

=

. 

7

Перейдем к стандартной форме Коши:  x

1

I

= ;    x

U

U

C

в

2

ых

=

=

 тогда 













=

−

−

=

.

1

);

(

1

1

2

2

1

1

x

C

x

x

Rx

U

L

x

‰›

&

&

 
Итак, в общем случае динамическое поведение элемента или САУ может быть представлено в виде: 











=

=

=

)

3

(

),

,

(

)

2

(

),

(

)

1

(

),

,

,

,

(

v

x

u

u

x

g

y

t

F

u

x

f

x

&

&

где, 

( )

•

=

d

dt

; 

x R

n

∈

 – вектор состояния; 

u R

m

∈

 – вектор управляющих воздействий; 

F

R

l

∈   – вектор возмущающих воздействий; 

v R

m

∈

 – вектор входных задающих воздействий; 

f

и  g  – в общем случае нелинейные векторные функции. 

 
Зависимость (1) описывает поведение объектов управления как функция от текущего состояния 

x

,  

,   и в общем случае от    

u F

t.

Зависимость  (2)  задаёт  связь  между  физическими  выходными  величинами  y  и  внутренними 

координатами состояния x. 

Зависимость (3) определяет собой функцию устройства управления. 
 
Блок-схема  САУ,  построенная  по  математической  модели  (1)  –  (3)  имеет  наиболее  общий  вид 

(рис.10). 

УУ

ОУ

g

x

F

y

рис. 10

v

u

Примеры САУ

 
1. Система стабилизации (статическая система) (рис 11). 

У

Тг

Д

M

с

u

y

U

в

ОВД

ω

M

u

ос

Рис.11

u

з

  – напряжение задающего сигнала; 

u

ос

  – напряжение обратной связи; 

u

з

U

П

u

δ

u

δ

  – напряжение ошибки системы; 

u

y

  –  выходное  напряжение  усилителя 

(напряжение управления); 

Тг

  –  тахогенератор,  измеритель  скорости 

вращения двигателя (U

ос

 = k

Тг

ω

); 

8

При  изменении  момента  сопротивления  (нагрузки)  двигателя  в  такой  системе,  его  скорость 

вращения в установившемся режиме должна оставаться постоянной. 

 Т.е.    M – var,    

ω

 – const    (в определенном диапазоне изменения M, что обычно задаётся). 

Ошибка системы:                                              u

δ

 = u

з

 – u

ос

                                                               (5) 

Работа  состоит  в  следующем:  При    M

с

↑

,   

ω

↓

,    u

oc

↓

,    u

δ

↑

,    u

y

↑

  ,     

ω

↑

    примерно  до  прежнего 

состояния. 

В статических системах ошибка u

δ

  в установившемся режиме не может быть равна нулю. Т.е. эти 

системы характеризуются наличием статической ошибки, которая обычно задается при проектировании 
САУ  и  чем  меньше  эта  ошибка,  тем  точнее  осуществляется  стабилизация  выходной  координаты 
системы. 

 
2. Следящая система (астатическая система) (рис.12). 

У

u

δ

Д

u

y

U

в

ОВД

θ

з

θ

П

2

П

1

Механическая связь

ω

Редуктор

θ

Нагрузка

Рис.12

U

П

1

  – задающий потенциометр (угол задания 

θ

з

); 

В качестве измерителя угла поворота вала двигателя служит потенциометр П

2

; 

u

δ

 – напряжение ошибки, пропорциональное углам рассогласования следящей системы 

u

δ

 = k

п  

(

θ

з

  – 

θ

) 

(6)

Принимаем, что при 

u

y

 ≥ 0  

ω

 ≥ 0,  т.е. зона нечувствительности отсутствует, в реальных же 

системах при  M

нагр

≠ 0  

ω

 ≥ 0  при u

y

 ≥ a. 

Работа системы:  На П

1

 задаем 

θ

з

, появилось u

δ

. и  u

y

, двигатель начал работать, приводя в движение 

через редуктор нагрузку, одновременно поворачивая движок потенциометра П

2

 в сторону уменьшения 

рассогласования из (6). При достижении 

θ

 = 

θ

з

,  u

δ

 = 0  и  u

y

 = 0  работа двигателя прекращается. 

Таким образом, в следящих или астатических системах, статическая ошибка равна нулю. 
 

9

ЛИНЕЙНАЯ ТЕОРИЯ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ 

Классификация линейных систем

 
Линейные системы можно разделить на три подкласса: 
1.  Системы  с  постоянными  параметрами.  Это  такие  системы,  технические  параметры  которых 

(сопротивления,  индуктивности,  скорости  вращения  приводных  двигателей  и  т.д.)  остаются 
постоянными  в  течение  времени  работы  САУ.  Такие  системы  описываются  линейными 
дифференциальными уравнениями с постоянными коэффициентами. 

2.  Линейные системы с переменными во времени параметрами. Коэффициенты дифференциальных 

уравнений в этом случае являются известными функциями времени 

r

f t

k

k

=

( )

. 

3.  Линейные  системы  с  чистым  запаздыванием.  Если  в  САУ  содержится  элемент  чистого 

запаздывания  (рис.13),  где 

τ

  –  время  чистого  запаздывания.  (Магнитофонная  головка,  магнитный 

усилитель быстродействующий). 

1 

x

вх

t 

1 

x

вых

t 

τ

Рис.13 

Линеаризация нелинейных функций

 
Как  уже  говорилось,  в  реальных  системах  обычно  есть  нелинейные  элементы  (кривые 

намагничивания,  насыщения,  гистерезис  и  т.п.),  поэтому  для  перехода  от  реальной  системы  к 
идеализированной  линейной  необходимо  произвести  линеаризацию  нелинейных  характеристик 
системы. 

В  основе  линеаризации  нелинейностей  лежит  предположение  о  том,  что  в  исследуемой  САУ 

переменные  изменяются  так,  что  их  отклонения  от  установившихся  значений  остаются  всё  время 
достаточно малыми. 

Достаточная  малость  отклонений  переменных  в  системах  стабилизации  и  следящих  системах 

обычно выполняется, т.к. этого требует сама идея работы замкнутой автоматической системы. 

Линеаризация может быть осуществлена: 
−  графическим способом; 
−  аналитическим способом. 

1.  Если  имеем  графическую  зависимость  вход-выход  нелинейного  звена  системы,  например  в  виде 

рис.14. 

1.1  Метод касательной. Установившийся режим соответствует точке 

 Проведя касательную в 

этой  точке,  отрезок  кривой  можно  заменить  прямой.  Из  графика  видно,  что  чем  больше 
отклонение  входной  величины  от  установившегося  состояния,  тем  больше  ошибка 
линеаризации (требование к качеству). 

x

вх

*

x

f x

вых

вх

= (

)

x

x

kx

вых

вых

вх

=

+

.0

k

dx

dx

вых

вх

x

x

вх

вх

=

=

*

x

вых

x

вх

*

x

вх

∆

x

вх

Рис.14

∆

x

вх

x

вых.0

10