Файл: Е.Н. Грибанов Высшая математика. Контрольные работы №4, 5, 6 и методические указания к ним для студентов-заочников инженерно-технических специальностей.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 03.06.2024
Просмотров: 560
Скачиваний: 0
- 20 - |
||||||||||||
2xy |
+ |
− 2xy |
+ |
(x2 + |
y2)2 |
y2 − x2 |
= y2 − x2 . Получаем |
|||||
(x2 + y2 )2 |
(x2 + y2 )2 |
(x2 + y2 )2 |
||||||||||
тождество: |
y2 − |
x2 = |
y2 − |
x2 , т. е. функция z удовлетворяет уравне- |
||||||||
нию.
В задачах № 61-90 в первом пункте надо вычислить значение функции z в точке B, непосредственно и с помощью дифференциала
оценить возникающую относительную погрешность. Составить уравнение касательной плоскости.
Пример. Дана функция z = f (x, y) и |
две точки A(x0 , y0) и |
B(x1, y1) . Требуется: 1) вычислить значение z1 |
в точке В; 2) вычислить |
приближённое значение z11 функции в точке В, исходя из значения z0
функции в точке А и заменив приращение функции при переходе от точки А к точке В дифференциалом; 3) оценить в процентах относительную погрешность, получающуюся при замене приращения функции
её дифференциалом; 4) |
составить уравнение |
касательной плоскости к |
|
поверхности z = |
f (x, y) |
в точке С(x0 , y0 ,z0) |
. Используем следующие |
данные z = x2 + |
xy − y, |
A(1;2) , B(1,03;1,98) . |
|
Решение. 1. Вычисляем z = z(B) = (1.03) 2 |
+ 1,03 1,98 − 1,98 = 1,1203; |
||
1 |
|||
2. При вычисление, во втором пункте используем формулу для приближённых вычислений с помощью дифференциала:
z(x0 + ∆ x; y0 + ∆ y) =
A(x0 ; y0) и B(x1; y1) z(x0 ; y0) = z( A) = 12 +
z( x |
0 |
; y ) |
+ |
∂ |
z |
∆ |
x + |
∂ |
z |
∆ y , полагая |
||||||
0 |
∂ |
x |
A |
∂ |
y |
A |
||||||||||
= B( x0 + |
y) |
|||||||||||||||
∆ |
x; y |
0 + ∆ |
, тогда |
|||||||||||||
1 2 |
− |
2 = |
1. |
|||||||||||||
∂ z |
= |
(2x + y) |
A = 2 + 2 = 4, |
∂ z |
= |
(x − 1) |
A = 0, |
|||||
∂ x |
A |
∂ y |
A |
|||||||||
∆ x = x1 − x0 = 1,03 − 1 = 0,03, ∆ y = y1 − y0 = 1,98 − 2 = − 0,02.
Подставив полученные значения в формулу, получим z11 ≈ 1+ 4 0,03 + 0 (− 0,02) ≈ 1,12
- 21 - |
||||||||||
z |
− z1 |
|||||||||
Относительную погрешность найдём по формуле δ = |
1 |
1 |
100%, |
|||||||
z1 |
||||||||||
1 |
||||||||||
подставляя полученные значения имеем δ = |
1,1203 − 1,12 |
100% ≈ 0,03%. |
||||||||
1,12 |
||||||||||
3. Для нахождения касательной плоскости используем её уравнение в
виде: |
∂ |
z |
(x − |
x |
0 |
) + |
∂ |
z |
( y − |
y |
0 |
) − ( z − |
z ) |
= 0. Подставив найденные |
||||
∂ |
x |
A |
∂ |
y |
A |
0 |
||||||||||||
(x − |
1) + |
0 ( y − |
2) −( |
z − )1 = 0 или |
||||||||||||||
ранее значения, получим 4 |
||||||||||||||||||
4x − z − |
3 = |
0. |
||||||||||||||||
Для решения задач № 91-120 необходимо знать, что функция, дифференцируемая в ограниченной замкнутой области, достигает своего наибольшего (наименьшего) значения либо в критических точках, лежащих в области, либо на границах, либо в её вершинах. [2, гл. VIII, §
17,с.280-286; 3, гл. VI, § 9, 10, с. 266-275; 5, гл. VII, § 4, с. 221-225; 7, гл. IX, § 7, с. 41-47].
Пример. Найти наибольшее и наименьшее значения функции
z = x2 + y2 − x y + x + мыми x = 0, y = 0, x +
y заданной в треугольнике, ограниченном пря- y = 3.
Решение. Построим указанную область (рис.12). Найдём критические точки как решение системы
∂ |
z |
= |
0 |
|||
∂ |
x |
|||||
. Найдём частные производ- |
||||||
∂ |
z |
|||||
= |
0 |
|||||
∂ |
y |
|||||
ные и составим систему уравнений
∂ |
z |
= |
2x − |
y + 1 = 0, |
|||
∂ |
x |
||||||
∂ z |
|||||||
= 2 y − x + 1 = 0, |
|||||||
∂ |
y |
||||||
решая полученную систему, находим критическую точку P1(1;1) , лежащую внутри области.
