Файл: ОТУ 2016-10-06 Лекция 6. Устойчивость линейных САУ. Критерии устойчивости.pdf

Критерий Э. Дж. Рауса

4.

Записывается третья

и

последующие

строки

, 

элементы

которых

вычисляются

по

формуле

:

с

ij

= 

с

i-2,j+1

– r

i

* c

i-1,j+1

.

1

2

3

…

r

i

1

c

11

= a

n

c

12

= a

n-2

c

13

= a

n-4

…

-

2

c

21

= a

n-1

c

22

= a

n-3

c

23

= a

n-5

…

-

3

c

31

= c

12

-r

3

*c

22

c

32

= c

13

-r

3

*c

23

c

33

= c

14

-r

3

*c

24

…

r

3

= c

11

/ c

21

4

c

41

= c

22

-r

4

*c

32

c

42

= c

23

-r

4

*c

33

c

43

= c

24

-r

4

*c

34

…

r

4

= c

21

/ c

31

5

c

51

= c

32

-r

5

*c

42

c

52

= c

33

-r

5

*c

43

c

53

= c

34

-r

5

*c

44

…

r

5

= c

31

/ c

41

…

…

…

…

…

…

Число

строк

в

таблице

равно

 n+1.

Критерий Э. Дж. Рауса

1

2

3

…

r

i

1

c

11

= a

n

c

12

= a

n-2

c

13

= a

n-4

…

-

2

c

21

= a

n-1

c

22

= a

n-3

c

23

= a

n-5

…

-

3

c

31

= c

12

-r

3

*c

22

c

32

= c

13

-r

3

*c

23

c

33

= c

14

-r

3

*c

24

…

r

3

= c

11

/ c

21

4

c

41

= c

22

-r

4

*c

32

c

42

= c

23

-r

4

*c

33

c

43

= c

24

-r

4

*c

34

…

r

4

= c

21

/ c

31

5

c

51

= c

32

-r

5

*c

42

c

52

= c

33

-r

5

*c

43

c

53

= c

34

-r

5

*c

44

…

r

5

= c

31

/ c

41

…

…

…

…

…

…

Для

устойчивости

линейной

системы

необходимо

и

достаточно

, 

чтобы

коэффициенты

первого

столбца

таблицы

Рауса

были

одного

знака

(

положительными

).

Если

это

не

выполняется

, 

то

система

неустойчива

, 

а

количество

правых

корней

равно

числу

перемен

знака

в

первом

столбце

.

Критерий устойчивости А.В. Михайлова

( )

1

1

1

0

n

n

n

n

M p

a p

a

p

a p

a

−

−

=

+

+ +

+

…

Корни

уравнения

: 

( )

(

)(

)

(

)

1

2

...

n

n

M p

a

p

p

p

p

p

p

=

−

−

−

1

2

,

,...,

n

p

p

p

Критерий устойчивости А.В. Михайлова

Заменим

 p

на

 j

ω

:

( )

(

)(

)

(

)

1

2

...

n

n

M j

a

j

p

j

p

j

p

ω

ω

ω

ω

=

−

−

−

Критерий устойчивости А.В. Михайлова

При

изменении

частоты

от

до

каждый

вектор

будет

поворачиваться

.

Если

корень

левый

, 

то

вектор

повернется

против

часовой

стрелки

.

Для

правого

корня

вектор

вращается

по

часовой

стрелке

. 

−∞

+∞

1

n

M

i

i

ϕ

ϕ

=

=

∑

( )

(

)

1

n

n

i

i

M j

a

j

p

ω

ω

=

=

−

∏