Файл: Е.Н. Грибанов Теория вероятностей и математическая статистика. Методические указания для студентов всех специальностей.pdf

11

личного качества. Изделие может быть отличного качества, если

7. Формула полной вероятности Т. Если событие А может наступить только при условии по-

явления одного из событий H1, H2, …. Hn , образующих полную группу несовместных событий, то вероятность события А равна сумме произведений вероятностей каждого из событий H1, H2, …. Hn на соответствующую условную вероятность события А,

p(A)= ∑n p(Hk ) pHk (A).

k =1

Эту формулу называют формулой полной вероятности, а

события H1, H2, …. Hn, причём сумма вероятностей гипотез равна

единице, то есть ∑n p(Hk )=1.

k =1

Доказательство. Формулу полной вероятности можно вывести на основании теорем умножения и сложения вероятностей. Согласно условию, событие А можно представить в виде суммы несовместных событий A = H1 A + H2 A +K+ Hn A. По теореме

сложения вероятностей несовместных событий можно записать p(A)= p(H1 A)+ p(H2 A)+K+ p(Hn A), применяя теорему умножения к каждому слагаемому получаем

p(A)= p(H1) pH1 (A)+ p(H2 ) pH1 (A)+K+ p(Hn ) pH n (A)

или p(A)= ∑n p(Hk ) pHk (A).

k =1

Примечание. Формула полной вероятности используется до совершения события.

Пример 11. Три завода производят одинаковые изделия, которые поступают на один склад, причём первый завод производит 30%, второй 20% и третий 50% всех поступивших на склад деталей. Процент брака для первого завода 5%, для второго 8% и для третьего 10%. Найти вероятность того, что наудачу взятая со склада деталь окажется браковочной.

12

Решение. Обозначим события: А − деталь бракованная, так как вероятность этого события зависит от того, на каком заводе она произведена, то добавим следующие гипотезы: Н1− деталь произведена на первом заводе, Н2− на втором заводе, Н3 − а треть-

муле полной вероятности равна

p(A)= ∑3 p(Hk ) pHk (A)= 0,3 0,05 +0,2 0,08 +0,5 0,1 = 0,081.

k =1

8. Формула Байеса Формула Байеса применяется при решении практических за-

дач, когда событие А, появляющееся совместно с каким-либо из событий H1, H2, …. Hn которые образуют полную группу несовместных событий (гипотез), произошло и требуется произвести количественную переоценку вероятностей событий H1, H2, …. Hn. Априорные (до опыта) вероятности p(H1); p(H2 );Kp(Hn ) из-

вестны. Требуется вычислить апостериорные (после опыта), вероятности, то есть, нужно найти условные вероятности pA (H1); pA (H2 );KpA (Hn ).

Пусть событие А может наступить при условии появления одной из гипотез H1, H2, …. Hn. Вероятность совместного появле-

Полученные формулы носят название формулы Байеса. Пример 12. В первой группе 20, во второй 25, в третьей

группе 15 студентов. Вероятность сдать экзамен на отлично для студентов первой группы равна 0,6, для студентов второй – 0,3, для третьей – 0,4. Наудачу взятый студент сдал экзамен на отлично. Найти вероятность того, что он из третьей группы.

13

Решение. Обозначим события: А − наудачу взятый студент сдал экзамен на отлично, Н1 – студент из первой группы, Н2 – студент из второй группы, Н3 – студент из третьей группы. По

9. Схема независимых испытаний. Формула Бернулли

На практике приходится сталкиваться с задачами, которые можно представить в виде многократно повторяющихся испытаний, в результате каждого из которых может появиться или не появиться событие А. При этом представляет интерес не исход каждого отдельного испытания, а общее число появлений события А в результате определённого количества испытаний. В подобных задачах нужно уметь определять вероятность любого числа m появлений события А в результате n испытаний. Рассмотрим случай независимых испытаний.

О. 1. Испытания называются независимыми, если результат одного испытания не зависит от результатов других испытаний и вероятность появления события А в каждом испытании постоянна. Пусть происходит n независимых испытаний, в каждом из которых событие А может либо появиться с вероятностью р, либо не появиться с вероятностью q=1-p. Рассмотрим событие Вm , состоящее в том, что событие А в этих n испытаниях появилось ровно m раз и, следовательно, не появилось m-n раз. Обозначим через

Ak (k =1, 2,K,n) появление события А, через Ak − не появление события А в k-м испытании. По условию имеем

14

p(A1)= p(A2 )=K= p(An )= p и p(A1)= p(A2 )=K= p(An )= q .

Событие может появиться m раз в различных последовательностях или комбинациях, чередуясь с противоположным событием A . Число возможных комбинаций такого рода равно числу со-

четаний из n элементов по m, то есть Сnm . Следовательно, событие Вm можно представить в виде суммы различных комбинаций, несовместных между собой, причём число слагаемых равно Сnm .

Вm = A1 A2 K Am Am+1 K An + A1 A2 A3 ×K

× Am+1 Am+2 K An +K+ A1 A2 K An−m An−m+1 K An,

где в каждое слагаемое событие А входит m раз, а событие А входит n −m раз. Вероятность каждой последовательности по теоре-

ме умножения равна pm qn−m . Так как общее число таких последовательностей равно Сnm , то, используя теорему сложения

для несовместных событий, получим вероятность события Вm, равную Сnm pmqn−m или pn (m)= Cnm pmqn−m . Последняя носит

название формулы Бернулли.

Пример 13. Найти вероятность того, что при пяти бросаниях монеты герб появится один раз.

Решение. Вероятность появления герба при одном бросании монеты равна p = 12 , вероятность его не появления q = 12 . Тогда

10. Наивероятнейшее число появления событий

О.1. Наивероятнейшим числом появления события А в n неза-

висимых испытаниях называется число m0, для которого вероятность, соответствующая этому числу, не меньше вероятности каждого из остальных возможных чисел появления события А.

По определению pn (m0 )≥ pn (m0 +1); pn (m0 )≥ pn (m0 −1). Из первого неравенства Сnm0 pm0 qn−m0 ≥ Cnm0 +1 pm0 +1qn−m0 −1. От-