Файл: В.М. Волков Математика. Контрольные работы №1, 2, 3 и методические указания к ним для студентов-заочников инженерно-технических спецальностей.pdf

Рис. 5 В декартовой системе координат – это парабола, ветви которой

направлены вверх, а вершина находится в точке (0 ; - 0,25).

При совмещении систем координат линии также совмещаются, что доказывает правильность построения.

4. В задачах № 91-120 предлагается построить по точкам график

функции, заданной параметрически: x = x(t),

y = y(t).

Абсцисса и ордината произвольной точки Μ(x, y) этой линии вы-

ражается через вспомогательную величину t (параметр). В качестве t часто удобно взять угол, образованный радиусом – вектором точки Μ с положительным направлением оси Ox [2, гл.6, п 4, с. 235-237; 6,

гл.1, п 1, с.13-15].

Следует напомнить, что только взятые совместно (в системе) параметрические уравнения x = x(t ) и y = y(t) задают нужную функ-

цию. Типичной ошибкой студентов является раздельное рассмотрение этих уравнений.

Методика построения графика функции, заданной параметрически заключается в следующем: а) через определенные (достаточно малые) промежутки задают значения параметра (ti ); б) рассчитывают

соответствующие им значения абсциссы xi = x(ti ) и ординаты yi = y(ti ), а затем строятся точки Μi (xi , yi ).

По данным табл. 5 строим для каждого значения ti соответствующую точку

Μi (xi , yi ) и соединяем плавной линией

(рис.6).

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 3

В третью контрольную работу включены задачи на нахождение пределов функций и исследование непрерывности функций. Для их решения необходимо проработать литературу: [3, гл.5, п 1,2; 5, гл.13, 14; 6, гл.6, п 1-6; 8, гл.2, п № 211, упр.1-62 ].

Рассмотрим особенности, которые надо учитывать при решении этих задач.

1. В задачах № 1-30 при отыскании предела отношения двух многочленов относительно x , при x → ∞, числитель и знаменатель дроби надо разделить на xn , где n наивысшая степень этих много-

членов [3, гл.5, с. 182, примеры 5-7; 5, гл.13, п 101, примеры 10, 11; 6, гл.6, п 4, примеры 637, 645].

где отличные от нуля числа p и q являются пределами числителя и знаменателя соответственно.

Чтобы избавиться от неопределенности 00 , следует дробь со-

кратить на (x - x0 ) [3, гл.5, правило на с.182, пример 4 на с. 181; 5,

гл.13, с.254, пример 4; 6, гл.6, п 4, примеры 638-640; 8, гл.2, с. 45,

пример 4].

Здесь получается неопределенность 00 . Разложим числитель и знаме-

натель на множители и сократим на (x - 4).

3. При нахождении предела от дробно-иррациональной функции полезным приемом является перевод иррациональности из числителя в знаменатель или наоборот [5, гл.13, п 101,с. 254 , примеры 5,6; 6,

гл.6, п 4, примеры 641, 642, 647 ].

4. При вычислении пределов отношений, содержащих тригонометрические функции, во многих случаях используют первый заме-

[3, гл.5, п 1, с. 185, примеры 1,2 ; 5, гл. 13, п 101, с. 256, примеры 7-9; 6, гл. 6, п 4, примеры 643, 644; 8, гл.2, п 7, с. 48, примеры 1-4].

Пример.