ВУЗ: Новосибирский государственный технический университет
Категория: Лекция
Дисциплина: Основы теории управления
Добавлен: 15.02.2019
Просмотров: 1533
Скачиваний: 5
Операторная форма записи
уравнений
Введем специальное обозначение для операции
дифференцирования:
d
p
dt
=
Тогда k-я производная будет обозначаться следующим
образом:
k
k
k
d
p
dt
=
Операторная форма записи
уравнений
Линейное дифференциальное уравнение:
Запись в операторной форме:
1
1
1
0
1
1
1
1
0
1
...
...
n
n
n
n
n
n
m
m
m
m
m
m
d y
d
y
dy
a
a
a
a y
dt
dt
dt
d u
d
u
du
b
b
b
b u
dt
dt
dt
−
−
−
−
−
−
+
+ +
+
=
+
+ +
+
1
1
1
0
1
1
1
0
...
...
n
n
n
n
m
m
m
m
a p y
a
p
y
a py
a y
b p u
b
p
u
b pu
b u
−
−
−
−
+
+ +
+
=
+
+ +
+
Операторная форма записи уравнений
Оператор p можно рассматривать как алгебраический
сомножитель, а выражение py – как произведение.
Многочлены от p степени m и n, находящиеся в левой
и правой частях уравнения, называются
дифференциальными операторами.
(
)
(
)
1
1
1
0
1
1
1
0
...
...
n
n
n
n
m
m
m
m
a p
a
p
a p
a
y
b p
b
p
b p b u
−
−
−
−
+
+ +
+
=
+
+ +
+
Порядок наивысшей производной во входном операторе
не может быть больше порядка наивысшей производной
в собственном операторе, т.е. m≤n.
Если это условие не выполняется, то уравнение
соответствует физически нереализуемой системе.
Стандартная форма записи уравнений
Уравнение преобразовывают таким образом, чтобы
коэффициент при выходной величине был равен
единице.
(
)
(
)
2
2
1
0
1
0
a p
a p
a
y
b p b u
+
+
=
+
(
)
(
)
2
2
2
1
1
1
T p
T p
y
k Tp
u
+
+
=
+
0
0
k
b a
=
2
1
0
1
1
0
2
2
0
,
,
T
b b
T
a a
T
a a
=
=
=
- передаточный коэффициент
- постоянные времени
Пример описания динамической
системы
1
2
1
1
di
iR
L
idt
iR
U
dt
C
+
+
+
=
∫
2
2
U
iR
=
2
2
i
U
R
=
1
2
2
2
2
1
2
2
2
1
R
dU
U
L
U
dt U
U
R
R
dt
C
R
+
+
+
=
∫
- по второму закону Кирхгофа
Подставим в первую формулу выражение для тока i: