Файл: Е.Н. Грибанов Теория вероятностей и математическая статистика. Методические указания для студентов специальности 230500 - Социальный сервис и туризм.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 03.06.2024
Просмотров: 971
Скачиваний: 1
-81-
Правило применения критерия 2сводится к следующему. Рассчитав теоретические частоты n pi и вычислив значение 2p , затем выбрав
уровень значимости критерия α , по таблице находим 2 (k ;α). Если2p > 2 (k ;α), то гипотезу H0 отвергают, если 2p ≤ 2 (k ;α), то
гипотезу принимают или, другими словами нет оснований отвергнуть гипотезу о том, что генеральная совокупность подчинена закону распределения F (x). В заключение отметим, что необходимым услови-
ем применения критерия Пирсона является наличие в каждом из интервалов по меньшей мере 5-10 наблюдений. Если количество наблюдений мало, то нужно объединить интервалы, содержащие частоты менее 5.
Пример 48. На телефонной станции производились наблюдения над числом X неправильных соединений в минуту. Наблюдения в течение часа дали следующие результаты: 3; 1; 3; 1; 4; 2; 2; 4; 0; 3; 0; 2; 2; 0; 2; 1; 4; 3; 3; 1; 4; 2; 2; 1; 1; 2; 1; 0; 3; 4; 1; 3; 2; 7; 2; 0; 0; 1; 3; 3; 1; 2; 4; 2; 0; 2; 3; 1; 2; 5; 1; 1; 0; 1; 1; 2; 2; 1; 1; 5. Определить выбо-
рочную среднюю и дисперсию неправильных соединений в минуту и проверить выполнение основного условия для распределения Пуас-
сона[M (x)=σ 2 ]. Найти теоретическое распределение Пуассона и проверить степень согласия теоретического и эмпирического распре-
делений по критерию 2 Пирсона при уровне значимости α = 0,05 . Решение. Упорядочим результаты наблюдений, записав их в
таблицу:
xi |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
mi |
8 |
17 |
16 |
10 |
6 |
2 |
0 |
1 |
Найдём
x = n1 ∑xi mi = 601 (0 8 +1 17 +2 16+3 10+4 6 +5 2 +6 0 +7 1)=2.
Вычислим выборочную дисперсию по формуле S2 = x2 −(x)2, где x2 =n1 ∑xi2 mi =601 (0 8+1 17+4 16+9 10+16 6+25 2+36 0+49 1)=6,1,
-82-
тогда S 2 (x)= 6,1−4 = 2,1. Необходимое условие для распределения
Пуассона практически выполняется. Запишем теоретический закон распределения Пуассона, используя вместо математического ожида-
ния его оценку x : P(m)=2mm!e−2. Найдём теоретические частоты:
′ |
=n P(0)=60 |
20 |
e |
−2 |
′ |
=n P(1)=60 |
2 |
e |
−2 |
||||||||||||||||||||
m0 |
≈8,1; m1 |
≈16,24; |
|||||||||||||||||||||||||||
0! |
1 |
||||||||||||||||||||||||||||
22 |
23 |
||||||||||||||||||||||||||||
′ |
−2 |
′ |
−2 |
||||||||||||||||||||||||||
m2 |
= n P(2)= 60 |
e |
≈16,24; m3 = n P(3)= 60 |
e |
≈10,62 |
; |
|||||||||||||||||||||||
2! |
3! |
||||||||||||||||||||||||||||
′ |
24 |
−2 |
′ |
25 |
−2 |
||||||||||||||||||||||||
m4 |
= n P(4)= 60 |
e |
≈ 5,41; m5 = n P(5)= |
60 |
e |
≈ 2,17 ; |
|||||||||||||||||||||||
4! |
5! |
||||||||||||||||||||||||||||
m6′ = n P(6)= 60 |
26 |
e |
−2 ≈ 0,72; m7′ = n P(7)= |
60 |
27 |
e−2 |
≈ 0,2 . |
||||||||||||||||||||||
6! |
7! |
||||||||||||||||||||||||||||
