Файл: В.М. Волков Математика. Программа, контрольные работы №7, 8 и методические указания для студентов-заочников инженерно-технических специальностей 2 курса.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 03.06.2024

Просмотров: 433

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

20

которое определяется по табл. 3, а Y - частное решение неоднородного уравнения, которое определяется по табл. 4.

Для определения y0 составим характеристическое уравнение

k2 + 8k + 16 = 0 .

Его корни k1 = k2 = −4 . Следовательно, y0 = e−4x (c1 + c2x) .

Так как правая часть уравнения f (x) = 2xe−4x , то Y = x2 e−4x (Ax + B).

Здесь a = −4, Pn (x)= 2x, r = 2 .

Y = e−4x (Ax3 + Bx2 ).

Y′ = −4e−4x (Ax3 + Bx2 )+ e−4x (3Ax2 + 2Bx)= = e−4x (− 4Ax3 + x2 (− 4B + 3A)+ 2Bx).

Y′′ = −4e

−4x

(− 4Ax3 + x2 (− 4B + 3A)+ 2Bx)+ e−4x (12Ax2 + 2x(− 4B + 3A)+

+ 2B) = e−4x (16Ax3 + x2 (16B − 24A)+ x(− 16B + 6A)+ 2B).

Подставив эти значения в наше уравнение, получим

e−4x (16Ax3 + x2 (16B − 24A)+ x(− 16B + 6A)+ 2B)+ 8e−4x (−4Ax3 +

+ x2 (− 4B + 3A)+ 2Bx) + 16e−4x (Ax3 + Bx2 )= 2xe−4x .

Сократим на e−4x

и сгруппируем члены с x3 , x2 , x, x0 :

x3 (16A − 32A + 16A)+ x2 (16B − 24A − 32B + 24A + 16B)+

+ x − 16B + 6A + 16B

)

+ 2B = 2x.

(

или

6Ax + 2B = 2x .

Приравниваем коэффициенты многочленов, стоящих в левой и правой частях равенства, при одинаковых степенях x . Получаем систему уравнений для определения A, B .

6A = 2,

1

,

A =

3

2B

= 0.

B = 0.

Итак, Y = e−4x 13 x3 .

Общее решение неоднородного уравнения имеет вид

y = e−4x (c1 + c2x)+ e−4x 13x3 , отсюда

21

y′ = −4e−4x (c

1

+ c

2

x)+ e−4x c

2

−

4e−4x

1

3

x3

+ e−4x x2 .

Подставляя в эти выражения начальные

условия x = 0, y = 1, y′ = 2 ,

найдём c1 , c2 .

1 = c1 ,

c1 = 1,

= −4c1 + c2 .

= 6.

2

c2

Итак, искомое решение имеет вид

y = e−4x (1 + 6x)+ e−4x 1

3

x3 .

Пример. Найти частное решение дифференциального уравнения

y′′ + 6y′ + 13y = 4sin5x ,

удовлетворяющее начальным условиям y(0)= 0,235;

y′(0)= 0 .

Решение. Общее решение неоднородного уравнения можно записать в виде y = y0 + Y , где y0 - общее решение однородного

уравнения

y′′ + 6y′ + 13y = 0 ,

которое определяется по табл. 3, а Y - частное решение неоднородного уравнения, которое определяется по табл. 4.

Для определения y0 составим характеристическое уравнение

k2 + 6k + 13 = 0 .

Его корни k1,2

= − 6 ±

36 − 52 = − 6 ±

− 16 =

− 6 ± 4i

= −3

± 2i .

2

2

2

Согласно табл. 3 α = −3, β = 2, то есть

y0 = e−3x (c1 cos2x + c2 sin 2x).

f (x)= 4sin5x , то

Для определения Y используем табл.

4. Так как

a = 0, b = 5, P0 (x)= 0, Q0 (x)= 4, r = 0 . Следовательно:

Y = A cos5x + B sin5x .

Для определения A, B подставим Y в первоначальное уравнение

Y′ = −5A sin5x + 5B cos5x ,

Y′′ = −25A cos5x − 25B sin5x .

Тогда уравнение примет вид

(

)

−

25A cos5x − 25B sin5x +

6 − 5A sin5x + 5Bcos5x

+

+

(

)

= 4sin5x.

13 A cos5x + B sin5x

Приравнивая коэффициенты при cos5x и sin5x в левой и правой частях этого уравнения, получим систему

22

− 12A + 30B = 0,

A =

30

B =

5

B,

− 30

5

B − 12B = 4, B = −0,115,

= 4.

12

2

2

− 30A − 12B

A = 52 (− 0,115)= −0,046. Y = −0,115cos5x − 0,046sin5x .

Общее решение нашего уравнения имеет вид

y = e−3x (c1 cos2x + c2 sin 2x)− 0,115cos5x − 0,046sin5x .

