Файл: Е.Н. Грибанов Теория вероятностей и математическая статистика. Методические указания для студентов специальности 230500 - Социальный сервис и туризм.pdf

-81-

Правило применения критерия 2сводится к следующему. Рассчитав теоретические частоты n pi и вычислив значение 2p , затем выбрав

уровень значимости критерия α , по таблице находим 2 (k ;α). Если2p > 2 (k ;α), то гипотезу H0 отвергают, если 2p ≤ 2 (k ;α), то

гипотезу принимают или, другими словами нет оснований отвергнуть гипотезу о том, что генеральная совокупность подчинена закону распределения F (x). В заключение отметим, что необходимым услови-

ем применения критерия Пирсона является наличие в каждом из интервалов по меньшей мере 5-10 наблюдений. Если количество наблюдений мало, то нужно объединить интервалы, содержащие частоты менее 5.

Пример 48. На телефонной станции производились наблюдения над числом X неправильных соединений в минуту. Наблюдения в течение часа дали следующие результаты: 3; 1; 3; 1; 4; 2; 2; 4; 0; 3; 0; 2; 2; 0; 2; 1; 4; 3; 3; 1; 4; 2; 2; 1; 1; 2; 1; 0; 3; 4; 1; 3; 2; 7; 2; 0; 0; 1; 3; 3; 1; 2; 4; 2; 0; 2; 3; 1; 2; 5; 1; 1; 0; 1; 1; 2; 2; 1; 1; 5. Определить выбо-

рочную среднюю и дисперсию неправильных соединений в минуту и проверить выполнение основного условия для распределения Пуас-

сона[M (x)=σ 2 ]. Найти теоретическое распределение Пуассона и проверить степень согласия теоретического и эмпирического распре-

делений по критерию 2 Пирсона при уровне значимости α = 0,05 . Решение. Упорядочим результаты наблюдений, записав их в

таблицу:

Найдём

x = n1 ∑xi mi = 601 (0 8 +1 17 +2 16+3 10+4 6 +5 2 +6 0 +7 1)=2.

Вычислим выборочную дисперсию по формуле S2 = x2 −(x)2, где x2 =n1 ∑xi2 mi =601 (0 8+1 17+4 16+9 10+16 6+25 2+36 0+49 1)=6,1,

-82-

тогда S 2 (x)= 6,1−4 = 2,1. Необходимое условие для распределения

Пуассона практически выполняется. Запишем теоретический закон распределения Пуассона, используя вместо математического ожида-

ния его оценку x : P(m)=2mm!e−2. Найдём теоретические частоты:

Так как последних три интервала содержат частоты менее пяти, то объединим их с предыдущим. Получим

Примем уровень значимости α = 0,05. Количество интервалов после объединения l = 5. По выборке вычислен один параметр, которым определяется закон Пирсона - математическое ожидание, следовательно: r =1. Поэтому число степеней свободы k = l −r −1 = 5 −1−1 = 3. По таблице (см. приложение табл.4) находим

2 (3;0,05)= 7,8. Имеем 7,8>0,11, следовательно, нет оснований от-

вергнуть нулевую гипотезу или, другими словами, при уровне значимости α = 0,05 можно считать, что генеральная совокупность распределена по закону Пуассона.

-83-

Пример 49. Проверить гипотезу о нормальном распределении для следующего интервального ряда:

Решение. Найдём выборочное среднее по формуле

x= n1 ∑xi mi =

=1001 (12 10 +16 14 +20 22 +24 24 +28 16 +32 14)= 22,56

x2 = n1 ∑xi mi =

=1001 (122 10 +162 14 +202 22 +242 24 +282 16 +322 14)=

=545,28 S) =10099 (545,28 −22,562 )≈ 36,693 S) ≈ 6,0575.

Найдём теоретические частоты по формулам:

m4′ ≈ 66 ϕ 24 −22,56 ≈ 66 ϕ(0,24)≈ 66 0,3876 ≈ 25,6,

6,0575

-84-

Найдём 2p по формуле

Число степеней свободы равно 6-3=3, следовательно, при уровне значимости α = 0,05 имеем по таблице 2кр(3;0,05)= 7,8 , а при уровне

значимости α = 0,01 имеем по таблице 2кр(3;0,01)=11,3. Таким образом, при уровне значимости α = 0,05 нулевую гипотезу отвергаем, а при уровне значимости α = 0,01 у нас нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу.

55.Выборочный коэффициент корреляции и его свойства

Вреальном мире многие явления природы происходят в обстановке действия многочисленных факторов, влияние каждого из них ничтожно, а число их велико. В этом случае связь теряет свою однозначность, и изучаемая физическая система переходит не в определенное состояние, а в одно из возможных для неё состояний. Здесь речь может идти лишь о статистической связи. Знание статистической зависимости между случайными переменными имеет большое практическое значение: с её помощью можно прогнозировать значение случайной переменной в предположении, что независимая переменная примет определённое значение.

Статистические связи между переменными можно изучать методом корреляционного и регрессионного анализа. Основная задача корреляционного анализа - выявление связи между случайными переменными путём точечной и интервальной оценки парных коэффициентов корреляции, вычисления и проверки значимости коэффициентов корреляции. Корреляционный анализ позволяет оценить функцию регрессии одной случайной величины на другую. Предпосылки корреляционного анализа следующие: 1) переменные величины должны быть случайными; 2) случайные величины должны иметь нормальное распределение.

Выборочный коэффициент корреляции находится по формуле

-85-

rв = ∑(xi −(x)) (y(i −) y)

n S x S y

Выборочный коэффициент корреляции оценивает тесноту линейной связи.

Свойства выборочного коэффициента корреляции:

1. Коэффициент корреляции принимает значения на интервале

[−1;1].

Доказательство. Докажем справедливость утверждения для дискретных переменных. Запишем явно неотрицательное выражение

Первое и третье слагаемые равны единице по определению дисперсии. Таким образом: 1±rв +1 ≥ 0, откуда −1 ≤ rв ≤1.

2. Выборочный коэффициент корреляции не зависит от выбора

Пример 50. Вычислить выборочный коэффициент корреляции по следующим данным: