ВУЗ: Новосибирский государственный технический университет
Категория: Учебное пособие
Дисциплина: Основы теории управления
Добавлен: 15.02.2019
Просмотров: 1366
Скачиваний: 6
2. Имеем одномерную САУ, описываемую системой дифференциальных уравнений:
+
=
=
∑
=
+
,
,
1
1
n
j
j
j
n
i
i
Bu
x
a
x
x
x
&
&
.
),
1
(
,
1
1
R
u
n
i
∈
−
=
Т.к. нет в первых
уравнениях, то желаемую динамику можно задать только для n-го
u
(n
− 1)
уравнения, в которое входит в виде
u
=
−
=
=
=
+
).
,
(
,
)
1
(
,
1
,
)
,
(
1
v
x
F
x
n
i
x
x
v
x
F
n
n
i
i
&
&
Координаты
будут изменяться в соответствии с изменениями координаты
.
x
x
n
1
,
Κ
−1
x
n
Модальный метод синтеза
Данный метод относится к методам синтеза многомерных и одномерных систем с использованием
их модальных характеристик (собственные числа или корни характеристического уравнения,
собственные вектора).
Постановка задачи
1. Имеется модель объекта в виде
&
,
,
x
Ax Bu x R
u R
n
m
=
+
∈
∈
.
(1)
2. Заданы требования к замкнутой системе в виде желаемого расположения корней.
{
}
Λ
*
*
*
,
,
,
=
λ λ
λ
1
2
Κ
n
*
д
,
которые определяются по требованиям, предъявляемым к САУ:
t
t
p
p за
≤
.
.
– время регулирования;
µ µ
≤
зад.
– колебательность;
σ
σ
%
.
%
≤
зад
– перерегулирование.
По ним вычисляется сектор (рис.111)
.
min
,
max
,
3
,
3
i
i
i
i
i
p
p
r
t
r
r
t
α
α
ω
µ
=
=
≈
≈
В данном заштрихованном секторе корни выбираются произвольно, тогда ПП в системе будут
удовлетворять заданным требованиям.
На практике корни необходимо выбирать ближе друг к другу и к границе сектора. При этом
упрощается структура регулятора.
Im
Re
r
Рис.111
Расположение
желаемых
корней системы
73
Управляющее воздействие системы формируется в виде отрицательной обратной связи
u k x v
=
−
(
)
,
(2)
где
– вектор входных воздействий на систему,
v
v R
m
∈
;
k
– матрица коэффициентов усиления, значения которой необходимо найти в процессе синтеза
dim k
n m
= ×
.
Подставим (2) при
в (1), получим
v
= 0
&
(
)
x
Ax Bkx
A Bk x
=
+
=
+
.
(3)
Характеристическое уравнение (3) будет:
det[
]
λ
I
A Bk
− −
= 0
.
(4)
Решая (4) определяем совокупность корней замкнутой САУ –
Λ
( )
k
. Так как матрицы
и
A
B
постоянны и известны, то корни являются функциями элементов матрицы
k
.
Приравниваем
Λ
( )
*
k
=
Λ
– желаемым
(5)
и из (5) определяем матрицу
k
.
Соотношение (5) лежит в основе модального метода синтеза.
Трудности из линейной алгебры:
1. Т.к.
dim k
n m
= ×
, а уравнений (5) равно , то
n
nm n n m
− =
−
(
1)
– величинам
k
необходимо
придать произвольные значения, а остальные величин
n
k
определяются из уравнений (5);
2. Обычно
Λ
( )
k
– сложная нелинейная зависимость, что затрудняет непосредственное определение
матрицы
k
по основному соотношению (5);
3. Аналитически определить корни замкнутой системы
Λ
( )
k
можно лишь для
.
n
≤ 5
Поэтому практически при синтезе основное соотношение (5) не используется. От корней переходят
к коэффициентам характеристического уравнения (4), т.к. между ними существует взаимно-однозначное
соответствие. Тогда процедура расчета будет следующая.
Известно:
=
=
+
=
.
0
,
,
v
при
kx
u
Bu
Ax
x&
(1)
Задаемся из показателей качества желаемыми корнями
{
}
Λ
*
*
*
,
,
,
=
λ λ
λ
1
2
Κ
n
*
.
(2)
Требуется определить матрицу
k
= ?
dim k
n m
= ×
.
Определяется характеристическое уравнение САУ:
det[
]
( )
( )
( )
( )
λ
λ
λ
λ
λ
I
A Bk
C k
C
k
C k
C k
n
n
n
n
n
− −
=
+
+
+
+
+
=
−
−
−
1
1
2
2
1
0
Κ
.
(3)
По заданным показателям качества ПП определяется желаемое характеристическое уравнение
λ
λ
λ
λ
n
n
n
n
n
C
C
C
C
+
+
+
+
+
−
−
−
*
*
*
*
1
1
2
2
1
0
Κ
=
.
(4)
Далее приравниваем коэффициенты (3) и (4) при одинаковых степенях
λ
, т.е.
C
C k
i
i
i
*
( ),
,
=
= 1 n
.
(5)
Соотношение (5) является основным расчетным соотношением для систем любого порядка.
Снова имеем
– неизвестных составляющих матрицы
n m
×
k
и уравнений (5), следовательно
- значений
n
n m
(
− 1)
k
задаются произвольно, а остальные вычисляются из уравнений. Т.е. вычисление
по соотношению (5) свойственны те же сложности, о которых ранее было сказано для корней.
Поэтому для упрощения процедуры синтеза используют преобразование координат, которое
позволяет получить каноническую форму уравнений состояния объекта.
Каноническая форма – это такие уравнения объекта, которые имеют минимальное число ненулевых
элементов.
Преобразование от произвольной формы к канонической называют каноническим преобразованием.
Канонические преобразования
74
Рассмотрим канонические преобразования на примере скалярного объекта:
&
,
,
x
Ax
Bu x R
u R
n
=
+
∈
∈
1
.
Первая каноническая форма
Утверждение: Если объект управляем, то существует такое невырожденное преобразование
координат
~
, det
x
T x
T
=
≠
1
1
0
, что уравнение объекта может быть представлено в
виде 1-й канонической формы:
~
& ~~ ~
x
Ax
Bu
=
+
,
где
,
[ ]
~
,
~
A
a
I
a
a
B
n
n
=
−
−
−
=
−
0
1
0
0
1
1
2
Λ
Λ
I
– единичная диагональная матрица, размерности
.
(
)
n
− 1
Матрица
~
B
имеет один коэффициент
≠ 0
, все остальные элементы =0.
a
i
n
i
(
,
= 1 )
– коэффициенты характеристического уравнения
det(
)
λ
I
A
−
= 0
,
представленного в виде
λ
λ
λ
λ
n
n
n
n
n
a
a
a
a
+
+
+
+
+
−
−
−
1
1
2
2
1
0
Κ
=
.
В качестве матрицы
выбирается матрица
T
1
[
]
1
1
2
1
1
−
−
−
=
=
B
A
B
A
AB
B
P
T
n
Κ
.
Пример:
&
,
x
Ax Bu
=
+
где
A
B
=
−
=
1
1
2
5
2
1
,
,
det(
)
λ
λ
λ
λ
λ
I
A
−
=
−
−
− =
−
+ =
1
1
2
5
6
7
2
0
– характеристическое уравнение объекта.
Составим матрицу управляемости:
[
]
P
B AB
=
=
2 1
1 9
, тогда
T
P
P
1
1
1
9
1
1
2
9
17
1
17
1
17
2
17
=
=
−
−
=
−
−
−
det
,
т.к.
det P
=
− =
18 1 17
~
~
x
T x
x T x
=
⇒
=
−
1
1
равнение:
1
, подставляя в исходное у
{
T x
AT x
Bu
x
T AT x
T Bu
x
Ax
Bu
A
B
1
1
1
1
1
1
1
1
−
−
−
=
+
⇒
=
+
⇒
=
+
~
&
~
~
&
~
~
& ~~ ~
~
~
1 2 3
,
~
A
=
−
−
−
=
−
=
−
9
17
1
17
1
17
2
17
1
1
2
5
2 1
1 9
0
119
17
1
102
17
0
7
1
6
,
~
B
=
−
−
=
9
17
1
17
1
17
2
17
2
1
1
0
.
Вторая каноническая форма
75
Утверждение: Если объект управляем, то существует такое невырожденное преобразование
координат
~
, det
x
T x
T
=
≠
2
2
0
, что уравнение объекта может быть представлено в
виде 2-й канонической формы
[ ]
~
&
~
x
I
a
a
a
x
u
n
n
=
−
−
−
+
−
0
0
1
1
1
2
Λ
Λ
Μ
где
– коэффициенты характеристического уравнения
a
i
det(
)
λ
I
A
−
= 0
,
представленного в виде
λ
λ
λ
λ
n
n
n
n
n
a
a
a
a
+
+
+
+
+
−
−
−
1
1
2
2
1
0
Κ
=
.
В качестве матрицы
используется матрица преобразования вида
T
2
T
M P
2
1
1
=
−
−
где M – вспомогательная матрица, составленная из коэффициентов характеристического уравнения
объекта, матрица M – треу
0
гольная и имеет вид:
M
a
a
a
a
a
n
n
=
2
3
3
1
1
0
1
0
1
0
0
0
Λ
Λ
Μ Μ
Μ Μ
Λ
Λ
Рассмотрим предыдущий численный пример:
Пример:
det(
)
λ
λ
λ
I
A
−
=
−
+ =
2
6
7
равнение
0
– характеристическое у
Составим матрицу
M
:
M
= −
6 1
1
0
.
