Файл: Е.Н. Грибанов Теория вероятностей и математическая статистика. Методические указания для студентов специальности 230500 - Социальный сервис и туризм.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 03.06.2024
Просмотров: 969
Скачиваний: 1
-86- |
||||||||||||||||||||||||||||||
Решение. Вычислим x = |
1 |
∑xi = |
1 |
(2 +2 +3 +5)= 3; |
||||||||||||||||||||||||||
n |
||||||||||||||||||||||||||||||
1 |
1 |
4 |
1 |
|||||||||||||||||||||||||||
= |
∑x2 = |
(4 +4 +9 +25)=10,5; y = |
(4 +6 +6 +8)= 6; |
|||||||||||||||||||||||||||
x2 |
||||||||||||||||||||||||||||||
n |
||||||||||||||||||||||||||||||
i |
4 |
4 |
||||||||||||||||||||||||||||
= |
1 |
(16 +36 +36 +64)= 38; |
= |
1 |
∑xi |
yi = |
1 |
(8 +12 +18 +40)=19,5; |
||||||||||||||||||||||
y2 |
||||||||||||||||||||||||||||||
xy |
||||||||||||||||||||||||||||||
4 |
||||||||||||||||||||||||||||||
n |
4 |
|||||||||||||||||||||||||||||
S 2 (x)= |
x2 |
− x2 =10,5 −9 =1,5; S 2 (y)= |
y2 |
− y2 = 38 −36 = 2; |
||||||||||||||||||||||||||
− x y |
=19,5 −18 = 1,5 ≈ 0,866. |
|||||||||||||||||||||||||||||
r = |
xy |
|||||||||||||||||||||||||||||
в |
S 2 (x)S 2 (y) |
3 |
3 |
|||||||||||||||||||||||||||
56. Метод вычисления выборочного коэффициента корреляции для вариационных рядов
Для вычисления выборочного коэффициента корреляции строят корреляционную таблицу. Для этого разбиваем каждый вариационный ряд на интервальный. Затем находятся входящие в формулу для вычисления выборочного коэффициента корреляции параметры.
Пример 51. По данным наблюдений над случайными величинами X и Y получена выборка, приведённая в таблице
№ X |
Y № X |
Y № X |
Y № X |
Y |
|||||||
1 |
7,1 |
10,0 |
14 |
14,8 |
35,3 |
27 |
10,9 |
18,2 |
40 |
16,1 |
30,1 |
2 |
9,5 |
6,7 |
15 |
17,2 |
36,3 |
28 |
11,4 |
18,7 |
41 |
18,2 |
27,2 |
3 |
11,0 |
14,0 |
16 |
19,2 |
37,4 |
29 |
12,3 |
17,6 |
42 |
19,1 |
30,9 |
4 |
12,3 |
15,1 |
17 |
22,3 |
38,0 |
30 |
13,2 |
18,1 |
43 |
17,9 |
35,1 |
5 |
11,8 |
24,2 |
18 |
17,2 |
40,2 |
31 |
13,1 |
24,1 |
44 |
18,7 |
36,1 |
6 |
14,1 |
19,9 |
19 |
19,9 |
42,4 |
32 |
13,6 |
21,3 |
45 |
12,4 |
17,6 |
7 |
15,1 |
24,3 |
20 |
20,1 |
44,5 |
33 |
13,7 |
19,8 |
46 |
12,5 |
18,6 |
8 |
14,7 |
22,2 |
21 |
21,7 |
42,4 |
34 |
14,6 |
24,1 |
47 |
12,7 |
19,2 |
9 |
16,1 |
21,0 |
22 |
8,5 |
12,2 |
35 |
14,2 |
21,3 |
48 |
14,1 |
26,2 |
10 |
13,1 |
30,1 |
23 |
9,7 |
12,4 |
36 |
15,2 |
25,2 |
49 |
14,6 |
27,4 |
11 |
13,8 |
28,1 |
24 |
10,2 |
12,5 |
37 |
16,1 |
21,1 |
50 |
14,9 |
30,1 |
12 |
16,9 |
30,3 |
25 |
11,1 |
12,9 |
38 |
17,2 |
24,6 |
|||
13 |
19,1 |
27,3 |
26 |
11,3 |
16,1 |
39 |
18,0 |
23,3 |
|||
Найдём оптимальные длины интервалов и количество интервалов, используя формулу Стэрджеса. Для переменной Х наименьшее значение - 7,1 наибольшее - 22,3, тогда оптимальное число интервалов равно 7 с шагом, равным 2,2, при этом получаем такие интервалы:
[7,1;9,3),[9,3;11,5),[11,5;13,7),[13,7;15,9), [15,9;18,1),
-87-
[18,1;20,3), [20,3;22,5). Для переменной У минимальное значение - 6,7
наибольшее - 44,5, тогда оптимальное число интервалов 6 с шагом, равным 6,3. Получаем интервалы
[6,7;13,0), [13,0;19,3),[19,3;25,6),[25,6;31,9), [31,9;38,2),[38,2;44,5]. Рас-