Исследуем функцию на границах области.
- 22 - |
|||||||||||
На AO имеем y = |
0,− |
3 ≤ |
x ≤ 0 z = x2 + x |
z′ = |
2x + |
1. Приравнивая |
|||||
к нулю последнее выражение находим 2x + 1 = |
0 |
x = |
− |
1 |
и получаем |
||||||
2 |
|||||||||||
1 |
|||||||||||
координаты точки |
P2 |
− |
;0 , принадлежащей области. |
||||||||
2 |
|||||||||||
На OB имеем x = 0 ,− 3 ≤ y ≤ |
0 |
z = y 2 + y z ′ = 2 y + 1 отсюда |
||||||||||||
1 |
||||||||||||||
получаем координаты точки P3 0;− |
, принадлежащей области. |
|||||||||||||
На AB имеем |
2 |
|||||||||||||
y = − 3 − x , − 3 ≤ x ≤ 0 z = x2 + (− 3 − x)2 − x( − 3 − x) + x + |
||||||||||||||
+ (− 3 − x) = x2 + 9 + 6x + x2 + 3x + x2 + x − 3 − x = 3x2 + 9x + 6 |
||||||||||||||
z′ = |
6x + |
9. |
3 |
3 |
||||||||||
Отсюда получаем точку P4 − |
;− |
, принадлежащую области. Найдём |
||||||||||||
2 |
2 |
|||||||||||||
значения функции в полученных точках и в вершинах области A(− 3;0) , |
||||||||||||||
B(0;− 3) , O( |
0;0) . |
|||||||||||||
z(P ) = |
z( − 1;− 1) = ( − )1 2 +( − )1 2 −( −)1( −) 1(+ )− 1( + )− 1 = − 1 |
|||||||||||||
1 |
z( − |
0,5;0) = − 0,25,z( P) |
= (z |
0;− 0,)5 = − 0,25, |
||||||||||
z(P ) = |
||||||||||||||
2 |
3 |
|||||||||||||
z(P4) = |
3 |
3 |
||||||||||||
z − |
;− |
= 0,75,z(A) = z( − |
3;0) = 6, |
|||||||||||
2 |
2 |
|||||||||||||
z(B) = z( 0;− 3) = 6,z( O) = (z 0;)0 = 0.
Выберем из этих значений наибольшее и наименьшее. Получаем |
|||||||||||||||
zнаиб = |
6 в точках A(− |
3;0) и B(0;− 3) , а zнаим = − 1 в точке P1(− 1;− 1) . |
|||||||||||||
При решении задач № 121-150 необходимо использовать знание |
|||||||||||||||
скалярного поля [2, гл. IX, § 14, 15, с. 273-278; 3, гл. VII, § 1, с. 343-348; |
|||||||||||||||
7, гл. IX, § 6, с. 31-38]. |
|||||||||||||||
Пример. Найти gradz в точке A(− 1;3) и производную по направ- |
|||||||||||||||
! |
! |
+ |
! |
3ln(x2 + y). |
|||||||||||
лению вектора a = |
− i |
3 j , если z = |
|||||||||||||
Решение. Градиент в точке A(− |
1;3) найдём по формуле |
||||||||||||||
∂ |
z |
! |
∂ |
z |
|||||||||||
! |
|||||||||||||||
gradz |
= |
i + |
j , для этого вычислим значения частных про- |
||||||||||||
∂ |
x |
∂ |
y |
||||||||||||
A |
A |
A |
|||||||||||||
изводных
- 23 - |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
∂ z |
= |
3 |
2x |
= |
− |
6 |
= |
− |
3 |
, |
∂ |
z |
= |
3 |
1 |
= |
3 |
, тогда градиент |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
∂ x |
x2 + y |
4 |
2 |
∂ y |
x2 + y |
4 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
A |
A |
A |
A |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3 |
! |
3 |
! |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
равен gradz |
= |
− |
i |
+ |
j |
. Производную по направлению найдём по |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
A |
2 |
4 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
z |
z |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
формуле |
∂ |
z |
= |
∂ |
cosα |
+ |
∂ |
cos β , где |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
! |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
y |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
∂ |
a |
A |
∂ |
x |
A |
∂ |
A |
a y |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
cosα |
= |
a x |
= |
− 1 |
= |
− |
1 |
и cos β = |
= |
3 |
, поэтому производ- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
! |
(− 1)2 + ( |
3) |
! |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
a |
2 |
2 |
a |
2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
∂ |
z |
= |
− |
3 |
− |
1 |
3 |
3 |
= |
6 + 3 3 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ная по направлению равна |
. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
! |
+ |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
∂ |
a |
A |
2 |
2 |
4 |
2 |
8 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ
Контрольная работа № 4
ПРОИЗВОДНАЯ И ЕЁ ПРИЛОЖЕНИЯ 1-30. Найти дифференциалы данных функций в пунктах (а, б, в, г) и производную от неявной функции (д).
1. а) y = |
x x + |
2x − |
ctg3x, |
б) y = |
4 + lnx2 |
, |
|||||||||||
e3x |
|||||||||||||||||
в) y= 2 x sin |
x + π |
− |
x + 7 , |
г ) y= |
x sin x , |
||||||||||||
3 |
|||||||||||||||||
д) x sin y + |
y2 − |
x = |
2. |
||||||||||||||
2. а)y = |
x + |
1 |
10 |
− |
x + |
1 |
|||||||||||
, б) y = |
e2 x+ 3 x2 |
2 |
, |
||||||||||||||
x |
|||||||||||||||||
в ) y = |
1 |
+ |
tg3x |
, г) y = |
xe |
x |
, д ) x ln y |
+ x2 + y = 0. |
|||||||||
cos |
π |
(x − |
4) |
||||||||||||||
2 |
|||||||||||||||||
- 24 - |
|||||||||||||||||||||||||||||
3. |
а) y = |
sin2 x |
ctg |
x |
, |
б) y = 2x − 3 x6 − |
8 , |
||||||||||||||||||||||
3 |
2 |
||||||||||||||||||||||||||||
в) y = |
e− |
x2 + 4 , |
г) y = (cos x) x , |
д ) e xy − |
x2 + |
y2 = |
0. |
||||||||||||||||||||||
ln x |
π |
π |
|||||||||||||||||||||||||||
4. |
а )y = |
5x + |
б)y = |
3 + 2 tg |
x − |
||||||||||||||||||||||||
x arctg |
4 |
, |
2 |
4 |
, |
||||||||||||||||||||||||
в)y = |
1+ |
sin3x |
, |
г)y = |
(sin3x) |
x , |
д)x y2 − |
2 y + |
ln x2 = |
7. |
|||||||||||||||||||
1+ |
cos x |
x2)4 , |
|||||||||||||||||||||||||||
5. |
а )y = |
(sin x + |
б )y = 34 - x 2 arcsin x − |
2 x, |
|||||||||||||||||||||||||
в)y = |
cos2 3x |
, |
г )y = |
(tgx) x2 , |
д)x3 − arctgy + x y = |
1. |
|||||||||||||||||||||||
x3 − 1 |
б )y = ln(x2 + |
4)− |
x sin2 2x , |
||||||||||||||||||||||||||
6. |
а )y = |
4 x − |
arcsin x , |
||||||||||||||||||||||||||
в)y = |
cos x2 − 3x |
, |
г )y = |
(x)2tgx , |
д ) |
y |
− arctgx + |
e y |
= 0. |
||||||||||||||||||||
x |
|||||||||||||||||||||||||||||
6 x− 1 |
x |
||||||||||||||||||||||||||||
7. |
а )y = |
x3 arccos x − |
7 x , |
б)y = |
5 x tg |
− 2, |
|||||||||||||||||||||||
ln(3x − 1) |
(cos x) x2 , |
4 |
|||||||||||||||||||||||||||
в)y = |
, |
г)y = |
д)x2 y2 − |
sin y + |
x = |
3. |
|||||||||||||||||||||||
sin 2x |
|||||||||||||||||||||||||||||
x |
|||||||||||||||||||||||||||||
8. |
а )y = |
3 1− |
, |
б)y = sin2 x cos x2 , |
|||||||||||||||||||||||||
1+ |
x |
||||||||||||||||||||||||||||
2 |
x |
(arcsin x) |
x , |
д)(x + |
y)2 − |
||||||||||||||||||||||||
в)y = |
ln x |
+ 1, |
г)y = |
arctgy = 7. |
|||||||||||||||||||||||||
9. |
а )y = |
arcsin4x |
, |
б )y = x 10 |
x − 7 x2 , |
||||||||||||||||||||||||
1− |
4x |
(1+ x2)x , |
д)3ln( x2 + y2) |
||||||||||||||||||||||||||
в)y = |
sin2 x − |
ln(x + |
2) , |
г )y = |
− e2 x = 0. |
||||||||||||||||||||||||
10. |
а )y |
= |
1 |
tg3 x − |
ctgx + |
x , |
б)y = eax cos(bx + |
c) , |
|||||||||||||||||||||
3 |
|||||||||||||||||||||||||||||
в)y = |
arccos x , |
г)y = |
(1− |
x)artgx , |
д)6 x + y − sin y2 + |
x = |
0. |
||||||||||||||||||||||
1− x2 |
|||||||||||||||||||||||||||||