Найдем матрицу
M
−1
:
M
M
−
=
−
−
−
1
1
0
1
1
6
det
,
т.к.
det M
= −1
, то
M
−
=
1
0 1
1 6
,
{
~
~
~
&
~
~
~
x
T x
x T x
x
T AT x
T Bu
A
B
=
⇒
=
⇒
=
+
−
−
2
2
1
2
2
1
2
1 2
4
3
4
,
T
M P
2
1
1
0 1
1 6
9
17
1
17
1
17
2
17
1
17
2
17
3
17
11
17
=
=
−
−
=
−
−
−
,
T
M P
PM
2
1
1
1
1
2 1
1 9
6 1
1
0
11 2
3
1
−
−
−
−
=
=
=
−
= −
(
)
,
~
A
=
−
−
−
= −
= −
1
17
2
17
3
17
11
17
1
1
2
5
11 2
3
1
0
1
119
17
102
17
0
1
7 6
,
~
B
=
−
=
1
17
2
17
3
17
11
17
2
1
0
1
.
Синтез скалярных систем модальным методом
76
Исходная САУ описывается системой уравнений:
+
=
=
+
=
,
,
,
Dv
kx
u
Cx
y
Bu
Ax
x&
( , , )
,
u y v
R
x R
n
∈
∈
1
.
(1)
Матрицы
A B C
, ,
любого вида.
k
k k
k
n
= [
,
,
1
2
,
]
Κ
– коэффициент усиления регулятора.
Для системы (1) необходимо определить параметры регулятора, обеспечивающего в замкнутой
системе желаемое распределение корней
, которые соответствуют желаемому
характеристическому уравнению:
λ λ
λ
1
2
*
*
,
,
,
Κ
n
*
=
λ
λ
λ
λ
n
n
n
n
n
C
C
C
C
+
+
+
+
+
−
−
−
1
1
2
2
1
0
Κ
.
(2)
От произвольного описания объекта (1) перейдем, с помощью невырожденного преобразования
ко второй канонической форме:
T
2
~
, det
x
T x
T
=
≠
2
2
0
.
Тогда
~
& ~~ ~
x
Ax
Bu
=
+
,
(3)
где
.
[ ]
=
−
−
−
=
−
1
0
~
,
0
~
2
1
1
Μ
Λ
Λ
B
a
a
a
I
A
n
n
Если
, то
v
= 0
u kx
u kT x
=
⇒
=
−
2
1
~
, обозначим
~ ~
~
~
,
~
[ ,
,
,
]
k
kT
k
k k
k
n
=
=
−
2
1
1
2
Κ
.
Подставим в (3)
u
~
& ( ~ ~~)~
x
A Bk
=
+
x
.
(4)
Характеристическое уравнение (4)
det(
~
~~
)
λ
I
A Bk
− −
= 0
,
~
λ
λ
λ
λ
n
n
n
n
n
n
n
a
k
a
k
a
k
a
k
+
−
+
−
+
+
−
+
−
=
−
−
−
−
(~
)
(~
~
)
(~
~
)
(~
~
)
1
1
1
2
2
2
1
1
0
Κ
.
(5)
Приравнивая между собой коэффициенты (5) и желаемого характеристического уравнения при
одинаковых степенях
λ
, получим
C
a
k
i
i
i
i
=
−
= n
~
~
,
,
1
.
(6)
Как видно из (6) при определении коэффициентов регулятора для канонической формы достаточно
определить коэффициенты характеристического уравнения замкнутой системы и коэффициенты
желаемого характеристического уравнения.
Из (6)
~
~
,
,
k
a
C
i
i
i
i
=
−
= 1 n
.
(7)
От
~
k
i
перейдем к реальным
k
k
k T
= ~
2
.
(8)
Итак: Алгоритм синтеза модальным методом.
1. По дифференциальным уравнениям объекта находится характеристическое уравнение.
2. По заданным показателям качества определяется желаемое характеристическое уравнение
замкнутой системы.
3. Выбирается управляющее воздействие в виде обратной связи по состоянию в виде
u kx
=
.
4. Вычисляется матрица преобразования
.
T
2
5. По уравнению (7)
~
~
,
k
a
C
i
i
i
i
=
−
= 1,n
вычисляются коэффициенты преобразованной
матрицы регулятора.
6. Определяются элементы матрицы коэффициента регулятора по выражению (8)
k
k T
= ~
2
.
Пример:
Рассмотрим тот же пример, где
77