Так как последних три интервала содержат частоты менее пяти, то объединим их с предыдущим. Получим
m i |
8 |
17 |
16 |
10 |
9 |
||||||||||||||
m'i |
8,1 |
16,2 |
16,2 |
10,6 |
8,5 |
||||||||||||||
Вычислим значение |
|||||||||||||||||||
2 |
(mi −mi′ )2 |
(8,1−8)2 |
(17 −16,2)2 |
(16 |
−16,2)2 |
||||||||||||||
p = ∑ |
mi′ |
= |
+ |
+ |
+ |
||||||||||||||
8,1 |
16,2 |
16,2 |
|||||||||||||||||
+ |
(10 −10,6)2 |
+ |
(9 −8,5)2 ≈ 0,11 |
||||||||||||||||
10,6 |
8,5 |
||||||||||||||||||
Примем уровень значимости α = 0,05. Количество интервалов после объединения l = 5. По выборке вычислен один параметр, которым определяется закон Пирсона - математическое ожидание, следовательно: r =1. Поэтому число степеней свободы k = l −r −1 = 5 −1−1 = 3. По таблице (см. приложение табл.4) находим
2 (3;0,05)= 7,8. Имеем 7,8>0,11, следовательно, нет оснований от-
вергнуть нулевую гипотезу или, другими словами, при уровне значимости α = 0,05 можно считать, что генеральная совокупность распределена по закону Пуассона.
-83-
Пример 49. Проверить гипотезу о нормальном распределении для следующего интервального ряда:
xi |
12 |
16 |
20 |
24 |
28 |
32 |
mi |
10 |
14 |
22 |
24 |
16 |
14 |
Решение. Найдём выборочное среднее по формуле
x= n1 ∑xi mi =
=1001 (12 10 +16 14 +20 22 +24 24 +28 16 +32 14)= 22,56
и исправленную дисперсию по формуле S)2 = |
n |
−( |
)2 |
|||||
x2 |
, где |
|||||||
x |
||||||||
n −1 |
||||||||
x2 = n1 ∑xi mi =
=1001 (122 10 +162 14 +202 22 +242 24 +282 16 +322 14)=
=545,28 S) =10099 (545,28 −22,562 )≈ 36,693 S) ≈ 6,0575.
Найдём теоретические частоты по формулам:
n h |
x |
− |
12−22,56 |
||||||||||||||
i |
x |
||||||||||||||||
m′ |
≈ |
) |
ϕ |
) |
≈ 66 |
ϕ |
= 66 ϕ(1,74)≈ 66 |
0,0878 |
≈5,8, |
||||||||
1 |
S |
S |
6,0575 |
||||||||||||||
′ |
16−22,56 |
≈ 66 ϕ(1,08)≈ 66 0,2227≈14,7, |
|||||||||||||||
m2 |
≈ 66 ϕ |
||||||||||||||||
6,0575 |
|||||||||||||||||
m3′ |
20 −22,56 |
≈ 66 ϕ(0,42)≈ 66 0,3652 ≈ 24,1, |
|||||||||||||||
≈ 66 ϕ |
|||||||||||||||||
6,0575 |
|||||||||||||||||
m4′ ≈ 66 ϕ 24 −22,56 ≈ 66 ϕ(0,24)≈ 66 0,3876 ≈ 25,6,
6,0575
m5′ |
28 −22,56 |
≈ 66 ϕ(0,90)≈ 66 0,2661 ≈17,6, |
||||
≈ 66 ϕ |
||||||
6,0575 |
||||||
m6′ |
32 −22,56 |
≈ 66 ϕ(1,56)≈ 66 0,1182 ≈ 7,8. |
||||
≈ 66 ϕ |
||||||
6,0575 |
||||||
-84-
Найдём 2p по формуле
2 |
(mi − mi′ )2 |
(10 − |
5,8)2 |
(14 −14,7)2 |
(22 |
− 24,1)2 |
|||||||||||
p = ∑ |
mi′ |
= |
+ |
+ |
+ |
||||||||||||
5,8 |
14 |
,7 |
24,1 |
||||||||||||||
+ |
(24 − 25,6)2 |
+ |
(16 −17,6)2 |
+ (14 −7,8)2 |
≈ 8,43 |
||||||||||||
25,6 |
17,6 |
7,8 |
|||||||||||||||
Число степеней свободы равно 6-3=3, следовательно, при уровне значимости α = 0,05 имеем по таблице 2кр(3;0,05)= 7,8 , а при уровне
значимости α = 0,01 имеем по таблице 2кр(3;0,01)=11,3. Таким образом, при уровне значимости α = 0,05 нулевую гипотезу отвергаем, а при уровне значимости α = 0,01 у нас нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу.
55.Выборочный коэффициент корреляции и его свойства
Вреальном мире многие явления природы происходят в обстановке действия многочисленных факторов, влияние каждого из них ничтожно, а число их велико. В этом случае связь теряет свою однозначность, и изучаемая физическая система переходит не в определенное состояние, а в одно из возможных для неё состояний. Здесь речь может идти лишь о статистической связи. Знание статистической зависимости между случайными переменными имеет большое практическое значение: с её помощью можно прогнозировать значение случайной переменной в предположении, что независимая переменная примет определённое значение.
Статистические связи между переменными можно изучать методом корреляционного и регрессионного анализа. Основная задача корреляционного анализа - выявление связи между случайными переменными путём точечной и интервальной оценки парных коэффициентов корреляции, вычисления и проверки значимости коэффициентов корреляции. Корреляционный анализ позволяет оценить функцию регрессии одной случайной величины на другую. Предпосылки корреляционного анализа следующие: 1) переменные величины должны быть случайными; 2) случайные величины должны иметь нормальное распределение.
Выборочный коэффициент корреляции находится по формуле
-85-
rв = ∑(xi −(x)) (y(i −) y)
n S x S y
Выборочный коэффициент корреляции оценивает тесноту линейной связи.
Свойства выборочного коэффициента корреляции:
1. Коэффициент корреляции принимает значения на интервале
[−1;1].
Доказательство. Докажем справедливость утверждения для дискретных переменных. Запишем явно неотрицательное выражение
1 n xi − x |
yi − y |
2 |
|||||||||||||
i∑=1 |
± |
≥ 0 . Возведём выражение под знаком сум- |
|||||||||||||
n |
S(x) |
S(y) |
|||||||||||||
1 n (xi − x)2 |
2 n (xi − x)(yi − y) |
1 n (yi − y)2 |
|||||||||||||
мы в квадрат |
i∑=1 S 2 (x) |
± |
i∑=1 S(x)S(y) |
+ |
i∑=1 S 2 (y) . |
||||||||||
n |
n |
n |
|||||||||||||
Первое и третье слагаемые равны единице по определению дисперсии. Таким образом: 1±rв +1 ≥ 0, откуда −1 ≤ rв ≤1.
2. Выборочный коэффициент корреляции не зависит от выбора
начала точки отсчёта и единицы измерения, то есть для любых |
||||||||||||||||||||||
a1 ,b1 ,a2 ,b2 выполнено равенство |
||||||||||||||||||||||
rв(a1x +b1 ;a2 x +b2 )= rв(x; y). |
||||||||||||||||||||||
3. |
Выборочный коэффициент |
можно |
вычислять по формуле |
|||||||||||||||||||
r |
= |
xy − x y |
. |
|||||||||||||||||||
S(x)S(y) |
||||||||||||||||||||||
в |
||||||||||||||||||||||
Доказательство. По определению |
||||||||||||||||||||||
1 |
∑(xi − x)(yi |
− y) |
1 |
(∑xi yi − x∑ yi − y∑xi +n x y) |
||||||||||||||||||
r |
= |
n |
= |
n |
= |
|||||||||||||||||
S(x)S(y) |
||||||||||||||||||||||
в |
S(x)S(y) |
|||||||||||||||||||||
− x y − x y + x y |
− x y |
|||||||||||||||||||||
xy |
xy |
|||||||||||||||||||||
= |
= |
. |
||||||||||||||||||||
S(x)S(y) |
S(x)S(y) |
|||||||||||||||||||||
Пример 50. Вычислить выборочный коэффициент корреляции по следующим данным:
xi |
2 |
2 |
3 |
5 |
yi |
4 |
6 |
6 |
8 |