ВУЗ: Новосибирский государственный технический университет
Категория: Учебное пособие
Дисциплина: Основы теории управления
Добавлен: 15.02.2019
Просмотров: 1052
Скачиваний: 8
1.2 Метод секущей. Если необходимо провести линеаризацию в области
, то
используется метод секущей (рис.15).
0
≤
≤
x
x
вх
вх
*
x
kx
вых
вх
=
k
dx
dx
вых
вх
x
вх
=
=0
,
x
вых
x
вх
x
вх
*
Рис.15
где
2. Если нелинейная функция задана (известна) в виде математического (аналитического) описания,
например
y
f x x
= ( , )
1
2
, где x
1
и x
2
– входные координаты и y допускает хотя бы одно
дифференцирование по обеим координатам. Раскладываем эту функцию в ряд Тейлора в окрестности
точки установившегося режима
и
при малых отклонениях
x
1
*
x
2
*
∆x
1
и
∆x
2
.
y
f x x
f
x
x
f
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
=
+
⋅
+
⋅
=
=
=
=
( ,
)
*
*
*
*
*
*
1
2
1
1
2
2
1
1
2
2
1
1
2
2
+
∂
∂
∂
∂
∆
∆
(7)
Κ
Уравнение (7) представляет собой члены 1-го порядка ряда Тейлора нелинейной функции
y
f x x
= ( , )
1
2
. Таким образом, исходную нелинейную зависимость двух переменных мы заменили
линейной комбинацией отклонений от установившегося режима.
Линеаризация дифференциальных уравнений
Пусть нелинейное дифференциальное уравнение, описывающее поведение нелинейного
динамического объекта имеет вид:
&
( , ),
,
x
f x u
x R
u R
n
m
=
∈
(1)
∈
При линеаризации, как и ранее, в качестве рабочей точки выбирается точка установившегося
режима или точка равновесного состояния.
Под установившемся состоянием понимаем такой режим работы, когда
&
x
= 0
, т.е. в объекте не
происходит никаких изменений:
f x u
( , )
0
0
0
=
(2)
где
x u
0
0
,
– соответственно, значения векторов состояния и управления в установившемся режиме
(статике).
Далее, правую часть (1) раскладываем в ряд Тейлора в точке
x u
0
,
0
при малых изменениях
∆ ∆
x u
,
:
&
( , )
x
f x u
f
x
x
f
u
u
R
T
T
=
+
+
+
0
0
0
0
∂
∂
∂
∂
∆
∆
(3)
где
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
f
x
f
x
f
x
f
x
f
x
f
x
f
x
f
x
n n
T
n
n
n
n
n
T
=
= ×
1
1
1
2
1
1
2
Λ
Λ
Λ
Λ
Λ
Λ
,
dim
,
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
f
u
f
u
f
u
f
u
f
u
f
u
f
u
f
u
n m
T
m
n
n
n
m
T
=
= ×
1
1
1
2
1
1
2
Λ
Λ
Λ
Λ
Λ
Λ
,
dim
.
Обозначим:
11
A
f
x
f
x
T
T x x
u u
=
=
=
=
∂
∂
∂
∂
0
0
0
;
B
f
u
f
u
T
T x x
u u
=
=
=
=
∂
∂
∂
∂
0
0
0
Далее из (3) вычтем уравнение статики (2) и отбросим остаточный член R. Тогда получим:
&
,
x
A x
B u
=
+
∆
∆
(4)
Введем обозначение:
x
x
x
x
u
u u u
=
= −
=
= −
∆
∆
0
0
(5)
Тогда (4) с учётом (5) будет выглядеть так:
&
x
Ax Bu
=
+
(6)
Уравнение (6) – линейное дифференциальное уравнение в отклонениях.
Математическое описание линейных САУ
В общем, математическая модель линейной САУ, записанная в нормальной форме Коши, имеет вид:
=
+
+
=
,
,
Cx
y
DF
Bu
Ax
x&
(1)
где
x R
n
∈
,
u R
m
∈
,
F R
l
∈
,
,
y R
m
∈
dim
, dim
, dim
, dim
.
A n n
B n m
D n l
C m n
= ×
= ×
= ×
= ×
В частном случае, если имеем скалярный объект, то его поведение в динамике описывается
дифференциальным уравнением n-го порядка
a x
a
x
a
x
a x a x bu
n
n
n
n
n
n
( )
(
)
(
)
&
+
+
+
+
+
−
−
−
−
1
1
2
2
1
0
Κ
=
.
(2)
От модели (2) можно перейти к дифференциальным уравнениям состояния вида (1), если ввести
независимые переменные состояния. Причем для объекта n-го порядка, число таких переменных может
быть выбрано различно. Однако для независимости уравнений необходимо выбрать в качестве
переменных состояния:
=
=
=
=
=
=
=
−
−
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
,
,
,
)
1
(
1
2
3
1
2
1
n
n
n
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
&
&
&
&
&
&
(3)
Решим (2) относительно старшей производной
x
a
a
x
a
a
x
a
a
x
a
a
x
b
a
u
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
( )
(
)
(
)
&
= −
+
+
+
+
+
−
−
−
−
1
1
2
2
1
0
Κ
(4)
тогда (3) и (4) представляют нормальную форму Коши дифференциального уравнения (2).