пределим наблюдения по полученным интервалам получим корреляционную таблицу. В таблицу вместо интервалов запишем их середины
У |
Х |
ny |
|||||||
8,2 |
10,4 |
12,6 |
14,8 |
17,0 |
19,2 |
21,4 |
|||
9,85 |
2 |
4 |
6 |
||||||
16,15 |
4 |
6 |
10 |
||||||
22,45 |
3 |
7 |
4 |
14 |
|||||
28,75 |
1 |
4 |
2 |
3 |
10 |
||||
35,05 |
1 |
2 |
2 |
1 |
6 |
||||
41,35 |
1 |
1 |
2 |
4 |
|||||
nx |
2 |
8 |
10 |
12 |
9 |
6 |
3 |
50 |
Для упрощения |
расчётов |
перейдём |
к |
условным |
вариантам |
|||||||||||||||||||||||||
ui = |
xi −C x |
= |
xi −14,8 |
и vi = |
yi −C y |
= |
yi −22,45 |
. |
Составим рас- |
|||||||||||||||||||||
hx |
2 |
,2 |
hy |
6,3 |
||||||||||||||||||||||||||
чётную таблицу. |
||||||||||||||||||||||||||||||
V |
U |
nv |
vi nv |
nvvi2 |
||||||||||||||||||||||||||
-3 |
-2 |
-1 |
0 |
1 |
2 |
3 |
||||||||||||||||||||||||
-2 |
2 |
4 |
6 |
-12 |
24 |
|||||||||||||||||||||||||
-1 |
4 |
6 |
10 |
-10 |
10 |
|||||||||||||||||||||||||
0 |
3 |
7 |
4 |
14 |
0 |
0 |
||||||||||||||||||||||||
1 |
1 |
4 |
2 |
3 |
10 |
10 |
10 |
|||||||||||||||||||||||
2 |
1 |
2 |
2 |
1 |
6 |
12 |
24 |
|||||||||||||||||||||||
3 |
1 |
1 |
2 |
4 |
12 |
36 |
||||||||||||||||||||||||
nu |
2 |
8 |
10 |
12 |
9 |
6 |
3 |
50 |
12 |
104 |
||||||||||||||||||||
nuui |
-6 |
-16 |
-10 |
0 |
9 |
12 |
9 |
-2 |
||||||||||||||||||||||
nuui2 |
18 |
32 |
10 |
0 |
9 |
24 |
27 |
120 |
||||||||||||||||||||||
v |
i |
-2 |
-1,5 |
-0,5 |
0,5 |
1 |
53 |
83 |
||||||||||||||||||||||
nuui |
v |
i |
12 |
24 |
5 |
0 |
9 |
20 |
24 |
94 |
||||||||||||||||||||
-88-
Для вычисления выборочного коэффициента корреляции используем
формулу |
r |
= |
uv −u |
v |
, |
где |
u = |
1 |
∑n |
u |
= |
1 |
(−2)= −0,04; |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
в |
S2(u)S2(v) |
n |
u |
i |
50 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1 |
120 |
2,4 −(−0,04)2 ≈1,549; |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
= |
∑n u2 = |
= 2,4; |
S(u)= u2 |
−u2 = |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
u2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
n |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
u |
i |
50 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
12 |
= |
104 |
=2,08; |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
v |
= |
=0,24; v |
2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
50 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
50 |
1 |
94 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
S(v)= |
v2 |
−( |
v |
)2 = |
2,08−0,242 ≈1,422; |
= |
∑nuui |
v |
i = |
=1,88; |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
uv |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
n |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
−u |
v |
1,88 +0,04 0,24 |
50 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
r = |
uv |
≈ |
≈ 0,854. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
S(u)S(v) |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
в |
1,549 1,422 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
57. Проверка гипотезы о значимости коэффициента корреляции
На практике коэффициент корреляции r обычно неизвестен. По результатам выборки может быть найдена его точечная оценка – выборочный коэффициент корреляции rв. Равенство нулю выборочного
коэффициента корреляции ещё не свидетельствует о равенстве нулю самого коэффициента корреляции, а следовательно, о некоррелированности случайных величин Х и У. Чтобы выяснить, находятся ли случайные величины в корреляционной зависимости, нужно проверить значимость выборочного коэффициента корреляции rв, то есть
установить, достаточна ли его величина для обоснованного вывода о наличии корреляционной связи. Для этого проверяют нулевую гипотезу H0 : r = 0. Предполагается наличие двухмерного нормального
распределения случайных переменных; объём выборки может быть
любым. Вычисляют статистику t = r |
n −2 |
, которая имеет распре- |
в |
1−r 2 |
|
в |
деление Стьюдента с k = n −2 степенями свободы. Для проверки нулевой гипотезы по уровню значимости α и числу степеней свободы k находят по таблице распределения Стьюдента критическое значе-
-89-
ние tα ,k . Если t ≥ tα ,k , то нулевую гипотезу об отсутствии корреля-
ционной связи между переменными Х и У следует отвергнуть. Переменные считают зависимыми. При t < tα ,k , нет оснований отверг-
нуть нулевую гипотезу.
В случае значимого выборочного коэффициента корреляции есть смысл построить доверительный интервал для коэффициента корреляции r . Однако для этого нужно знать закон распределения выборочного коэффициента корреляции rв. Плотность вероятности
выборочного коэффициента корреляции имеет сложный вид, поэтому прибегают к специально подобранным функциям от выборочного коэффициента корреляции, которые сводятся к хорошо изученным распределениям, например к нормальному или Стьюдента. Чаще всего для подбора функции применяют преобразование Фишера. Вычис-
1 |
1 |
+rв |
||||||||
ляют статистику |
z = |
, где rв = th z |
- гиперболический тан- |
|||||||
1 |
||||||||||
2 ln |
−r |
|||||||||
в |
||||||||||
генс от z . Распределение статистики z хорошо аппроксимируется
нормальным |
распределением |
с |
параметрами |
|||||||||||||||||||||
M (z)= |
1 |
1 |
+r |
r |
σ 2 |
1 |
||||||||||||||||||
ln |
+ |
, |
= |
. В этом случае доверитель- |
||||||||||||||||||||
2 |
1 |
2(n −1) |
n − |
3 |
||||||||||||||||||||
−r |
z |
|||||||||||||||||||||||
ный интервал для r |
имеет вид th z1 < r < th z2 . Величины z1 и z2 на- |
|||||||||||||||||||||||
ходятся по формулам z = 1 ln1+rв − |
zα ; z |
2 |
= 1 ln1+rв + |
zα |
, |
|||||||||||||||||||
1 |
2 |
1 |
−r |
n −3 |
2 1−r |
n −3 |
||||||||||||||||||
1 |
−α |
в |
в |
|||||||||||||||||||||
где Ф(z |
)= |
. |
||||||||||||||||||||||
α |
2 |
|||||||||||||||||||||||
Пример 52. Проверить значимость выборочного коэффициента корреляции из примера 51 и найти доверительный интервал с надёж-
ностью 0,95 для него. |
|||||
Решение. Для |
проверки значимости |
найдём |
статистику |
||
t = r |
n −2 = 0,854 |
48 |
≈11,37 . По |
уровню |
значимости |
в |
1−r 2 |
1−0,8542 |
|||
в |
|||||
α = 0,05 и числу степеней свободы k = 48 найдём tα ,k = 2,009 (см. приложение табл.3). Так как t ≥ tα ,k , то нулевую гипотезу об отсут-
ствии корреляционной связи между переменными Х и У следует отвергнуть. Следовательно, выборочный коэффициент корреляции зна-