Файл: И.А. Паначев Рабочая программа, контрольные работы и методические указания по их выполнению для студентов заочной формы обучения (сокращенные сроки обучения на базе среднего проф. образования).pdf

70

Рекомендуемые величины коэффициента запаса устойчивости nу существенно зависят от материала стержня: для стали nу равен 1,5…3,0; для дерева 2,5…3,5; для чугуна 4,5…5,5.

Допускаемая сжимающая нагрузка из расчёта на устойчивость :

[P]= Рnкр . (14.2)

y

14.1.Формула Эйлера для определения критической нагрузки

Вобщем случае сжатого стержня критическое значение нагрузки может быть выражено, как

kp (µl)2

где Е – модуль упругости; Imin – наименьший из главных центральных моментов инерции сечения; l – полная длина стержня; µ – коэффициент приведённой длины.

Величина коэффициента µ зависит от способа крепления торцевых и промежуточных сечений стержня и для наиболее употребительных расчётных схем приведена в приложении .

Основная формула (14.3) для критического значения нагрузки справедлива только при статических нагрузках и при критических напряжениях, не превышающих предела пропорциональности материала

14.2. Определение критической силы за пределами пропорциональности. Формула Ясинского

Принимаем следующие обозначения:

наименьший радиус сечения стержня;

71 µ1 – приведённая длина стойки;

гибкость стержня.

Критические напряжения по Эйлеру :

Обозначим через λпред гибкость стержня, для которого критическое напряжение σКР равно пределу пропорциональности σПЦ :

Для стержней, у которых λ > λпред (для стали ст.3 λпред = 100), критическое напряжение σКР < σПЦ и для определения критической силы

справедлива формула Эйлера (14.3).

Для стержней, у которых λ < λпред, критические напряжения σКР > >σПЦ, поэтому для определения критической силы нужно пользоваться эмпирической формулой Ф.С. Ясинского :

где а и b – числовые коэффициенты, имеющие размерность напряжения- (приложение п.5); F – площадь сечения стержня; λ – гибкость стержня, определяемая по формуле (14.6).

Обозначим через λ0 – гибкость стержней, для которых критическое

напряжение σКР = а – b·λ равно предельному напряжению при сжатии: для пластичных материалов σкр = σт; для хрупких материалов σкр = σв. (14.10)

Эмпирическая формула (14.9) используется для определения критической силы в случае стержней, гибкость которых заключена в ин-

тервале от λ0 до λпред (для стали ст.3.40 < λ < 100). Стержни, у которых λ < λ0, называются стержнями малой гибкости и рассчитываются только

на прочность.

Значения коэффициентов а, b и значения гибкостей λпред, λ0 для некоторых материалов даны в приложении п.5.

72

14.3. Расчёт на устойчивость по коэффициенту понижения φ допускаемого напряжения на сжатие [σ]

где Fбр – полная площадь поперечного сечения стержня (при расчёте на устойчивость местные ослабления сечения практически не изменяют величину критической силы); [σ] – допускаемое напряжение при расчёте на устойчивость, которое равно

Значения коэффициента понижения φ, учитывающие запас устойчивости и зависящие от материала и гибкости стержня, приведены в приложении.

Расчётная формула на устойчивость имеет вид

Так как в формуле (14.13) два неизвестных – FБР и φ, то подбор сечений ведут путём последовательных приближений, варьируя величину коэффициента φ. В первом приближении берут φ = 0,5…0,6. Определяют требуемую площадь FБР и подбирают сечение. Подобранное сечение проверяют и устанавливают фактическое значение φ1табл.

Если φ1табл значительно отличается от φ1, то и напряжение будет отличаться от допускаемого. Тогда берётся другое приближение, в ко-

И так далее, пока φ и φтабл не совпадут или будут отличаться в пределах 5%.

73

14.4. Пример

Стальной стержень длиной l сжимается силой Р (рис 14.1). Требуется: 1) найти размеры поперечного сечения при допускае-

мом напряжении на простое сжатие [σ] = 160 МПа (расчёт производить последовательными приближениями, предварительно задавшись коэффициентом φ = 0,5); 2) найти критическую силу и коэффициент запаса устойчивости, если дано: Р = 200 кН; l = 2,2 м.

Решение

14.4.1. Первое приближение Зададим φ1 = 0,5.

По формуле (14.13) находим требуемую площадь поперечного се-

i = 0,337a = 0,337 6,25 10−2 = 2,11 10−2 м.

По формуле (11.6) находим гибкость стержня

где µ = 2 (см. приложение).

По таблице приложения для λ = 208,5, φ1табл = 0 « φ1 = 0,5. 14.4.2. Второе приближение

По приложению п.4, интерполируя, находим коэффициент

ϕ2таб = 0,36 − 0,36 − 0,32 7,7 = 0,33 ϕ2 = 0,25. 10

14.4.3. Третье приближение

ϕ3 = ϕ2 +ϕ2табл = 0,25 +0,33 = 0,29. 2 2

Вычисляем необходимую площадь