&
&
&
&
x
x
x
x
x
x
x
a
a
x
a
a
x
a
a
x
a
a
x
b
a
u
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
1
2
2
3
1
1
2
1
1
2
0
1
=
=
=
= −
−
−
−
−
+
−
−
−
−
Μ
Κ
n
(5)
или в общем виде
=
+
=
,
,
Cx
y
Bu
Ax
x&
(6)
где
12
[
]
.
0
0
1
;
0
0
;
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
1
2
1
0
Λ
Μ
Λ
Λ
Λ
Λ
Λ
Λ
Λ
Λ
Λ
=
=
−
−
−
−
=
−
C
a
b
B
a
a
a
a
a
a
a
a
A
n
n
n
n
n
n
Пример:
&& &
x
x
x
u
+
−
=
2
3
5
,
=
=
=
,
,
1
2
1
x
x
x
x
x
&
&
→
+
+
−
=
=
,
5
3
2
,
1
2
2
2
1
u
x
x
x
x
x
&
&
→
=
+
=
,
,
Cx
y
Bu
Ax
x&
x R
u R
∈
∈
2
1
;
.
A
=
−
0
1
3
2 ;
B
=
0
5 ;
[
]
.
0
1
=
C
Свободное поведение САУ
В начале отметим основное свойство линейных систем:
Принцип суперпозиции (наложения): Если на САУ одновременно действуют несколько сигналов, то
результирующая реакция системы равна алгебраической сумме реакций системы на отдельные сигналы.
Итак, линейная САУ описывается в общем виде
{
&
,
x
Ax Bu
y Cx
=
+
=
(1)
или в частном случае для скалярной системы
a x
a
x
a
x
a x a x bu
n
n
n
n
n
n
( )
(
)
(
)
&
+
+
+
+
+
−
−
−
−
1
1
2
2
1
0
Κ
=
.
(2)
Если в (1) или (2) положить u = 0, то получим уравнения, описывающие свободное движение
системы (СДС). СДС – если после приложения возмущения, система предоставлена сама себе, т.е. на
неё не действуют ни управляющие не возмущающие сигналы.
СДС определяется лишь параметрами системы и не зависит ни от каких входных сигналов.
Переходная матрица
Свободное поведение САУ характеризует переходная матрица.
Переходная матрица есть реакция системы на единичные начальные условия при нулевых входных
воздействиях.
Φ Φ
= ( )
t
– переходная функция времени определяется из решения матричного уравнения вида:
&
Φ
Φ
= A
при
Φ( )
0
= I
,
(3)
dim
Φ = ×
n n
,
где I – единичная матрица.
Отметим некоторые свойства переходной матрицы (ПМ):
1. Определитель ПМ всегда
≠0, т.е.
[ ]
det ( )
,
,
Φ t
t
≠
∀ ∈ ∞
0
0
;
2. Матрица, обратная
Φ равна самой матрице, но с аргументом обратного знака, т.е.
Φ
Φ
−
=
−
1
( )
( )
t
t
.
Для линейных систем переходная матрица представляет собой матричную экспоненту
Φ( )
!
!
t
e
I
At
A t
A t
n
At
n n
=
= +
+
+ +
2 2
2
Κ
.
(4)
Т.к. (4) удовлетворяет (3), действительно
&( )
Φ
Φ
t
Ae
A
At
=
=
.
13
Переходная матрица позволяет определить реакцию многосвязной системы на произвольные
начальные условия.
Решение первого уравнения из системы (1) при произвольных начальных условиях тогда будет
иметь вид:
x t
x
e
e
Bu
d
At
A t
t
( )
( )
( )
(
)
=
+
−
∫
0
0
τ
τ τ
(5)
или выходная координата из второго уравнения (1)
y t
x
Ce
C e
Bu
d
At
A t
t
( )
( )
( )
(
)
=
+
−
∫
0
0
τ
τ τ
.
(6)
Модальные характеристики
Мода (англ.) – собственные значения и собственные вектора.
Модальные характеристики позволяют описывать собственные динамические свойства систем и
находить свободную составляющую движения. Действительно, если объект описывается системой
дифференциальных уравнений вида
&
,
x
Ax Bu
=
+
(1)
при начальных условиях
то решение, как известно, имеет вид:
t
0
0
= , x
x
0
0
= ( ),
x t
x
t
x t
св
в
( )
( )
( )
=
+
(2)
где
x t
св
( )
– свободная составляющая,
x t
в
( )
–вынужденная составляющая.
Причем свободная составляющая получается из решения дифференциального уравнения.
&
x
Ax
=
.
(3)
Решение (3) можно представить в виде:
x t
x
e
t
( )
( )
= 0
λ
.
(4)
Подставляя (4) в (3)
x
e
Ax
e
I
A x
t
t
( )
( )
(
) ( )
0
0
0
λ
λ
λ
λ
=
⇒
−
(5)
0
=
Найдем
λ
и x(0) – соответствующие решению уравнения (5).
Уравнение (5) будет иметь решение, если
det (
)
λ
I
A
−
= 0
.
(6)
Соотношение (6) представляет собой характеристическое уравнение, если раскрыть (6), то
получаем:
a
a
a
a
n
n
n
n
λ
λ
λ
+
+
+
+
−
−
1
1
1
0
0
Κ
=
,
(7)
где n – порядок дифференциального уравнения исходной системы (1).
Решения (7)
λ
1
,
λ
2
, ...,
λ
n
– корни характеристического уравнения (собственные значения матрицы
A). Подставляя корни
λ
i
в уравнение (5), получим:
(
) ( )
λ
i
i
I
A x
−
=
0
0
.
(8)
Можно определить значения всех компонент вектора x(0) – вектора начальных условий. Для
λ
i
существует собственный вектор динамической системы –
e i
n
i
(
,
= 1 )
.
Произведение
– мода системы.
e e
i
t
i
λ
Свободное движение динамической системы полностью определяется набором мод, т.е. существует
определенная связь:
x t
f x
e e
i
i
n
i
t
i
i
( )
( ( ))
,
=
=
∑
1
0
λ
(9)
где f
i
– определяется заданными начальными условиями
(
,
i
n
= 1 )
.
Часто для анализа свойств системы используют только собственные значения матрицы A (корни).
Как известно они могут быть:
λ
i
i
i
a
jb
i
= ± ±
=
,
,
1 n
.
1. вещественные
±
±
±
a
a
a
1
2
3
;
;
;
Κ
2. комплексные
±
±
±
±
±
±
a
jb
a
jb
a
jb
1
1
2
2
3
3
;
;
;
Κ
14
1.1.
Если
все
корни
вещественны
и
отрицательны
λ
i
i
a i
n
= −
=
,
,
1
, тогда имеем результирующую сходящуюся
экспоненту (рис.16).
x
t
1.2
1.1
2.2
2.
1
Рис.16
1.2. Если среди отрицательных вещественных корней имеется хотя
бы один положительный, то процесс будет соответствовать
расходящейся экспоненте.
2.1. Если корни комплексные и все с отрицательной вещественной
частью
λ
i
i
a
jb
i
= − ±
,
i
= 1,n
, то процесс колебательный
затухающий (сходящийся).
2.2. Если все корни комплексные и хотя бы один из них имеет
положительную вещественную часть, то имеем расходящийся
колебательный процесс.
В ТАУ принято называть как вещественные, так и комплексные
корни левыми, которые имеют отрицательную вещественную часть.
Корни с положительной вещественной частью называются правыми.
Их название ясно из рис.17.
Итак, для того, чтобы процесс был сходящимся (система
линеаризованная была устойчива) необходимо и достаточно, чтобы все
корни характеристического уравнения были левыми.
(левые)
(правые)
Im
Re
Рис.17
Передаточные функции
Кроме дифференциальных уравнений в ТАУ используются различные их преобразования, т.к.
решение дифференциальных уравнений высокого порядка вызывает значительные трудности. Решения
дифференциальных уравнений исследуются косвенными методами. Наиболее удобна алгебраизация
дифференциальных уравнений.
Формальным обоснованием алгебраизации служит интегральное преобразование Лапласа, Карсона-
Хэвисайда и Фурье.
Полученная в результате преобразований динамическая характеристика есть передаточная функция
(ПФ).
В общем случае передаточная функция есть соотношение между входными и выходными
переменными объекта или системы в операторной форме при нулевых начальных условиях.
Примем в качестве оператора, оператор дифференцирования
p
d
dt
=
. Отметим, что передаточные
функции существуют только для линейных объектов.
Пусть система описывается дифференциальными уравнениями состояния и выхода:
=
+
=
,
,
Cx
y
Bu
Ax
x&
x R
u R
y R
n
m
∈
∈
∈
,
,
(1)
m
причем для реальных объектов n > m.
Первое уравнение (1) можно записать
px p
Ax p
Bu p
px
Ax Bu
( )
( )
( )
=
+
→
−
=
или
(
)
,
pI
A x Bu
−
=
где
I
=
1
0
0
0
0
1
Λ
Λ Λ Λ Λ
Λ
– единичная матрица,
dim I
n n
= ×
.
x
pI
A
Bu p
=
−
−
(
)
(
1
)
)
, где
– обратная матрица
( pI
A
−
−1
(
)
pI
A
−
.
С учетом второго уравнения (1)
y p
C pI
A
Bu p
( )
(
)
( )
=
−
−1
.
(2)
Обозначим
W p
–передаточная функция (функция оператора от p).
C pI
A
B
( )
(
)
=
−
−1
dim ( )
W p
m m
= ×
– т.к. y и u имеют m компонент.
15