Отсюда

y′ = −3e−3x (c1 cos2x + c2 sin 2x)+ e−3x (− 2c1 sin 2x + 2c2 cos2x) + 0,575sin5x − 0,23cos5x.

Найдём из начальных условий y(0)= 0,235;

y′(0)= 0 постоянные c1 , c2 .

0,235 = c1

− 0,115,

c1 = 0,35,

0 = −3c1 + 2c2 − 0,23.

c2 = 0,64.

Итак, искомое решение имеет вид

y = e−3x (0,35cos 2x + 0,64sin 2x)− 0,115cos5x − 0,046sin5x.

При решении задач № 91-120 рекомендуется изучить литературу [1,

с. 107-109, 111-113; 3, с. 191-193, 199; 4, с. 561-563, 585-587; 5, с. 411420]. Наибольшую трудность представляет составление дифференциальных уравнений, описывающих данную линию.

Задачи решаются с использованием геометрического смысла производной y′ = tgα , где α - угол наклона касательной к оси OX.

Пусть M(x,y) - точка касания, принадлежащая искомой кривой

(рис.8,9,10). OA=x, AM=y, CM - касательная к кривой

Пример. Кривая обладает тем свойством, что отрезок нормали, заключённой между осями координат и проведённый в любой точке кривой, делится этой точкой пополам. Записать уравнение кривой, проходящей через точку M0 (0,1).

Решение. Пусть M(x, y)

- произвольная точка искомой кривой

(рис. 11). CM - касательная, tgα = y′,

ED - нормаль, β = π − α.

По условию EM = MD, OA = AD,

OK = KE, OD = 2x,

OE = 2y,

OE = tgβ,

2y = tg(

π − α)= ctgα =

1

=

1

.

tgα

OD

2x

y′

Получаем дифференциальное уравнение кривой

y2

= x2

y =

1

, y′ = x

, dy

= x

,

ydy = xdx,

+ c.

y′

2

x

y

dx

y

2

23

y

M(x, y)

K

B

α

C

O

A

x

Рис.8

tgα = AMAC , AC = AMtgα = yy′ OC = AC − x = yy′ − x,

OBOC = tgα = y′,

OB = OC y′ = y − xy′.

y

y

K

M(x, y)

B

M(x, y)

K

O

α

α

B

C

A

x

O

A

C

x

y

Рис.9

Рис.10

AC =

,

AM

y′

AC = tg(π − α)= −tgα ,

OC = x −

AC = x −

y

,

AC = −

y

,

y′

y′

OB = tgα = y′,

OC = x +

AC = x −

y

,

OC

y′

OB = xy′ − y .

OB = −y′, OB = −xy′ + y .

OC

OB - отрезок, отсекаемый касательной на оси oy . OC - отрезок, отсекаемый касательной на оси ox .

OM - радиус-вектор точки касания M, OM = x2 + y2 .

E

y

M(x, y)

K

β

α

O

C

A

D

x

Рис. 11

Найдём c из условия, что линия проходит через точку M0 (0,1).

1

= 0 + c,

c =

1 .

2

2

Уравнение искомой кривой имеет вид

y2

= x2

+ 1 или

y2

− x2 = 1.

2

2

2

24

Контрольная работа №7

Интегралы

1-30. Вычислить неопределённые интегралы

1.

a)∫

dx

,

3 3x + 1

2.

a)

∫

dx

,

x ln2 x

3.

a)

∫

xdx

,

x4 + 1

4.

a)

∫

dx

,

4x2 +

7

5.

a)

∫x cos(x2 )dx,

6.

a)

∫

sinx cosxdx,

б)∫

б)∫

б)∫

б)∫

б)∫

б)∫

arccosx dx.

x +1

dx.

x + 5

ln x

dx.

3 x

1

x − 3 −1 dx .

1 + x

dx.

1 +

x

1

dx.

(x +12) x + 3

7.

a)

∫x2 x3 + 5 dx,

б)∫

x

−1

dx .

1 +

(x −1)3

8.

a)

∫

(2lnx + 3)3 dx,

б)∫arcsinx dx.

x

б)∫x arctgx dx .

9.

xdx

a)

∫

,

4x2 + 7

10.

a)

∫

e2xdx

,

б)∫

1 − x dx .

e4x + 5

x + 3

x

11.

a)

∫ e 2x+1dx

,

б)∫

1 −

x + 2

dx .

2x + 1

3

(x + 2)− 2 x +

2

12.

∫x(x2 + 1)

б)∫sin

2

x dx .

a)

2

dx,

x

13.

a)

∫cos(sinx) cosxdx,

б)∫

1 +

x + 4

dx .

x +

5

14.

sinxdx

б)∫(x + 2)ln x dx .

a)

∫

,

4 − cosx

б)∫x2 arcsinx dx .

15.

a)

∫

3 − ln 2x dx

,

x

Смотрите также файлы