Файл: Ю.Ф. Глазков Изгиб. Методические указания для выполнения расчетно-графической работы (для всех специальностей).pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 16.06.2024
Просмотров: 42
Скачиваний: 0
11
5.Примеры подбора сечений балок
Встуденческих расчетно-графических работах, как правило, ставятся задачи подбора сечений балок, изготовленных из пластичных металлов – малоуглеродистых сталей, алюминиевых сплавов и т. д. В этих случаях нормы рекомендуют считать допускаемые напряжения на
растяжение и сжатие при изгибе одинаковыми ([σ]+ = [σ]- = [σ]). Задаваемые формы поперечных сечений можно разделить на следующие группы:
a.массивные сечения типа прямоугольника или круга, размеры сечений выражаются через некоторый параметр;
b.сечения из стандартных прокатных элементов – одиночных или составных;
c.тонкостенные сечения из листовых элементов постоянной
толщины δ.
Для каждого варианта формы сечения можно применить оптимальную методику подбора размеров сечения. Некоторые из этих методик иллюстрируются ниже.
d.Для балки, рассмотренной в примере 3.1, подобрать сечения
ввиде одиночного прокатного двутавра по ГОСТ 8239-89 и массивного типа в соответствии с рис. 7, а. Материал балки – малоуглеродистая сталь марки Ст3, нормативный коэффициент запаса прочности n = 1,5.
а. Назначаем допускаемое напряжение. Для конструкций из Ст3
вкачестве предельного (опасного) напряжения рекомендуется исполь-
зовать предел текучести σт. Принимаем σт = 240 МПа в соответствии с
[3, 4].
12
a)
Назначаем
б)
x′
|
a |
1,47a |
|
1 |
|
c |
||
|
|
|
|
|
x |
2 |
2 |
|
3a |
=2,53a |
|
3 |
|
|
||
|
II |
|
|
|
y |
|
|
II
a |
a |
a |
y |
|
|
|
|
|
0,5a |
0,5a |
|
Рис. 7. Массивное сечение к примеру 5.1:
а – эскиз сечения; б – определение геометрических характеристик
Значение допускаемого напряжения [σ] = 240 / 1,5 = 160 МПа. Опасным является сечение Слев, а расчетный момент для подбора сечения Мmax = 18 кН м. Находим нижнюю границу возможных значений момента сопротивления при изгибе по формуле (9)
|
Mmax |
|
18 |
|
−3 3 |
3 |
|
W ≥ |
|
= |
|
|
=0,113 10 |
м |
=113 см . |
[σ] |
160 103 |
||||||
б. Подбор двутаврового сечения выполняем по сортаменту для прокатных двутавров [3,4]. Принимаем двутавр №16, для которого W = Wx = 109 см3. Это сечение имеет размеры несколько меньше требуемых. Перегрузка балки в этом случае определяется величиной
∆W/W = (113-109)/113 = 0,035 << 1. Обычно такая перегрузка считает-
ся приемлемой.
Отметим, что в случае подбора составного сечения, состоящего из нескольких прокатных элементов, необходимо использовать метод последовательных приближений. Он заключается в том, что предварительно назначаются некоторые размеры сечения и они проверяются по условиям (8). Если расчетные напряжения σI или σII чрезмерно отличаются от соответствующих допускаемых напряжений в большую или меньшую стороны, то на следующем этапе расчета размеры прокатных элементов должны быть увеличены или уменьшены, а проверка проч-
13
ности повторяется. Эти действия выполняются до тех пор, пока расчетные и допускаемые напряжения станут отличаться на 3 – 5 %.
в. Подбор массивного сечения, размеры которого заданы через параметр «а» (рис. 7, а), начинаем с определения геометрических характеристик.
Положение центра тяжести относительно вспомогательной оси x′
|
|
∑F y′ |
|
4a |
2 |
0,5a |
+2 0,75a |
2 |
2a +3a |
2 |
2,5a |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
yс′ |
= |
i i |
= |
|
|
|
|
|
=1,47а. |
|
|
|
||||||||||||||||||
∑F |
|
|
|
|
|
|
4a |
2 |
+2 0,75a |
2 |
+ |
3a |
2 |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
Момент инерции относительно нейтральной оси x |
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
= |
4a a3 |
+2 |
0,5a (3a)3 |
+ |
a (3a)3 |
+4a |
2 |
(0,97a) |
2 |
+ |
||||||||||
Jx =∑Jxi +∑Fiyi |
|
12 |
|
|
|
36 |
|
|
12 |
|
|
|
||||||||||||||||||
|
+2 0,75a2 (0,53a)2 +3a2 (1,03a)2 =10,7a4. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
Момент сопротивления сечения при изгибе |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
W = W = |
J |
= |
10,7a 4 |
=4,23a3 |
≥113 см3. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
2,53a |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
II |
ymax |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Отсюда следует: а ≥ 2,98 см. Окончательно принимаем а = 3 см. В завершение данного примера заметим, что в случаях, когда материал балки по-разному сопротивляется растяжению и сжатию, размеры сечения надо определять по условиям прочности как в растяну-
той, так и в сжатой точках опасного сечения.
5.2. Для балки рассмотренной в примере 3.2 подобрать тонкостенное сечение, изображенное на рис. 8, а. Толщина листов δ постоянна и равна 8 мм. Листы изготовлены из магналина марки АМг6м. Нормативный коэффициент запаса прочности n = 1,6.
а. Назначаем допускаемое напряжение. Предел текучести материала балки σт = 150 МПа [3,4]. Допускаемое напряжение
[σ]= σnт =1501,6 =93,7 МПа.
14
а)
δ
3а
а а
1,5а 1,5а
б)
x′
x
ymax 1,69a yc 1,31a
1
C
2
3
y
Рис. 8. Тонкостенное сечение к примеру 5.2:
а – эскиз; б – определение геометрических характеристик
б. Опасным является сечение Dправ. Расчетный момент Мmax = 66 кН м. Нижняя возможная граница для момента сопротивления при изгибе
W ≥ |
Mmax |
= |
66 |
=0,693 10−3м3 =693 см3. |
|
93,7 103 |
|||
|
[σ] |
|
||
в. Определяем геометрические характеристики. Положение центра тяжести сечения находим приближенно, полагая что ожидаемое значение параметра а будет намного больше толщины листов δ. Это допущение позволяет пренебрегать величиной δ при суммировании его с параметром а (а + δ а). Тогда
′ |
3δa 0 +3δa 1,5a +2δa 3a |
10,5 |
|
||||||
yc = |
|
3δa +3δa +2δa |
= 8 |
a =1,31a . |
|||||
Момент инерции поперечного сечения |
|||||||||
J = |
3a δ3 |
+ |
δ (3a)3 |
+ |
2a δ3 |
+3δa (1,31a)2 +3δa (0,19a)2 +2δa (1,69a)2. |
|||
|
|
|
|||||||
|
|
12 |
12 |
12 |
|
|
|
||
На основании допущения о малости толщины листа δ пренебрегаем слагаемыми содержащими δ3. Тогда окончательно имеем J = 12,89δa3.
15
Момент сопротивления сечения при изгибе
W = |
J |
=12,89δa3 =7,63δa2. |
|
|
|
|
ymax |
|
|
|
|||
|
1,69a |
|
|
|
|
|
|
г. Подбираем размеры листовых элементов сечения |
|||||
W 7,63δa2 ≥693 см3, а≥ |
693 |
= |
693 |
=32 см. |
||
|
|
|
7,63δ |
|
7,63 0,08 |
|
Определим отношение величин δ и а: δ/a = 0,08/32 = 0,0025 << 1. Полученная величина отношения δ/a подтверждает правильность допущения о малости δ и позволяет окончательно принять а = 32 см.
6.Примеры анализа напряженного состояния
иполной проверки прочности
При выполнении задания в данном пункте почти всегда рассматриваются сечения из одиночного двутавра прокатного профиля. Поэтому ниже рассматриваются только двутавровые балки.
6.1. В балке, рассмотренной в примерах 3.1 и 5.1, определить величину и направление главных напряжений в точке А с координатами z = 0,5 м, у = 0,03 м. Балка изготовлена из двутавра №16.
а. Расчетное сечение находится в середине участка ОА. Значения усилий в этом сечении (см. рис. 2): Q = - 8 кН, М = - 4 кН м.
б. Геометрические характеристики поперечного сечения взяты из сортамента на прокатные двутавры по ГОСТ 8239 – 89 [3,4]. Основные размеры, используемые в расчете, приведены на рис. 9, а. Момент инерции J = 873 см4.
в. Определяем нормальные и касательные напряжения по фор-
мулам (3) и (4).
σ= |
М |
y =− |
4 |
10−3 |
0,03 |
=−13,7 МПа. |
|
J |
873 10−8 |
||||||
|
|
|
|
||||
Для определения касательного напряжения вычисляем статический момент отсеченной части Sотс. На рис. 9, б показана отсеченная часть в упрощенном виде, состоящая из двух прямоугольников 1 и 2. Черными точками показаны центры тяжести прямоугольников.
Sотс = 8,1 0,78 7,6+0,5 4,2 5,1 = 58,7 см3.
16
а)
б) в)
|
0,5 |
|
|
x |
с |
|
16 |
|
|
|
|
|
3 |
А |
τ |
|
|
|
|
|
А |
|
σ |
|
|
0,78 |
III |
|
|
|
|
|
8,1 |
|
|
σ1=4,8 МПа
2 |
α0=28036′ |
1 |
σ3= -18,5 МПа |
у
Рис. 9. Определение главных напряжений:
а – напряжения в точке А; б – отсеченная часть сечения; в – главные напряжения
τ= |
QSотс |
=− |
8 10−3 58,7 10−6 |
=−10,6 МПа. |
||
Jb |
y |
−8 |
−2 |
|||
|
|
|
873 10 |
0,5 10 |
|
|
На рис. 9, а показаны направления σ и τ в точке А.
г. Величины и направления главных напряжений находим по формулам (5) и (6)
σ |
= σ±1 |
σ2 +4τ2 = −13,7 |
±1 |
13,72 +4 10,62 =−6,35±11,65 МПа, |
||||||
1,3 |
2 |
2 |
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
σ1 =4,8МПа, σ3 =−18,5 МПа, |
|
|
|
0 |
|
|||||
|
1 |
|
2τ |
1 |
2(−10,6) |
|
|
′ |
||
α0 = 2 arctg |
|
= 2 arctg |
|
|
=28 |
|
36 . |
|||
σ |
−13,7 |
|
|
|||||||
Направления главных напряжений показаны штрихпунктирными стрелками на рис. 9, а, б.
6.2. Произвести полную проверку прочности балки, рассмотренной в предыдущем примере. Материал балки - Ст3, допускаемое напряжение [σ] = 160 МПа. Проверку выполнить по IV теории.
Подбор данного сечения был выполнен ранее в примере 5.1. Он производился по формулам (8) из условий прочности в точках I и II.